2025年浙江省中考数学专题复习 第1讲 阿氏圆最值问题(三大题型)

阿氏圆最值 要点梳理 阿氏圆：到两定点的距离之比为定值（比值不为1）的点的轨迹是一个圆. 题型特征：型如的加权线段和最值问题，动点轨迹是圆弧型. 解题方法：构造母子型相似，把型最值问题转化成型. 典型例题 0. 如图，在中，，，则的面积的最大值为________． 1． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求的最小值＿＿＿＿，的最小值为________． 已知扇形COD中，，，，，点P是上一点，求的最小值． 巩固练习 类型一：向内构造 0. 如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD、BD，求的最小值． 3． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，求的最小值． 4． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4．⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，求的最小值． 5． 如图，⊙O的半径为，，， ，Q为⊙O上一动点，求的最小值． 6． 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点 求的最小值． 7． 如图，点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)，⊙C的半径为，点B在C上一动点，求的最小值． 8． 如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，求的最小值． 9． 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，⊙A与BC相切于点E，点P是⊙A上一动点，求的最小值． 10． 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上一点，且，点F在以点P为圆心，AP为半径的⊙P上，则CF+mBF的最小值为__________，此时AP=__________． 11． 如图1，抛物线()与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P，作PM⊥AB于点M． (1) 求a的值和直线AB的函数表达式； (2) 设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； (3) 如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为()，连接E'A、E'B，求的最小值． 图1 图2 类型二：向外构造 12． 如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为上一动点(不与C，B重合)，则2PD+PB的最小值为__________． 13． 如图O的半径为2，AB为直径。过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为圆O的直径，点P为圆O上动点，则2PC+PE的最小值是__________． 14． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上的动点，点E在CB上，CE=1，连接AD，DE，则的最小值为__________． 15． 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-2，0)，B(0，1)，C(0，3)，以O为圆心，OC为半径画圆，P为⊙O上一动点，则最小值为__________． 16． 如图，在平面直角坐标系中，以点C(1，1)为圆心，为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为弧AB上的动点，则的最小值为__________． 17． 已知点A(-4，0)、P(t，0)(t>0)，在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作 ⊙B，连接OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连接OB、AQ． (1) 求证：∠CQP=∠AOQ； (2) CQ的长度是否随着t的变化而变化?如果变化，请用含t的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ的长； (3) 当时， ①求点C的坐标； ②点D是⊙B上的任意一点，求的最小值． 类型三：调整系数 18． 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6，1)，M(4，4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，求PO2PA的最小值． 19． 在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且，求2PD+PC的最小值． 20． 如图，点A、B在⊙O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10．点P是⊙O上一动点，则的最小值为__________． 21． 在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点连接PB、PC，求3PC+2PB的最小值． 22． 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，求的 最小值． 23． 如图，抛物线与x轴交于点A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于C点，⊙D过点A、B、C三点，P是⊙D上的一动点，连接PC、PO则的最小值为__________． 24． 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，求 的最小值． 25． 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，求的最小值． 课后作业 0. 如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是OB上一动点，求的最小值________，求的最小值________． 27． (1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值． (2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点求的最小值和的最大值． (3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值． 28． 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C． (1) 试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由； (2) 点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD∽△ACF； (3) 点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出的最小值． 29． 如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为(3，0)，以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1) △AOD与△COB相似吗?为什么? (2) 如图2，弦DE交x轴于点P，且，求； (3) 如图3，过点D作⊙M的切线，交x轴于点Q．点G是⊙M上的动点，问比值是否变化?若不变，请求出比值；若变化，请说明理由． 图1 图2 图3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阿氏圆最值 要点梳理 阿氏圆：到两定点的距离之比为定值（比值不为1）的点的轨迹是一个圆. 题型特征：型如型的加权线段和最值问题. 解题方法：构造母子型相似，把型最值问题转化成型. 典型例题 0. 如图，在中，，，则的面积的最大值为________． () 1． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求的最小值＿＿＿＿，的最小值为________． (；) 已知扇形COD中，，，，，点P是上一点，求的最小值．(13) 巩固练习 类型一：向内构造 0. 如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD、BD，求的最小值．() 3． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，求的最小值．() 4． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4．⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，求的最小值．() 5． 如图，⊙O的半径为，，， ，Q为⊙O上一动点，求的最小值．() 6． 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点 求的最小值．() 7． 如图，点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)，⊙C的半径为，点B在C上一动点，求的最小值．(5) 8． 如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，求的最小值．() 9． 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，⊙A与BC相切于点E，点P是⊙A上一动点，求的最小值．() 10． 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上一点，且，点F在以点P为圆心，AP为半径的⊙P上，则CF+mBF的最小值为__________，此时AP=__________．(；) 11． 如图1，抛物线()与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P，作PM⊥AB于点M． (1) 求a的值和直线AB的函数表达式；(；) (2) 设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；() (3) 如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为()，连接E'A、E'B，求的最小值．() 图1 图2 类型二：向外构造 12． 如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为上一动点(不与C，B重合)，则2PD+PB的最小值为__________．() 13． 如图O的半径为2，AB为直径。过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为圆O的直径，点P为圆O上动点，则2PC+PE的最小值是__________．() 14． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上的动点，点E在CB上，CE=1，连接AD，DE，则的最小值为__________． () 15． 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-2，0)，B(0，1)，C(0，3)，以O为圆心，OC为半径画圆，P为⊙O上一动点，则最小值为__________． () 16． 如图，在平面直角坐标系中，以点C(1，1)为圆心，为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为弧AB上的动点，则的最小值为__________． () 17． 已知点A(-4，0)、P(t，0)(t>0)，在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作 ⊙B，连接OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连接OB、AQ． (1) 求证：∠CQP=∠AOQ； (2) CQ的长度是否随着t的变化而变化?如果变化，请用含t的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ的长；() (3) 当时， ①求点C的坐标；() ②点D是⊙B上的任意一点，求的最小值．() 类型三：调整系数 18． 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6，-1)，M(4，4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，求PO+2PA的最小值．(10) 19． 在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且，求2PD+PC的最小值．() 20． 如图，点A、B在⊙O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10．点P是⊙O上一动点，则的最小值为__________．(13) 21． 在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点连接PB、PC，求3PC+2PB的最小值．(21) 22． 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，求的 最小值．() 23． 如图，抛物线与x轴交于点A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于C点，⊙D过点A、B、C三点，P是⊙D上的一动点，连接PC、PO则的最小值为__________．() 24． 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，求 的最小值．() 25． 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，求的最小值．() 课后作业 0. 如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是OB上一动点，求的最小值________，求的最小值________．(5；) 27． (1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．(5；5) (2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点求的最小值和的最大值．(；) (3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．(；) 28． 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C． (1) 试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；(相切) (2) 点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD∽△ACF； (3) 点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出的最小值．(3) 29． 如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为(3，0)，以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1) △AOD与△COB相似吗?为什么? (2) 如图2，弦DE交x轴于点P，且，求；() (3) 如图3，过点D作⊙M的切线，交x轴于点Q．点G是⊙M上的动点，问比值是否变化?若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．() 图1 图2 图3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$