第23章 解直角三角形 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第23章 解直角三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十三章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 2．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 5．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 9．如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．在中，，，， ． 12．若，则锐角 锐角（填、或）． 13．如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，若菱形边长为2，则点到的距离为 ． 14．如图1，平行四边形的两条邻边的长分别为，其中一内角的度数为α，将两个如图1所示的平行四边形按如图2所示的方式摆放在边长为b的菱形中，左上部为重叠部分，右下部为剩余部分（阴影部分），剩余部分的面积记为；将四个如图1所示的平行四边形按如图3所示的方式摆放在边长为的菱形中，左上部与右下部均为剩余部分（阴影部分），面积分别记为． （1）图1中平行四边形的面积为 ，图3中的值为 ； （2）之间的关系式为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算：． 16．在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 17．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 18．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 19．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 20．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 22．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 23．如图1，抛物线顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线交于点O，B．现将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，点G是x轴上一动点．连接，当时，求点G的坐标； (3)如图3，点P是抛物线在直线下方图象上的一个动点，连接，与直线相交于点Q．求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 解直角三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十三章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据的余弦值是解答，熟记的余弦值是是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 4．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得（米）， 在中，，， （米）， 故选A． 5．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，在菱形中，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 连接，与交于点O，由三角形的中位线定理得到，根据菱形的性质和解直角三角形得到，即可求解． 【详解】解：连接，与交于点O， ∵分别是的中点，且分别是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选D． 8．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值设未知数：设，则，，证明，根据相似三角形对应边成比例列式，表示出的长，根据已知的面积关系：的面积是面积的10倍，列方程解出即可． 【详解】解：如图，作于点F， 则， 设，则，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， 的面积是面积的10倍， ， 即， 整理得， 解得（舍），， 经检验，是原方程的解， ，， 由勾股定理得， 故选C． 10．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质平行线的性质，以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键． 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为1，，， 四边形、、、都是正方形， ，，每个内角都为， ∴， ， 则， 同理可得：， 故正方形的边长是：， 则正方形的边长为：， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．在中，，，， ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦是解题的关键．根据正弦的概念计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故答案为：． 12．若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 13．如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，若菱形边长为2，则点到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接，过点作于点，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，设，则，可得出，解方程即可得出答案．此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， 四边形为菱形，， 为等边三角形，，， 为的中点， 为的平分线，即， ， 由折叠的性质得到， 设，则， ∴， 菱形的边长为2， ， ， 解得：． 故答案为：． 14．如图1，平行四边形的两条邻边的长分别为，其中一内角的度数为α，将两个如图1所示的平行四边形按如图2所示的方式摆放在边长为b的菱形中，左上部为重叠部分，右下部为剩余部分（阴影部分），剩余部分的面积记为；将四个如图1所示的平行四边形按如图3所示的方式摆放在边长为的菱形中，左上部与右下部均为剩余部分（阴影部分），面积分别记为． （1）图1中平行四边形的面积为 ，图3中的值为 ； （2）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边的选项中，菱形的性质，解直角三角形． （1）设图1中平行四边形的，根据平行四边形的面积公式计算即可求出图1中平行四边形的面积；根据题意得图3中面积为的四边形为长为a的菱形，同理设为长为a的菱形的高为y，根据菱形的面积公式计算即可求出； （2）根据题意得阴影部分的四边形边长都为，则阴影部分的四边形是边长为的菱形，设边长为的菱形的高为，根据菱形的面积公式求出，同理得图3中面积为的四边形为长为邻边的长分别为的平行四边形，高为，求出，再结合，即可得出结论． 【详解】解：（1）设图1中平行四边形的， 图1中平行四边形的面积为， 根据题意得图3中面积为的四边形为长都为a， 图3中面积为的四边形是菱形， 同理设为长为a的菱形的高为y， ； 故答案为：；； （2）如图2， 根据题意得阴影部分的四边形边长都为， 阴影部分的四边形是边长为的菱形， 设边长为的菱形的高为， ， ， ， ， 同理得图3中面积为的四边形为长为邻边的长分别为的平行四边形， 高为， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算：． 【答案】12 【分析】本题考查整数指数幂的性质和特殊三角函数值的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值． 根据零指数幂和负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值、实数运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 16．在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 17．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 18．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆的长度为． 19．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 20．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． （3）解：如图③中，点F即为所求． ． 22．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可； （2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，， ， 入射角约为． 图1 （2）解：如图2，作于点， 在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率， 光线从空气射入水中的折射率． 【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．如图1，抛物线顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线交于点O，B．现将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，点G是x轴上一动点．连接，当时，求点G的坐标； (3)如图3，点P是抛物线在直线下方图象上的一个动点，连接，与直线相交于点Q．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求得的顶点C的坐标，再根据轴对称性质得到点F的坐标，进而可求解； （2）过O作于H，过F作轴于K，根据坐标与图形和正切定义可求得，再利用勾股定理求得，则，设，利用勾股定理和三角形的等面积法得到方程，然后解方程即可求解； （3）先联立方程组求得，，，设，过P作交于N，则，根据等高的三角形面积比等于对应底边的比得到的最大值就是求的最大值，证明，得到，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由得顶点C的坐标为， ∵将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点C的对应点是F， ∴点F的坐标为， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：如图2，过O作于H，过F作轴于K， 则，， ∴，， 在中，， ∴， 由得：， 解得，则， 设，则， ∴， 由得：， 整理，得， 解得，， ∴点G坐标为或； （3）解： 联立方程组，解得，， ∴，则，， 由题意，设， 过P作交于N，如图3，则， ∴， ∵， ∴求的最大值就是求的最大值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 故的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$