精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题 命题学校：黄冈中学 命题教师：李钢锋 审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋 考试时间：2024年10月14日上午8：00—10：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 大小不定 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 B. 设，若且，则 C. 设，命题是命题的充分不必要条件 D. 若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 13. 已知为二次函数，满足，则函数______． 14. 设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数取值范围； （2）若p，q一真一假，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）求关于的不等式的解集． 18. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示． （1）分别将甲、乙两种产品利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 19. 设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题 命题学校：黄冈中学 命题教师：李钢锋 审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋 考试时间：2024年10月14日上午8：00—10：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由于，故， 故选：D 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断即可． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题“”的否定为. 故选：B． 3. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述可得，由非空子集个数与集合元素个数的关系求的所有非空子集的个数. 【详解】由题设，，即8可被整除且，， ∴，故集合的所有非空子集的个数为. 故选：C 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先求解出及的解集，然后根据“”与“”的互相推出情况判断出属于何种条件. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为“”不能推出“”，而“” 不能推出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】 两式平方差均为1，分子有理化即可得出结论. 【详解】， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查比较数的大小，有理化是解题的关键，属于基础题. 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。 【详解】对于A选项，即为图中所示； 对于B选项，应为如下图： 对于C选项，应为如下图： 对于D选项，即为图中所示. 故选：AD 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当时，等号成立，可得， 所以有最大值，故B错误； 对于选项C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 B. 设，若且，则 C. 设，命题是命题的充分不必要条件 D. 若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 【答案】AB 【解析】 【分析】由二次函数的零点分布可判断A；由不等式的性质可判断B；有充分条件和必要条件的定义结合的单调性可判断C；由集合的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则方程有一个根，不符合题意. 若，设，若方程的两个根为， 则， 则， 即，解得：，故A正确； 对于B，因为， 若且，则， 所以，故B正确； 对于C，设， 则的图象如下图， 则在上单调递增，若，则， 若，则， 所以命题是命题的充要条件，故C错误； 对于D，若集合和为空集，则，解得：， 若和至少有一个集合不是空集，则或，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，且，即可求解. 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知为二次函数，满足，则函数______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，解方程可得答案. 【详解】设， 由，得， 则， ∴，解得. 所以. 故答案为：. 14. 设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式直接计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 由，可得，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得到集合B，再结合集合的补集和交集运算，即可求解； （2）由可得，分类讨论，结合集合的包含关系即可求解. 【小问1详解】 当，此时，则 所以 【小问2详解】 若，则 ①当，则，解得，符合题意； ②当，即时，须满足： ，解得，所以. 综上，实数m的取值范围为. 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可 （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出取值范围. 小问1详解】 因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 17. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）不等式变形为，故为的两个根，从而得到方程，求出； （2）不等式等价于，分，，，和五种情况，求出不等式的解集. 【小问1详解】 ， 不等式等价于， 不等式的解集为或，故为的两个根， 显然为的根，故，解得； 【小问2详解】 由（1）知，不等式等价于， 若，则，解得， 若，解得， 若，的两根为， 若，即时，解得或， 若，即时，， 解得， 若，即时，解得或； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 18. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示． （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 【答案】（1）甲产品的利润函数为；乙产品的利润函数为；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意设、，分别代入点的坐标即可得解； （2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，由题意列出总利润的函数，换元后利用二次函数的图象与性质分类讨论即可得解. 【详解】（1）由题意设甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为． 由函数经过点，则即，所以； 函数经过点，则即，所以； （2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元， 所获得总利润为万元， 则，， 令，则， ， 该函数图象开口向下，对称轴为， 所以当即时，函数在上单调递增， 当即时，有最大值； 当即时，函数在上递增，在上递减， 当即时，有最大值． 综上可知，当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元； 当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元． 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了二次函数性质的应用与分类讨论思想，解题的关键是根据实际问题建立适当的数学模型，属于中档题. 19. 设，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可， （3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解. 【小问1详解】 当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故 由图可知：的值域为 【小问2详解】 函数， 由于，，所以，故， 当时，， 在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值 故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集， 故，解得，或者，解得 综上，所求的范围为. 【小问3详解】 令，解得或， 故的图象如下： ，即 当时，此时单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去， 当时，，此时在上的最大值为，最小为 只需要，，解得， 当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解， 综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$