第三章 代数式 第3.3节 整式的加减-2024-2025学年《七年级数学上册培优全攻略》（2024苏科新版）

苏科2024新版第三章 代数式 3.3 整式的加减 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； 2.掌握同类项的概念及合并同类项的法则； 3.掌握去括号的法则； 4.能进行整式的加减运算及化简求值。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——整式是谁发明的？整式是什么时候，谁发明的？ 整式的概念最早可以追溯到公元前3世纪的希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。不过，整式的现代形式是在16世纪和17世纪由欧洲数学家发展出来的。 在16世纪，意大利数学家卢卡·帕西奥利（Luca Pacioli）首次使用了类似整式的符号，但并没有提出整式的规范化表示方法。在17世纪，国外数学家弗朗索瓦·维埃特（Francois Viète）和国外数学家约翰·沃利斯（John Wallis）独立地发明了整式的规范表示法，并建立了整式的基本理论和运算法则。 此后，整式成为了代数学中的一个基本概念，被广泛应用于代数、几何、物理学和工程学等领域。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点2：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点3：整式概念 整式：单项式与多项式的统称。 名师点拨 分母中含有字母（π除外）的代数式不是整式！ 知识点4：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 同类项的识别 例题1．下列各组代数式中，为同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练】 1．在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 4．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2 根据同类项的概念求参数值 例题2．若与的和为单项式，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．如果与是同类项．那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 3．若与是同类项，则的值为（    ）． A． B． C．8 D． 4．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 题型3 判断去括号是否正确 例题3．代数式去括号，得（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列各式中，去括号后得的是（    ）． A． B． C． D． 2．化简结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 判断合并同类项是否正确 例题4.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 整式的化简 例题5．化简： (1)； (2)． 【变式训练】 1．化简： (1)； (2)． 2．化简： (1)； (2)． 3．化简： (1) (2) 4．化简： (1) (2) 题型6 整式的化简求值 例题6．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式训练】 1． 已知，求代数式的值． 2．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 3．已知代数式，，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 4．已知，求： (1)； (2)当时，求的值． 题型7 整式的无关型问题 例题7．小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【变式训练】 1．已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 2．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 3.已知关于x的代数式的值与字母x的取值无关，，，求：的值． 4．已知：，． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 题型8 整式加减的应用 例题8．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【变式训练】 1．小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为，已知小长方形的长为． (1)求这个窗户的面积和窗户外框的总长． (2)小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）． 2．小明在纸上画了一个三角形，第一边长是，第二边长是，第三边长比第二边长小． (1)第三边长是多少？ (2)这个三角形的周长是多少？ 3．如图，某小区规划了一块边长为的正方形区域进行绿化建设，在四周2宽的区域栽种两种绿色植物，其中角落的四个小正方形区域种植树，其余区域铺设草坪．设草坪区域面积和为，植树区域面积和为． (1)求用含的代数式表示； (2)求用含的代数式表示． 4．一辆客车从甲地开往乙地，车上原有人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数一半还多2人，同时又有一些上车，上车的人数比少3人． (1)用代数式表示中途下车的人数； (2)用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人？ (3)当，时，求中途下车、上车之后，车上现在的人数？ 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各对式子是同类项的是 （   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知单项式与是同类项，则的值是（   ） A．6 B．8 C．5 D．9 5．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如果，那么（   ） A． B． C． D． 7．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 8．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 9．张老师用长的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 10．多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 二、填空题（本大题共10小题） 11．如果与是同类项，那么 ． 12．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 13．合并同类项： ． 14．去括号 ． 15．如图，化简 ． 16．若a，b互为相反数，则 ． 17．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 18．已知，，则多项式的值为 ． 19．已知式子的值与字母x的取值无关，则ba的值是 ． 20．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1)； (2)． 22．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 23．已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 24．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 25．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求（1）中整式的值； (3)先化简，再求值：，其中． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第三章 代数式 3.3 整式的加减 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； 2.掌握同类项的概念及合并同类项的法则； 3.掌握去括号的法则； 4.能进行整式的加减运算及化简求值。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——整式是谁发明的？整式是什么时候，谁发明的？ 整式的概念最早可以追溯到公元前3世纪的希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。不过，整式的现代形式是在16世纪和17世纪由欧洲数学家发展出来的。 在16世纪，意大利数学家卢卡·帕西奥利（Luca Pacioli）首次使用了类似整式的符号，但并没有提出整式的规范化表示方法。在17世纪，国外数学家弗朗索瓦·维埃特（Francois Viète）和国外数学家约翰·沃利斯（John Wallis）独立地发明了整式的规范表示法，并建立了整式的基本理论和运算法则。 此后，整式成为了代数学中的一个基本概念，被广泛应用于代数、几何、物理学和工程学等领域。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点2：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点3：整式概念 整式：单项式与多项式的统称。 名师点拨 分母中含有字母（π除外）的代数式不是整式！ 知识点4：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 同类项的识别 例题1．下列各组代数式中，为同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是利用同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，进而分析得出答案． 【详解】解：A、与，相同字母的次数不同，故不是同类项，不符合题意； B、与是同类项，符合题意； C、与，所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与，相同字母的次数不同，不是同类项，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．在下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关即可求解． 【详解】解：与是同类项的是， 故选：C． 2．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项．根据同类项的定义进行求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项． 【详解】解：A、与是同类项，本选项不符合题意； B、与是同类项，本选项不符合题意； C、与所含的字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项，本选项符合题意； D、与是同类项，本选项不符合题意； 故选：C． 3．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查同类项，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数也相同的项叫同类项是解题的关键． 根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、和，字母x的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意； B、和100是同类项，故此选项不符合题意； C、和是同类项，故此选项不符合题意； D、和是同类项，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，熟记同类项的含义是解题关键．根据同类项的定义分别判断即可：如果两个单项式，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么称这两个单项式是同类项． 【详解】解：A．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； C．与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； D．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意， 故选：C． 题型2 根据同类项的概念求参数值 例题2．若与的和为单项式，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：与的和为单项式， ， 解得 则的值分别为5，5. 故答案为：A． 【变式训练】 1．如果与是同类项．那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此求得m、n的值，代入计算可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，同类项，掌握绝对值有非负性、偶次方的非负性、同类项的定义是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，求出a、b的值，再根据所含字母相同，相同字母的指数相同的项叫同类项求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ∵和是同类项， ∴，， ∴． 故选：D． 3．若与是同类项，则的值为（    ）． A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的概念，有理数的乘方运算，关键是掌握同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可计算． 【详解】解：∵与是同类项， ， ∴ 故选：C． 4．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，同类项，乘方． 根据单项式与和为单项式，得到与是同类项，进而根据同类项的定义进行求解． 【详解】解：∵单项式与和为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故选：A 题型3 判断去括号是否正确 例题3．代数式去括号，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故选：A． 【变式训练】 1．下列各式中，去括号后得的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号法则与添括号法则， 熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．当括号前是“”号时，去掉括号和前面的“”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“”号时，去掉括号和前面的“”号，括号内各项的符号都要变号．逐项去括号即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 2．化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．下列去括号中正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，理解并掌握去括号法则是解题关键．去括号的原则即遇正不变，遇负变号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 题型4 判断合并同类项是否正确 例题4.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，不是同类项不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意；     D．，不是同类项不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的概念，含有相同的字母，并且相同字母的指数相同，是同类项的两项可以合并，否则不能合并．合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故C错误，不符合题意； D．与b不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项．由同类项的概念及合并同类项逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项符合题意， B、，故本选项不符合题意， C、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意， D、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意， 故选：A． 3．下列运算中，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同类项的定义及合并同类项的法则，根据整式的加减运算法则进行判断即可，正确掌握定义及合并的法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，熟练运用合并同类项的法则是解题关键． 利用合并同类项的法则判断即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误， B、，正确； C、，不是同类项，不能合并； D、，不是同类项，不能合并； 故选：B 题型5 整式的化简 例题5．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式训练】 1 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可； 本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算：熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）去括号后，合并同类项即可； （2）去括号后，合并同类项即可． 【详解】（1）原式， ． （2）原式， ． 题型6 整式的化简求值 例题6．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． （2）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， 把代入， 得． （2）解： 把代入， 得． 【变式训练】 1．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握绝对值与偶次方的非负性、去括号法则和合并同类项法则．由题意得，解方程得，再利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴原式 ． 2．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项化简，然后将、的值代入计算即可； （2）将、代入，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： 3．已知代数式，，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解；∵，， ∴ ， 当时，原式． 4．已知，求： (1)； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将代入，去括号，再合并同类项即可； （2）先将（1）中所得的代数式变形，再将整体代入计算即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）当时， ． 题型7 整式的无关型问题 例题7．小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【变式训练】 1．已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可． （2）令x项和项的系数为零列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 ∵的结果不含x项和项， ∴ ∴ ∴ 2．已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 3．已知关于x的代数式的值与字母x的取值无关，，，求：的值． 【答案】 【分析】先化简，令含x的项的系数为0，得到a，b得关系，化简后代入计算即可． 本题考查了整的加减中无关问题，化简求值，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； ∵ ， ∵，， ∴ ， 当时， 原式． 4．已知：，． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了整式的加减；解题的关键是根据整式的加减运算顺序分别进行计算即可． （1）根据，求出和，再进行相加即可求出答案； （2）根据（1）求出的答案，先把提出来，再根据的值与的取值无关，即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，的值与的取值无关， ， ； 题型8 整式加减的应用 例题8．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)米 (2)护栏的长度是米； (3)建此停车场所需的费用是23000元． 【分析】本题考查了整式的加减、列代数式和代数式求值，解题时要数形结合，该护栏的长度是由三条边组成的． （1）长方形停车场的宽=长方形停车场的长； （2）护栏的长度=2×与围墙垂直的边长+与围墙平行的一边长； （3）把a、b的值代入（2）中的代数式进行求值即可． 【详解】（1）解：依题意得长方形停车场的宽：米； （2）解：护栏的长度； 答：护栏的长度是米； （3）解：由（2）知，护栏的长度是米， 则依题意得： （元）． 答：若，每米护栏造价100元，建此停车场所需的费用是23000元． 【变式训练】 1．小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为，已知小长方形的长为． (1)求这个窗户的面积和窗户外框的总长． (2)小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）． 【答案】(1)这个窗户的面积为，窗户外框的总长为 (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用： （1）先求出小长方形的宽为，再根据窗户的面积等于下面4个小长方形面积加上半圆面积求出窗户的面积，窗户外框的总长等于下面大长方形的周长减去一个长再加上半圆周长即可求出答案； （2）用窗户面积减去装饰物面积即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，小长方形的宽为， ∴这个窗户的面积为，窗户外框的总长为 （2）解： ， ∴窗户中能射进阳光的部分的面积为． 2．小明在纸上画了一个三角形，第一边长是，第二边长是，第三边长比第二边长小． (1)第三边长是多少？ (2)这个三角形的周长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减运算等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键． （1）根据题意“第三边长比第二边长小”列式并求解即可； （2）将三角形的三边长相加并计算，即可获得答案． 【详解】（1）解： ． 答：第三边长是； （2） ． 答：这个三角形的周长是． 3．如图，某小区规划了一块边长为的正方形区域进行绿化建设，在四周2宽的区域栽种两种绿色植物，其中角落的四个小正方形区域种植树，其余区域铺设草坪．设草坪区域面积和为，植树区域面积和为． (1)求用含的代数式表示； (2)求用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减运算， 根据长方形面积公式和图中给定的长宽即可求得； 求得植树区域面积，结合第一问即可解得． 【详解】（1）解：根据长方形面积得：； （2）∵， ． 4．一辆客车从甲地开往乙地，车上原有人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数一半还多2人，同时又有一些上车，上车的人数比少3人． (1)用代数式表示中途下车的人数； (2)用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人？ (3)当，时，求中途下车、上车之后，车上现在的人数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，代数式的化简求值；根据题意列出代数式是解题的关键． （1）直接利用下车的人数比车上原有人数一半还多2人，得出中途下车的人数； （2）中途下车人，中途上车人，然后根据“原有人－下车人数＋上车人数”列式，去括号，合并同类项进行化简； （3）将，代入求值． 【详解】（1）解：∵车上原有人，下车的人数比车上原有人数一半还多2人， ∴中途下车人． （2）解：由题意，中途下车人，中途上车人， 故中途下车、上车之后，车上现在共有人． （3）解：当，时， （人）， 故当，时，中途下车、上车之后，车上现有人． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各对式子是同类项的是 （   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类型定义，判断单项式是否为同类项，须从两个方面验证：①含有相同的字母；②相同字母的次数相等；根据这两个要求逐项验证即可得到答案，熟记单项式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、与中相同字母的次数不相等，不是同类项，不符合题意； B、与中所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，不符合题意； D、与中所含字母相同、相同字母的次数也相等，是同类项，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 由合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，从而可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，合并同类项，系数直接相加减，字母以及字母的指数不变，据此即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4．已知单项式与是同类项，则的值是（   ） A．6 B．8 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项、代数式求值等知识点，根据同类项的定义求得x、y的值是解题的关键． 根据同类项的定义求得x、y的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴． 故选：B． 5．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解本题的关键． 利用去括号法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的加减的法则进行求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 7．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴与有理数，整式的加减，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可求解，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴原式， 故选：． 8．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 9．张老师用长的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算求解即可，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，另一边长是， ， ， 故选：D． 10．多项式的值（ ） A．与的大小都无关 B．与的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与的大小无关 D．与的大小都有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则进行解题． 根据去括号、合并同类项进行化简，再进行判断即可． 【详解】解： ， 所以与的大小都无关． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题） 11．如果与是同类项，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义，关键要注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同． 同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由同类项的定义可先求得m和n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：8． 12．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加法、同类项的概念、代数式求值，根据和仍为一个单项式可得单项式与是同类项，然后根据同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 13．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，合并同类项时字母部分不变，系数相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．去括号 ． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法： 根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．如图，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，整式的加减．根据数轴上数字的特点确定符号，再根据绝对值的性质“”化简即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为： ． 16．若a，b互为相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先由“a，b互为相反数”可得到，再将去括号后合并得最简结果，然后将整体代入即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴ 故答案为：3． 17．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【答案】4x 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意，列式计算即可． 本题考查了列代数式，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：阴影部分周长和为： ， 故答案为：． 18．已知，，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，解题关键在于把多项式进行化简整理，注意要把、作为一个整体，代入数据进行计算． 把多项式进行化简整理，用、来表示，然后代入数据计算． 【详解】解： ； 故答案为：． 19．已知式子的值与字母x的取值无关，则ba的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项．先合并同类项，再根据题意得出，，解得代入即可． 【详解】解：， ∵式子的值与字母x的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 20．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 22．先化简，再求值． (1)，其中，； (2)已知：，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项化简，然后将、的值代入计算即可； （2）将、代入，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： 23．已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算： （1）根据数轴可得，据此逐一判断即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，再利用整式的加减计算法则化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ∴ ． 24．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 25．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求（1）中整式的值； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）把代入（1）化简的结果计算即可； （3）把看成一个整体合并同类项化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， 原式； （3）解： ， 当时， 原式． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$