精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-—2025学年八年级上学期第一次段考数学试题（A卷）

丰城九中九年级数学阶段性检测（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 2. 使二次根式有意义的a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3. 已知，，那么与的关系为（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 绝对值相等 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项要求，利用作差法得到即可确定A错误；求和得到即可确定B错误；由于，且即可确定D错误；根据即可确定C正确． 【详解】解：A、，， ， ，故A错误； B、，， ，与不是互为相反数，故B错误； C、，， ，与互为倒数，故C正确； D、由A与B选项的说明过程可知，且，与绝对值不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解决问题的关键． 4. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过三角形内角和定理可判断A和D；通过勾股定理逆定理可判断B和C． 【详解】解：A．∵， ∴可设，则，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，，故此三角形不是直角三角形，符合题意； B．∵， ∴可设，则，． ∵， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意； C．∵，，，， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意． 故选A． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． 6. 如图， 以 的两条直角边向内分别作两个等边三角形与 ，连接， 若， 则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与交于F点，根据等边三角形的性质可得为的平分线，进而可证明是等腰直角三角形，即可得，设，根据勾股定理可得，进而可求解与的关系，即可判定求解． 【详解】解：设与交于F点， ∵，和是等边三角形， ∴， ∴ ∴为的平分线， ∴，且F为的中点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理，二次根式的除法运算，含角的直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质等知识的综合运用，根据勾股定理，利用x表示的长是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算_________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握，． 8. 当时，______． 【答案】2024 【解析】 【分析】将代数式根据完全平方公式化简，再代入，根据二次根式的性质进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据代数式的特点利用完全平方公式化简是解题的关键． 9. 若等腰三角形的底边长为，腰长为，则此三角形的面积是________． 【答案】60cm2 【解析】 【分析】可根据题意作出图形，根据等腰三角形的性质和勾股定理求直角三角形得出三角形的高，即可求解其面积． 【详解】解：如图，在△ABC中，BC=10cm，AB=AC=13cm， 过A作AD⊥.BC，垂足为D， ∵AB=AC， ∴D为BC中点， ∴BD＝CD＝5cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144， ∴AD＝12cm， ∴． 故答案为：60cm2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用、等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高以及熟记三角形的面积公式． 10. 如图，△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB的面积为169，则（a－b）2的值为____________ 【答案】49 【解析】 【分析】根据△ACB的面积为30发求出ab=60，根据正方形ADEB的面积为169求出，利用完全平方公式展开括号代入计算即可得到答案. 【详解】∵△ACB的面积为30，∠C＝90°， ∴, ∵BC＝a，AC＝b， ∴, ∴ab=60, ∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b， ∴, ∵正方形ADEB的面积为169， ∴, ∴, 故答案为：49. 【点睛】此题考查三角形的面积公式，正方形的面积公式，完全平方公式，利用图形的面积求出ab=60，，利用完全平方公式计算是解题的关键. 11. 如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB=2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD=1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则AD=_____米． 【答案】1.5 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米，利用勾股定理求出AD即可． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE=BC=1.2米，BE=CD=1.8米， 在Rt△ADE中，AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9米，AD2=AE2+DE2， ∴AD=米， 故答案为：1.5． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 12. 如果直角三角形的三条边分别为4、5、，那么的值等于________． 【答案】9或41##41或9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分a为直角边和斜边有两种情况，分别运用勾股定理解答即可． 【详解】解：当a为直角边时，则这个直角三角形的斜边的长为5，由勾股定理可得； 当a为斜边时，这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，由勾股定理可得：． 故答案为：9或41． 三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）先求出算术平方根，零指数幂，然后化简绝对值，最后进加减运算即可． （2）先运用平方差公式以及完全平方公式展开，然后计算二次根式的混合运算即可． 【详解】解：（1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中， 【答案】 ， 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，合并后再把已知条件代入求值. 【详解】原式 当，y= 4时 原式= 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，注意先化简代数式，再进一步代入求得数值. 15. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 【答案】（1）；； （2）证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，求得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∵在中， ∴ （2）略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键． 16. 已知在中，，点P在边上，连接．点P在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】 证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定以及性质，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角可知，由直角三角形两锐角互余可得出，结合可得出，最后根据等角对等边可得出． 【详解】略 17. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而得到，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，最后根据计算即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为和，求阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，面积为． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和应用，先根据正方形的面积求出它们的边长，即可根据图形求出它们的周长和面积，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：因为大正方形的面积为，所以大正方形的边长为， 因为小正方形的面积为，所以小正方形的边长为， 因为，所以阴影部分的周长， 面积， 答：阴影部分的周长为，面积为． 19. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 【解析】 【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里， ∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900， ∴OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进， ∴∠BOD＝50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 【答案】（1）是，证明如下： ∵在中，， 又， 是以为直角的直角三角形， ， ∵点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路． （2）千米． 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； (2)在△ACH中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）设， 千米， 千米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 千米， 比少千米． 【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 五、（本题共2小题，每题9分，共18分） 21. 已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点，如图，点M、N是线段的勾股分割点． （1）当，时，求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）的长为或5． （2）的长为a或． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及二次根式的混合运算． （1）分两种情况：当为最大线段时和当为最大线段时，利用勾股定理求解即可． （2）分两种情况：当为最大线段时和当为最大线段时，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：分两种情况： ①当为最大线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ ②当为最大线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ 综上所述：的长为或5． 【小问2详解】 ①当为最大线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ ②当为最大线段时， ∵点M、N是线段的勾股分割点， ∴ 综上所述：的长为a或． 22. 先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：，理由如下： ，，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键． （1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）直接根据两点间距离公式计算即可； （3）先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； 【小问3详解】 略 六、（本题共1小题，每题12分，共12分） 23. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 【答案】（1），理由： 如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° (SAS) ． （2）13； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得 （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点则，连接，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）略 （2）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° , (SAS) ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接 则,， 又 在与中 （AAS） 在中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中九年级数学阶段性检测（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 使二次根式有意义的a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，，那么与的关系为（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 绝对值相等 4. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 以 的两条直角边向内分别作两个等边三角形与 ，连接， 若， 则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算_________． 8. 当时，______． 9. 若等腰三角形的底边长为，腰长为，则此三角形的面积是________． 10. 如图，△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，正方形ADEB的面积为169，则（a－b）2的值为____________ 11. 如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB=2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD=1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则AD=_____米． 12. 如果直角三角形的三条边分别为4、5、，那么的值等于________． 三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）． 14. 先化简，再求值：，其中， 15. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 16. 已知在中，，点P在边上，连接．点P在线段的垂直平分线上，求证：． 17. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为和，求阴影部分的周长和面积． 19. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 20. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 五、（本题共2小题，每题9分，共18分） 21. 已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点，如图，点M、N是线段的勾股分割点． （1）当，时，求的长； （2）当，时，求的长． 22. 先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 六、（本题共1小题，每题12分，共12分） 23. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $