精品解析：浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-—2025学年九年级上学期9月月考数学试卷

锦绣育才教育集团2024学年第一学期9月月评 九年级数学问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（　　） A. B. C. D. y＝ax2+bx+c 2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（　　） A. 在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B. a是实数， C. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D. 两数相加，和是正数 3. 二次函数 的图象向左平移3个单位后的函数为（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 5. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，有最大值2 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 6. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则d的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 12. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为______个． 13. 衢江锦绣学校将在10月举行运动会，要在九（2）班学生中选两名学生作志愿者，该班现有3名男生和2名女生报名，则恰好挑选的是一男一女的概率是________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是____． 15. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______． 16. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数图象上． 18. 已知抛物线． （1）求该抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据图象指出为何值时，随着的增大而减小，为何值时，随着的增大而增大． 19. 某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； （2）这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 20. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为 ； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 21. 如图，直线与轴、轴分别相交于，经过两点的抛物线与轴另一交点为A，且对称轴是直线． （1）求抛物线解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 22. 某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． （2）将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 23. 如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上之间动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 24. 设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … （1）若时，求二次函数表达式； （2）若当时，y有最小值为，求a的值； （3）若是函数图象上点，若当时，，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锦绣育才教育集团2024学年第一学期9月月评 九年级数学问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（　　） A. B. C. D. y＝ax2+bx+c 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、，是二次函数，正确； B、，不是二次函数，错误； C、，不是二次函数，错误； D、y＝ax2+bx+c，不是二次函数，错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（　　） A. 在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B. a是实数， C. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D. 两数相加，和是正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球是不可能事件，故不合题意； B、a是实数，，这是必然事件，故符合题意； C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段有可能平行，是随机事件，故不合题意； D、两数相加，和有可能为0，或负数等，是随机事件，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3. 二次函数 的图象向左平移3个单位后的函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减”原则进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位后，所得函数的表达式是，即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 4. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 5. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，有最大值2 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，若，则在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小，若，则在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数有最小值2，当时，随增大而增大， ∴四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 6. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4 由勾股定理得，大正方形的边长为， ∴大正方形面积为20， 而阴影区域的边长为2，面积为4； 故飞镖落在阴影区域的概率． 故选：C． 【点睛】本题考查几何概率，掌握几何概率的求法是解题的关键． 7. 函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象过一、二、三象限，抛物线开口向下，B选项不符合； 当时，一次函数的图象过二、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A选项符合，C、D选项不符合； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8. 如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象问题，分和两种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ， 当时，， ， 故函数图象是两段开口向下的抛物线， 故选B． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）． 【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴， ∴，即， ∴，故（1）（3）正确； 由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误； ∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上， ∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大， ∴，故（4）错误； 由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为， ∴当x=m时，（m为常数），则有， ∴，即为，故（5）正确； 综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则d的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出d范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：如图，根据题意可知． 对称轴为， ∵， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即，整理得． ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得． 综上，或． 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 12. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为______个． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，解得：n=20，故答案为20． 考点：利用频率估计概率． 13. 衢江锦绣学校将在10月举行运动会，要在九（2）班学生中选两名学生作志愿者，该班现有3名男生和2名女生报名，则恰好挑选的是一男一女的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式求出概率即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女1 男1，女1 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女1 男2，女2 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女1 男3，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3 女2，女1 共20种等可能的结果，其中一男，一女的情况有12种， ∴； 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，随增大而减小，则的范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的增减性进行判断即可． 【详解】由抛物线可知，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴的范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用是解题关键． 15. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接BC与AO交于点D， ∵四边形OBAC为菱形 ∴AO⊥BC， ∵∠OBA=120° ∴∠AOB=30°， ∵B的坐标为(1，)， ∴OA=2OD=2，BC=2BD=2， ∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2. 故答案为： 考点：二次函数的性质 16. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并取的中点，连接，，于是可得，，然后求得抛物线与轴的交点，的坐标，进而可求得的长，接下来求得抛物线顶点的坐标，即可求得的长，于是利用勾股定理即可求得的长，进而可求得的长，最后利用三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】解：如图，连接并取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 轴， ， 又为的中点， ， 令， 解得：或， ，， ，， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， ， 当时，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即：长的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半），求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，轴对称的性质，求函数值，勾股定理，三角形三边之间的关系等知识点，添加适当的辅助线，巧妙利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象上的点： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象的顶点为，即可得出结论； 【小问1详解】 解：设函数解析式为：，把代入解析式，得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线的顶点坐标为， ∴在这个函数图象上， ∴不在这个函数图象上． 18. 已知抛物线． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据图象指出为何值时，随着的增大而减小，为何值时，随着的增大而增大． 【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）五点法画出函数图象，根据图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 列表如下： 0 1 2 3 2 3 2 画图如下： 由图可知：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 19. 某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； （2）这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； 【小问2详解】 解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 20. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为 ； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）据概率公式直接填空即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关一种情况，故小灯泡发光的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种， ∴小灯泡发光的概率为 【点睛】题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键． 21. 如图，直线与轴、轴分别相交于，经过两点的抛物线与轴另一交点为A，且对称轴是直线． （1）求抛物线解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）判断出B、C和A点坐标，设抛物线的解析式为，把代入得到即可； （2）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：令，得， 令，得， 解得， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴另一交点为A， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入得到， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当直线在抛物线下方时，或， ∴当时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 22. 某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． （2）将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】（1） （2）将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． （3）为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【解析】 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【小问1详解】 根据题意，得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； 【小问3详解】 依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 23. 如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或； 【解析】 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 24. 设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）若当时，y有最小值为，求a的值； （3）若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数性质、二次函数最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）设，由抛物线过可得，即，然后分和分两种情况分别运用二次函数的性质进行解答即可； （3）分和分两种情况分别运用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵经过， ∴， ∴， ∴， ①若时，当时，， ，解得：， ②若时，当时，， ，解得， ∴综上所述：或； 【小问3详解】 解：若时，当时，， ∴， ∴， 若时，当时，；当时，， ∵表格中当时，， ∴不符合题意； ∴综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$