精品解析：山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

聊城二中2023级高二上学期第一次月考 数学试题 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标平面的对称直接求解. 【详解】根据空间直角坐标系中点的对称的性质， 关于平面yOz对称的点的坐标为， 故选：A 2. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，则，由与互相垂直， 得， 所以. 故选：D 3. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 4. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到与垂直，进而得到方程，求出. 【详解】因为，故与垂直， 故，解得. 故选：C 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，点在平面内，点平面外， 所以点到平面的距离， 故选：B 7. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ） A. [ ) B. [ ] C. [) D. [] 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（    ） A. A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C. 直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D. 平面α经过三点是平面α的法向量，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，空间的基底向量必不共面，易推得结论错误；B项，利用两直线的方向向量垂直判断直线垂直即得；C项，利用直线的方向向量与平面的法向量不共线即可判断线面不垂直；D项，利用平面的法向量与平面内的向量垂直即得参数之间的数量关系. 【详解】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即 A，B，M，N不共面，A项错误； 对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确； 对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误； 对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量， 故解得：则有：，故D项正确. 故选：BD. 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，则，，， 当时，即点与点重合时，，故A正确. 由知，解得，此时点与点重合， 故B正确. 为定值，故C错误. 又，，设平面的法向量， 由，令则，， ， 又平面的法向量， ， 又，，故D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在方向上的投影向量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求出答案. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故答案为： 13. 点O为所在平面外一点，点G为所在平面内一点，点M为BC的中点，若成立，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过基底法转换得，再利用系数和为1的结论即可得到答案. 【详解】 ， 因为共平面，则，解得. 故答案为：. 14. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面， 以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则， ，则，，则， ，设平面的法向量为， 则，解得，取，则， ，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 16. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出B，D，P，F四点的坐标； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，写出； （2）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点， 所以，又， ； 【小问2详解】 . 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 18. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，证明平面，可求得点到平面的距离； （2）取中点为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，作，垂足为． 因为，点为的中点，所以． 又，所以平面． 因为平面，所以． 又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度． 易证平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 所以． 设平面的法向量为， 可得即 令，得． 取的中点，连接，在等腰中， 易证平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ． 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案. 【小问1详解】 因为，，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面， 取的中点，连接， 因为是等边三角形， 所以⊥， 又平面⊥平面，两平面交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 故两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为，则， 因为，所以； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则， 令得，则， 连接， 因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则，即， 故， 设，则，即， 故， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 故， 化简得，两边平方得， ，化简得， 解得或， 设，则，设， 则，解得， 故， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高二上学期第一次月考 数学试题 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（ ） A. [ ) B. [ ] C. [) D. [] 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（    ） A. A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C. 直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D. 平面α经过三点是平面α的法向量，则 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 11. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在方向上的投影向量为___________. 13. 点O为所在平面外一点，点G为所在平面内一点，点M为BC的中点，若成立，则实数的值为______． 14. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出B，D，P，F四点的坐标； （2）求. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $