专题12 解直角三角形与实际问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题12 解直角三角形与实际问题 目录 1 类型一、仰角俯角问题 1 类型二、坡度坡比问题 7 类型三、方向角问题 11 类型四、物理模型问题 18 类型五、实物抽象模型问题 23 类型六、坡度坡比与仰角俯角综合问题 29 类型七、临界值问题 35 类型八、方案设计问题 40 45 类型一、仰角俯角问题 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角三角函数值，再求出角的度数. 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 【答案】米． 【分析】通过作辅助线构建直角三角形，利用三角函数关系和已知条件建立方程，求出建筑物超出测角仪部分的高度，进而得到建筑物的总高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：延长交于点H，由题意可得，四边形，，均为矩形， 米，米， 设米 ， 米 米，米 在中， ∴ 解得 米 ∴建筑物的高度为米． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）数学兴趣小组借助无人机开展实地测量．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组控制一架无人机沿的仰角方向飞行100米到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30米至点处，此时测得河对岸处的俯角为（图中A，，，在同一个竖直平面内）． (1)求无人机从A飞到时的飞行高度（结果保留根号）； (2)求河道的宽度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)无人机从A飞到时的飞行高度为米 (2)河道的宽度约为90.9米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行线的性质等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点E，由题意易得，然后根据余弦的定义可进行求解； （2）过点D作于H，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： 由图可知：， ∴； 答：无人机从A飞到时的飞行高度为米； （2）解：如（1）图，过点D作于H， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 答：河道的宽度约为90.9米． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 4．（2024·河南商丘·三模）某校无人机社团在活动中准备测量该校教学楼的高度，小明操控无人机从距离地面的点出发，沿水平方向向教学楼飞行，无人机在点时测得教学楼顶部点的俯角为，飞行到达点时测得教学楼底部点的俯角为，图中四点均在一个平面内，求出教学楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、仰角和俯角问题，解题的关键在于正确画出辅助线． 延长交的延长线于点，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点 楼房垂直于地面 设 ，，， 在中， 在中， 解得：， 答：教学楼的高度约为． 类型二、坡度坡比问题 解题方法：解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 5．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案； 对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案． 【详解】（1）如图，分别过点A，E作于点于点． 在中，坡比为， ， 根据勾股定理，得， 解得. 在中，坡比为， ∴， 根据勾股定理，得． 答：的长为； （2）根据题意可知四边形是矩形， ∴． 在中， ，，， 土石方体积． 答：所需土石方约为． 6．（2023九年级·全国·专题练习）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为使残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为． (1)求斜坡的坡高和坡宽（结果精确到0.1米）； (2)求斜坡新起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，，， 【答案】(1)9.8，2.0 (2)12.4 【分析】1）根据正弦的定义列式求出和； （2）根据余弦的定义求出，根据正切的定义求出，结合图形计算得到答案． 【详解】（1）在中， ，， 即，， （米，（米， 答：斜坡的坡高约为2.0米，坡宽约为9.8米． （2）设米， 在中，， 即， 解得：， 故斜坡新起点与原起点的距离为12.4米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图1，某学校教学楼从一楼到二楼由两段坡度相等的楼梯联通，经测量其中一段楼梯的长为4米（如图2），坡角为． (1)求点到地面的距离； (2)楼梯每级的水平级宽均是0.25米，小明跨上5个台阶后，他上升了多少米？（参考数据：） 【答案】(1) (2)小明跨上5个台阶后，他上升了0.75米 【分析】本题考查了有关坡度问题的解直角三角形的应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点D，在中，由即可求解； （2）由题意得，小明跨上5个台阶的水平距离为，假设此时小明在点M处，过点M作于点N，则，在中，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D， ∴在中， 答：点到地面的距离为； （2）解：由题意得，小明跨上5个台阶的水平距离为， 如图：假设此时小明在点M处，过点M作于点N，则， 在中，， 答：小明跨上5个台阶后，他上升了0.75米． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； （2）解：由（1）可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 类型三、方向角问题 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） (1)求的面积（结果精确到平方千米）； (2)求的长度（结果精确到千米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键． （1）过点作于点，可得，，在中，根据正余弦可求得、的长度，在中，根据等腰直角三角形的性质，可得的长度，进而得出，根据三角形面积公式求得结果； （2）过点作于点，可得，在中，根据正弦可求出，在中，根据正弦求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意可得，， 在中，，， 在中，， ； （2）解：过点作于点，易证， 在中，， 在中，． 10．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 【答案】(1) (2)海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角、三角形内角和定理等知识点，作垂线构造直角三角形、利用直角三角形的边角间关系求解是解决本题的关键． （1）由方位角结合平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可得的度数即可． （2）如图，过点A作，垂足为M，构造和，利用直角三角形的边角关系，可求出线段的长，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：海里，， ， ， ， ∴． ， ． ． （2）解：如图，过点A作，垂足为M． 在中， 海里，， ∴， 海里，海里． 在中，， （海里）， （海里）． 答：考察船在点B处与小岛C之间的距离为10.7海里． 11．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，且，在的正北方向，点在点的南偏东方向，在点的东南方向，且米．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到米） (2)大门在风景点的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)约为米 (2)的距离为米 【分析】（1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，方位角，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，，, ，， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）． （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ，， ， ∵，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）． 答：的距离为米． 12．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，海中两个灯塔、，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 【答案】． 【分析】本题考查了三角函数的应用以及方向角的定义，掌握三角函数的应用以及方向角的定义是解题的关键． 分析题意，首先过点作，垂足为，过点作，如图所示，设；根据方向角的定义以及锐角三角函数关系可得，据此即可求出的值；接下来再根据锐角三角函数关系可得，据此即可求出，即可解出、间的距离． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，如图所示： 由题意可得出：， ， 则， ， 设， ∵， 解得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ． 答：灯塔、间的距离为海里． 类型四、物理模型问题 解直角三角形在物理中的应用，本质是 “用几何工具解决矢量问题”—— 先通过分解将复杂矢量转化为直角三角形的边，再用物理规律列方程，最后用几何性质求结果，核心是 “物理场景→矢量分解→规律应用→几何求解” 的闭环。 13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 14．（24-25九年级上·辽宁·期末）在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)绳子的速度为， (2)绳子长度为 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的性质． （1）以，，，标记矩形的四个顶点，由题意可得：，，，，，根据，，即可求解； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为，由题意得：，，，根据求出，再根据绳子长度为，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，以，，，标记矩形的四个顶点． ，，，，． 在中，，， ． 在中，，， ， 绳子的速度为，； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为． 由题意得：，，， 在中， ， ． ． 答：绳子长度为． 15．（22-23九年级上·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，解，根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即点到的距离为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 类型五、实物抽象模型问题 “实物抽象找直角，已知元素标三角；勾股定理求边长，三角函数边角找；单位统一别忘掉，结果验证要周到。”通过以上方法，可将复杂的实物问题转化为 “直角三角形的边角计算”，核心是抓住 “垂直关系” 和 “已知量的对应”，用直角三角形的基本性质（勾股定理、三角函数）实现从 “实物” 到 “数学模型” 再到 “结果” 的转化。 16．（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键； 选择方案一：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 选择方案二：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一：在中，有； 在中，有， 即：， ， （米）； 选择方案二：在中，有； 在中，有， 即， ， （米）； 答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长．（参考数据：，，）． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形．根据题意过点B作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，利用三角形函数求出和，继而得到本题答案． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴点C到工作台的距离的长约为米． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形的应用，先求解，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵该充电站有个停车位，所有车位均相同， ∴． 19．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】每节拉杆的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得． 【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 20．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 类型六、坡度坡比与仰角俯角综合问题 21．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡度：，铅垂高度米（点，，，同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米 (2)飞机距离地面的高度为米 【分析】（1）根据题意可得：，然后根据已知斜坡CD的坡度为，可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得；米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义用求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答， 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 斜坡的坡度，铅垂高度米， ， 米． ， （米）； （2），，, 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ． 设米，则米， 米． 在中，， 解得．经检验是方程的解， 米． 答：飞机距离地面的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角三角函数值等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】小李到古塔的水平距离即的长约为21米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，由题意得四边形是矩形，故，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 由题意得：（米），（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 答：小李到古塔的水平距离即的长约为21米． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图．为测量学校旗杆的高度,小明从旗杆正前方8米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进8米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交延长线于点,则中求得米，米； 作可得，，根据，可得答案． 【详解】（1）解：延长交射线于点， 由题意得， 在中, 米， 米，米， ∴点D的铅垂高度为米． （2）解：过点作于， 由题意得，即为点观察点时的仰角, ∴四边形为矩形， 米， 米， 在中，，米， 米． 24．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，求此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度不计，结果保留根号形式） 【答案】点的铅直高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于点，解求出米，设米，由坡度得到米，再根据即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，解题的关键是正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【详解】解：作于点，在中，，， ∴（米）, 设米， ∵， ∴米， 在中，，，， ∵， ∴， 解得， 答：点的铅直高度为米． 类型七、临界值问题 25．（2021·河南三门峡·一模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽为1.2米．（参考数据：，） （1）当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？请说明理由． （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 【答案】（1）车门不会碰到墙，见解析；（2）靠墙一侧车门能打开的最大角度为 【分析】（1）过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可； （2）过点A作，垂足为D，，求出即可． 【详解】解：（1）过点A作，垂足为点Ｃ． 在中， ， ∴， ∵， ∴车门不会碰到墙． （2）过点A作，垂足为D， 在，∵， ∴． ∴， 又∵正弦值随着角度的增大而增大， ∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练构建直角三角形，运用解直角三角形求解． 26．（2024·安徽合肥·二模）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 【答案】这款马扎不能符合他的要求 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，过作的垂线交于，交于，根据题意可得，，， ，根据等腰三角形的性质得出，证明，从而得出，算出，，再根据勾股定理算出，从而算出，即可求解； 【详解】解：连接，过作的垂线交于，交于， 根据题意可得，．，， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点E在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这款马扎不能符合他的要求． 27．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个铁路与公路交接处，为了不影响各自的交通，现使用了下穿涵洞，穿过涵洞后是一段斜坡路面．已知涵洞顶端点与涵洞路面垂直高度，涵洞路面与斜坡路面交于点．点，，在同一个水平面上，斜坡的坡角． (1)求点到斜坡路面的垂直距离的长；（结果精确到，参考数据：， ，） (2)如图2，一辆货车长为，若以的长作为限制通行高度，是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数的应用及实际问题中的限高合理性判断，熟练掌握三角函数计算是解题关键． （1）根据题意可得，由三角函数即可求解的长； （2）不合理．货车过涵洞，车的高度的最大值为的值，，即以的长作为限制通行高度不合理． 【详解】（1）解：根据题意，得：， ，， ， 在中，，， ， 点到斜坡路面的垂直距离的长约为． （2）解：不合理，理由如下： 货车过涵洞，车的高垂直于，即车的高度的最大值为的值， 又在中，， 以的长作为限制通行高度不合理． 28．（23-24九年级上·河北唐山·期中）为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求； (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．） 【答案】(1)距离不符合最佳要求 (2)作业本移动的距离 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯角的概念是解题关键． （1）根据三角函数的定义列式计算即可； （2）根据勾股定理求出的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出的长，即可求出最后结果． 【详解】（1）解：如图，在中， ，， ， ， ， ， ， 距离不符合最佳要求； （2）在中，，， ， 为了符合最佳要求，， 在中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 类型八、方案设计问题 29．（2025·安徽合肥·二模）某综合实践活动小组尝试通过利用无人机（无人机限高米）测算某山体的海拔高度当无人机位于海拔高度为米的处，测得与山顶处的仰角为，活动小组设计了如下两种方案请选择其中一种测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）（参考数据：，，） 测量示意图 方案说明 方案一 当无人机从处垂直上升米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 方案二 当无人机从处水平后退米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 【答案】山体的海拔高度为米 【分析】选择方案一，结合图形，在中，得到米，在中，利用解直角三角形，求出的值，即可得到结果； 选择方案二，结合图形，在中，得到米，在中，利用解直角三角形，求出的值，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：选择方案一， 设米，则米， 在中，， 米， 米， 米， 在中，，， 故， 解得， 米， 米， 米， 米， 答：山体的海拔高度为米； 选择方案二， 在中，， 令米， 米, 米, 在中,,, ， 解得， 米， 米， 米， 米， 答：山体的海拔高度为米． 30．（2025·湖北随州·一模）要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． (1)根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； (2)请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到）． 