25.4 相似三角形的判定（第1课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

25.4 相似三角形的判定 第1课时 AA 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十五章 图形的相似 学习目标 1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 　 温故知新 问题1：什么叫做相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的两个三角形，称为相似三角形 问题2：相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形 问题3：全等三角形的判定定理有哪些？至少需要几个边或角的条件？ SSS、SAS、ASA、AAS、(直角)HL 至少3个 相似三角形的判定需要具备几对角相等或几对边成比例的条件呢？ 讲授新课 知识点一 三角形相似的判定定理1——AA 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？ C A B A' B' C' 画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 讲授新课 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC. 证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B ∵∠B=∠B′ ∴∠ADE=∠B′ 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′ ∴△ADE ≌△A′B′C′ ∴△A′B′C′ ∽△ABC C A A' B B' C' D E 画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 讲授新课 相似三角形的判定定理（一） 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 符号语言： C A B A' B' C' 讲授新课 典例精析 【例1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10， 求BC的长. 解：∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴ = ∴BC= = =14 A B C E D 讲授新课 练一练 1、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F． 求证：△DAF∽△ECD． 【证明】 在平行四边形ABCD中， ∵AB∥DC， ∴∠CDE=∠AFD， ∵∠A=∠C， ∴△DAF∽△ECD． 讲授新课 2、如图所示，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE． 【证明】 ∵∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴∠B=∠C=45°． ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，且∠ADE=45°， ∴45°+∠BAD=45°+∠CDE， ∴∠BAD=∠CDE， ∴△ABD∽△DCE． 讲授新课 3、如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°． （1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP； （2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？ 【证明】（1）如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∵∠CPE=∠BGP+∠B=∠CPF+∠DPE，∴∠BGP+45°=∠CPF+45°， ∴∠BGP=∠CPF， ∵∠B=∠C，∴△PBG∽△FCP； 讲授新课 （2）△PBG∽△FCP，理由如下： 如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∵∠PGB=∠C+∠CAE=45°+∠CAE， ∠FPC=∠FPG+∠CAE=45°+∠CAE， ∴∠PGB=∠FPC， ∵∠B=∠C， ∴△PBG∽△FCP． 当堂检测 1、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解析】∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠OAB=∠OCD，∠AOE=∠FOC，∠BOE=∠FOD，∴△AEO∽△CFO，△ABO∽△CDO，△BEO∽△DFO， ∴共有3对相似三角形．故选:C. 当堂检测 2、如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是(　　) 【详解】A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似； B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似； C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似； D．不满足相似三角形的判定方法． 故选：D． 当堂检测 3、下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　） A．两个直角三角形 B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C．有一个角为40°的两个等腰三角形 D．有一个角为100°的两个等腰三角形 【详解】1）两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似； 2）两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似； 3）有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似； 4)有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似； 故选：D． 当堂检测 4、在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明： 1）证明：△ABC与△ACD相似； 2）AD=4，AC=6，求AB. A B C D 解：在△ABC和△ACD中， ∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B， ∴ △ABC∽△ACD， ∴ = 则AB = 9. 当堂检测 A B D C 5. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADB 当堂检测 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 6. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．求证： D C A B E F 当堂检测 7．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°． 求证：△ACD∽△BEC 【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 当堂检测 8.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； ∴ (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． 课堂小结 相似三角形的判定定理（一） 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 符号语言： C A B A' B' C' 谢 谢~ $$