【答案】(1)一 (2)约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分析第一小组题意，可得缺少中的边长，无法通过相似三角形计算长的值． （2）在和中，利用，，结合，即可求解旗杆的高度． 【详解】（1）解：∵第一小组的数据缺少中的边长，无法计算长的值， ∴第一小组无法测量旗杆的高度． 故答案为：一． （2）解：第二小组方案，在中，，， 在中，， ， 答：学校旗杆的高度约为． 31．（2025·安徽合肥·模拟预测）综合与实践 某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点C，D在点B的正西方向． 是银杏树旁的房屋． 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方． 测量数据 ，，． ，． ， ， ． (1)第________小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)二 (2)银杏树的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是利用三角函数关系，结合已知角度和边长，建立方程求解银杏树高度． （1）判断小组数据能否计算高度，需看是否能利用已知角度，结合直角三角形边角关系（三角函数）求解，第二小组仅知两个角，缺边长数据，无法建立计算关系，故第二组无法计算． （2）选第一小组（或第三小组），利用直角三角形中，和角的三角函数关系，设银杏树高为，表示出相关线段长度，再根据建立方程，求解得出高度． 【详解】（1）解：由测量数据可知，第一小组和第三小组均可以计算出银杏树的高度， 第二小组仅给出，，还需要测量出一条边的数据，才可以计算出银杏树的高度． 故答案为：二． （2）①选择第一小组 由题意可知：，， ∴， 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得 答：银杏树的高度约为 ②选择第三小组． 由题意可知：，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设，则． ∴， ∴， 解得． 答：银杏树的高度约为． 32．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅． 项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示） 项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示） 项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）    【答案】任务（一）：，；任务（二）：，；任务（三）：地球的半径为，地球的周长 【分析】任务（一）：根据太阳光线是平行线可得，再根据弧长公式求出半径，即可求出对应的周长； 任务（二）：如图所示，延长交于P，同理求出，根据三角形外角的性质求出，再同（1）方法求出对应的周长即可； 任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，设地球半径为，则，证明，解，求出，则地球的周长. 【详解】解：任务（一）∵太阳光线是平行线， ∴， ∵， ∴， 设地球的半径为, ∵之间弧长为l， ∴， ∴， ∴地球子午线周长为， 故答案为：，；    任务（二）：如图所示，延长交于P， ∵太阳光线是平行线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设地球的半径为, ∵之间弧长为l， ∴， ∴， ∴地球子午线周长为， 故答案为：，；    任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，设地球半径为， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴地球的半径为， ∴地球的周长.    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，切线的性质，平行线的性质，求弧长，三角形外角的性质等等，正确理解题意并作出对应的辅助线是解题的关键. 33．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 34．（2021·山东济南·三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 35．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离为； (2)顶部线段的长为． 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为 由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 36．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，）    (1)求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； (2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处 【分析】本题考查了解直角三角形解决俯角、仰角的实际应用，等腰三角形的判定．正确理解题意是关键． （1）设交于点F，由题意得米，在中由三角函数可求得，即楼顶A到平衡臂的距离； （2）由（1）的计算可求得，在中，由正切关系可求得，即可求得向上与向右平移的距离． 【详解】（1）解：设交于点F，如图；    由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴米； ∵， ∴在中，（米）； ∵楼顶A到平衡臂的距离与的长度相等， ∴楼顶A到平衡臂的距离为米； （2）解：由（1）知，米，， ∴（米）； 在中，米， ∴吊钩D需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达A处．    37．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部，，，，，在同一条直线上，且，，卡座的高度为，的最低点到CD的距离为，求摆件的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，）    【答案】这个摆件的最大高度为 【分析】本题是圆与解直角三角形应用的综合，考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理等知识； 过A作于点H，应用解直角三角形的知识及已知求出的长；过点O作于点P，分别交于点M，Q，交于点N，连接，利用垂径定理及已知求出；设的半径为r，在中利用勾股定理建立方程求出r，即可求得摆件的最大高度． 【详解】解：如图，过A作于点H，则，由题意得：． ∴在中，， ∴，    ∵， ∴； 过点O作于点P，分别交于点M，Q，交于点N，连接， 由垂径定理，得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴． 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理，得：， 即，解得：； ∴直径， ∴， 即摆件的最大高度为． 答：这个摆件的最大高度为． 38．（23-24九年级上·安徽六安·期末）某校数学活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王明同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 综合实践活动报告    填写人：王明    时间：2023年12月6日 活动任务：测量大树高度 活动过程： 步骤一：设计测量方案，小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 步骤二：准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺． 步骤三：实地测量并记录数据，如图③，王明同学站在离大树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪中半圆形量角器的直径刚好到达大树的最高点，如图④．利用测角仪，测量后计算得出仰角a；用皮尺测出眼睛到地面的距离；用皮尺测出所站地方到大树底部的距离． 步骤四：计算大树高度．（结果精确到） （参考数据：，，） ________，，． 请结合图①、图④和相关数据，在前面的横线中写出的度数，并完成步骤四． 【答案】；大树高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解． 【详解】解：    如图所示：在中，， ∴ ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴ 答：大树高度约为 39．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 【答案】(1)42（海里）； (2)观测站搜救艇可以更快到达处． 【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可． （2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题． 【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以，，的中，作． ∵ ∴ ∴在中，， ∴由锐角三角函数可得， ， ∴， 在中， ． 如图，过点作于点，由题意可得， ， ． 设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴ ， ∴， ． 由勾股定理得， ∴（海里）． （2）由（1）知，， ∴从观测站行驶距离：（海里） 时间：（小时）； 从观测站行驶距离（海里） 时间：（小时） ∵， ∴观测站的搜救艇可以更快到达处． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形与实际问题 目录 1 类型一、仰角俯角问题 1 类型二、坡度坡比问题 3 类型三、方向角问题 5 类型四、物理模型问题 6 类型五、实物抽象模型问题 8 类型六、坡度坡比与仰角俯角综合问题 10 类型七、临界值问题 12 类型八、方案设计问题 14 16 类型一、仰角俯角问题 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角三角函数值，再求出角的度数. 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）数学兴趣小组借助无人机开展实地测量．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组控制一架无人机沿的仰角方向飞行100米到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30米至点处，此时测得河对岸处的俯角为（图中A，，，在同一个竖直平面内）． (1)求无人机从A飞到时的飞行高度（结果保留根号）； (2)求河道的宽度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 4．（2024·河南商丘·三模）某校无人机社团在活动中准备测量该校教学楼的高度，小明操控无人机从距离地面的点出发，沿水平方向向教学楼飞行，无人机在点时测得教学楼顶部点的俯角为，飞行到达点时测得教学楼底部点的俯角为，图中四点均在一个平面内，求出教学楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 类型二、坡度坡比问题 解题方法：解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 5．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 6．（2023九年级·全国·专题练习）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为使残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为． (1)求斜坡的坡高和坡宽（结果精确到0.1米）； (2)求斜坡新起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，，， 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图1，某学校教学楼从一楼到二楼由两段坡度相等的楼梯联通，经测量其中一段楼梯的长为4米（如图2），坡角为． (1)求点到地面的距离； (2)楼梯每级的水平级宽均是0.25米，小明跨上5个台阶后，他上升了多少米？（参考数据：） 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 类型三、方向角问题 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） (1)求的面积（结果精确到平方千米）； (2)求的长度（结果精确到千米）． 10．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 11．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，且，在的正北方向，点在点的南偏东方向，在点的东南方向，且米．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到米） (2)大门在风景点的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 12．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，海中两个灯塔、，其中位于的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 类型四、物理模型问题 解直角三角形在物理中的应用，本质是 “用几何工具解决矢量问题”—— 先通过分解将复杂矢量转化为直角三角形的边，再用物理规律列方程，最后用几何性质求结果，核心是 “物理场景→矢量分解→规律应用→几何求解” 的闭环。 13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 14．（24-25九年级上·辽宁·期末）在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 15．（22-23九年级上·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 类型五、实物抽象模型问题 “实物抽象找直角，已知元素标三角；勾股定理求边长，三角函数边角找；单位统一别忘掉，结果验证要周到。”通过以上方法，可将复杂的实物问题转化为 “直角三角形的边角计算”，核心是抓住 “垂直关系” 和 “已知量的对应”，用直角三角形的基本性质（勾股定理、三角函数）实现从 “实物” 到 “数学模型” 再到 “结果” 的转化。 16．（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长．（参考数据：，，）． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 19．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 20．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 类型六、坡度坡比与仰角俯角综合问题 21．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡度：，铅垂高度米（点，，，同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 22．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，） 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图．为测量学校旗杆的高度,小明从旗杆正前方8米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进8米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，．） 24．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，求此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度不计，结果保留根号形式） 类型七、临界值问题 25．（2021·河南三门峡·一模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽为1.2米．（参考数据：，） （1）当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？请说明理由． （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 26．（2024·安徽合肥·二模）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 27．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个铁路与公路交接处，为了不影响各自的交通，现使用了下穿涵洞，穿过涵洞后是一段斜坡路面．已知涵洞顶端点与涵洞路面垂直高度，涵洞路面与斜坡路面交于点．点，，在同一个水平面上，斜坡的坡角． (1)求点到斜坡路面的垂直距离的长；（结果精确到，参考数据：， ，） (2)如图2，一辆货车长为，若以的长作为限制通行高度，是否合理？请说明理由． 28．（23-24九年级上·河北唐山·期中）为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求； (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．） 类型八、方案设计问题 29．（2025·安徽合肥·二模）某综合实践活动小组尝试通过利用无人机（无人机限高米）测算某山体的海拔高度当无人机位于海拔高度为米的处，测得与山顶处的仰角为，活动小组设计了如下两种方案请选择其中一种测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）（参考数据：，，） 测量示意图 方案说明 方案一 当无人机从处垂直上升米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 方案二 当无人机从处水平后退米到达处时，测得与山顶处的仰角为． 30．（2025·湖北随州·一模）要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． (1)根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； (2)请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到）． 31．（2025·安徽合肥·模拟预测）综合与实践 某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点C，D在点B的正西方向． 是银杏树旁的房屋． 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方． 测量数据 ，，． ，． ， ， ． (1)第________小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 32．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅． 项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示） 项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示） 项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）    33．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 34．（2021·山东济南·三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 35．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 36．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）我国素有“基建狂魔”的称号，设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程；秦岭隧道工程；珠港澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着．如图，某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（参考数值，，）    (1)求楼顶A到平衡臂的距离（结果保留根号）； (2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？（结果保留根号） 37．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部，，，，，在同一条直线上，且，，卡座的高度为，的最低点到CD的距离为，求摆件的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，）      38．（23-24九年级上·安徽六安·期末）某校数学活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王明同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 综合实践活动报告    填写人：王明    时间：2023年12月6日 活动任务：测量大树高度 活动过程： 步骤一：设计测量方案，小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 步骤二：准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺． 步骤三：实地测量并记录数据，如图③，王明同学站在离大树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪中半圆形量角器的直径刚好到达大树的最高点，如图④．利用测角仪，测量后计算得出仰角a；用皮尺测出眼睛到地面的距离；用皮尺测出所站地方到大树底部的距离． 步骤四：计算大树高度．（结果精确到） （参考数据：，，） ________，，． 请结合图①、图④和相关数据，在前面的横线中写出的度数，并完成步骤四． 39．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． (1)求的长度．（结果精确到个位） (2)目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $