专题08 数列的综合应用（三种技巧精讲精练+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题08数列的综合应用（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01数列的实际应用 【典例分析】 【例1-1】（21-22高二·全国·课后作业）某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可 【详解】由已知条件和分期付款公式，可得 ， ∴． 故选：C 【例1-2】（22-23高二上·广东江门·期末）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 【答案】3450 【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可. 【详解】由题意知，第一辆车行程为km， 且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km， 这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列， 则15辆车的行程路程之和为（km）. 故答案为：3450. 【例1-3】（20-21高二上·山东烟台·期末）在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息） (1)分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额多少？（结果精确到小数点后三位） (2)从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由． 【答案】(1)方案一还款额为万元，方案二还款额为万元. (2)选方案一，理由见解析. 【分析】（1）由题设，方案一，方案二，利用等比数列前n项和公式求出m、n即可. （2）比较一个季度还款金额的大小，即可确定还款方案. 【详解】（1）方案一：若每月还款万元， 则， 所以，可得万元； 方案二：若每季度还款万元， 则， 所以，可得万元； （2）由（1）知：方案一每季度还款额为万元万元， 所以选方案一. 【变式演练】 【变式1-1】（22-23高二上·河南洛阳·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（    ） （参考数据：） A．1429 B．1472 C．1519 D．1571 【答案】B 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】由题可知， 设， 解得. 即， 故数列是首项为，公比为1.1的等比数列. 所以， 则， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（22-23高二上·全国·单元测试）某工厂2022年1月的生产总值为万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2023年8月底该厂的生产总值为 万元. 【答案】 【分析】利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由已知可得2022年1月到2023年8月底每月的生产总值是以为首项， 公比为的等比数列， 则到2023年8月底该厂的生产总值为万元. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 题型02数列与函数、不等式的综合 【典例分析】 【例2-1】（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围. 【详解】由数列的前n项和为且，得， 于是， 两式相减得：， 因此，，显然数列是递增数列， 当为奇数时，，由恒成立，得，则， 当为偶数时，，由恒成立，得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 【例2-2】（21-22高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列的性质得出，，再结合等差数列前项和与等差中项求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 又数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列， 所以，，又， 所以，， 所以的最大值为20． 故答案为：20. 【例2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式； （2）由（1）得出，判断其单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，解得或（舍）， 则，即． （2）由（1）知，则． 因为，即数列递减， 当时，，所以数列递减， 要使， 当时，， 当时，， 故满足的的最小值为6． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件得到数列是递增数列；由条件得到为的最小值，因此数列的前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正数.由此我们可以写出满足条件的一个等差数列. 【详解】因为，所以数列是递增数列， 又因为，即最小， 只要前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数即可， 所以，满足条件的数列的一个通项公式如、 答案不唯一 故答案为：（答案不唯一） 【变式2-3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知递增数列前项和为，且满足，，设且数列的前项和为． (1)求证：数列为等差数列； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，当时，，两式相减得，结合数列为递增数列，求得，即可得证； （2）由（1）得，则，利用裂项法求和，求得，根据题意，转化为对任意的，不等式恒成立，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）证明：由数列前项和为，满足，， 当时，可得， 两式相减得，即，所以， 可得或，其中， 即或， 当，则有，解得，即， 这与数列为递增数列矛盾，（舍去）； 所以，当时，，所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）解：由（1）知，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 则， 所以 ， 因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 当为奇数时，即为恒成立， 设，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当为偶数时，即为恒成立， 设，则， 因为在上单单调递增，所以为单单调递增， 所以，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 题型03等差数列、等比数列的综合问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案. 【详解】数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得， 故选：C. 【例3-2】（20-21高二上·全国·课后作业）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ． 【答案】 【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可. 【详解】∵，，成等差数列， ∴，即， ∴， ∴， ∴或 (舍)． ∴. 故答案为：. 【例3-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）设出等差数列的公差，由基本量表示出来，求解即可得证； （2）由（1）知，所以，将转化为，从而可知无正整数解. 【详解】（1）证明：设数列的公差为， 则， 解得，所以原命题得证. （2）由（1）知，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以是偶数， 所以无正整数解，故集合中的元素个数为0. 【变式演练】 【变式3-1】（20-21高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等差数列的定义和等比数列的定义可得数列为常数列，由此可求出答案． 【详解】解：∵数列既是等差数列又是等比数列， ∴，，且， ∴，即， ∴， ∴这个数列为常数列， ∴其前项和为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，属于基础题． 【变式3-2】．（高二上·湖南益阳·期末）已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，若，则n的最大值为 . 【答案】3 【分析】先求得数列,的通项公式,再分析公共项的满足的条件即可. 【详解】由题, .当时, , 当时, . 当时也满足.故 又,当时. 当时, . 故是以为首项,为公比的等比数列.故. 故数列为与的公共项. 又, . 故,且为单调增数列. 故满足,n的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据数列的前n项和求解通项的方法以及等差等比数列的综合运用,属于中等题型. 【变式3-3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①②③这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解. 设等差数列的公差为()，前项和为，等比数列的公比为.已知，，___________，. （1）请写出你的选择，并求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）条件选择见解析；；（2）. 【分析】（1）选择条件与已知条件构成方程组求，写出数列通项公式即可. （2）由（1）可知的通项公式，结合错位相减法即可求前项和. 【详解】（1）选①由题意有，，即，解得，故. 选②由题意有，，即，解得，故. 选③由题意有，，即，解得，故. （2）由，，故，于是，① .② ①-②可得， 故. 【点睛】关键点点睛：根据所选条件与已知构成方程组求数列基本量，写出通项公式；再由新数列描述得到其通项，结合错位相减法求前n项和. 一、单选题 1．（21-22高二上·山东威海·期末）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（    ） A．2192 B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额. 【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第个月的还款金额为元， 则， 故选：D 2．（22-23高三·全国·阶段练习）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数 ． 故选：B 3．（22-23高二上·河南·期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（    ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是（万元）． 故选：C． 4．（20-21高二上·广东清远·期中）已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据，得到数列是公比为的等比数列，然后求得其通项公式判断. 【详解】解：因为满足， 所以数列是公比为的等比数列， 所以， 又因为， 所以单调递增， 故选：A 二、多选题 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 6．（20-21高二上·湖北鄂州·期中）在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（    ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【解析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 三、填空题 7．（22-23高二上·甘肃酒泉·阶段练习）设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 【答案】10 【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出q，则可由求值. 【详解】由题意，，解得（舍）或，∴. 故答案为：10 8．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时 【答案】 【分析】由题意可得, ,又因为它们是等比数列 的连续三项,进而得到,即可得到等比数列的公比进而得到答案. 【详解】因为数列是公差不为零的等差数列, 所以, 又因为是等比数列的连续三项, 所以 解得:（舍去）或 所以 因为等比数列的首项为 所以 . 故答案为: 9．（23-24高二上·安徽淮北·期中）小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为 . 【答案】 【分析】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，从而得到从而得到最终得结果. 【详解】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，， 设其中有天准确，即等式左边有个，个，则，解得， 所以准确天数为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·北京东城·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，. (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用等差数列，等比数列的知识及性质，即可求解. （2）根据所给的三个条件中进行分别计算是否满足题意，从而求解. 【详解】（1）因为为等比数列，，， 设的公比为，则. 解得.所以. 因为，所以. 因为为等差数列，，所以公差， 所以. （2）若选择条件① 因为为等差数列，为等比数列，，，， 设的公差为，所以，， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件①. 若选择条件② 因为为等差数列，为等比数列，，，， 设的公差为d，的公比为q， 则即 解得或（舍），故条件②符合题意， 所以，. 若选择条件③ 因为为等差数列，为等比数列，，，， 所以，设的公差，所以，， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件③. 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式； （2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果； （3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值. 【详解】（1）解：由题意，得， 第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去， 则. （2）解：将化成， 对比，可得，解得， 所以，（1）中的递推公式可表示为. （3）解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，则， 所以， . 12．（21-22高二上·浙江宁波·期中）已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨． (1)设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示； (2)求（用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得的递推关系，从而可求的通项公式. （2）根据15年后清空种植并更换种植品种结合（1）的结果可得可求. 【详解】（1）由题设可得，且， 故， 故， 故， 而符合该式，故. （2）由（1）可得， 因为15年后清空种植并更换种植品种，故， 所以，故. 13.（23-24高二上·云南·阶段练习）某同学计划利用暑假时间到一家公司勤工俭学.该公司经理向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍） (1)假设该同学到商场勤工俭学的天数为分别表示三种方案天领取的报酬总和，求出的表达式； (2)请你帮他分析，选择哪种方式领取报酬更划算？ 【答案】(1) (2)当时，选方案一；当时，选方案三（答案不唯一） 【分析】（1）根据常数列、等差数列、等比数列等数列求和知识求得正确答案. （2）结合单调性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】（1）依题意，， ， . （2）， ， ； ， ； ， . 画出的大致图象如下图所示， 由图以及一次函数、二次函数、指数函数的增长快慢可知， 当时，选方案一；当时，选方案三. 14.（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设的公比为，的公差为，根据已知条件求出可得答案； （2）根据和的通项公式可得数列中项的特点，由等差数列求和公式可得答案； （3）求出数列的通项公式，分组求和可得，可转化为对任意的都成立，求出的最小值可得答案. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08数列的综合应用（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01数列的实际应用 【典例分析】 【例1-1】（21-22高二·全国·课后作业）某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23高二上·广东江门·期末）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 【例1-3】（20-21高二上·山东烟台·期末）在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息） (1)分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额多少？（结果精确到小数点后三位） (2)从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23高二上·河南洛阳·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（    ） （参考数据：） A．1429 B．1472 C．1519 D．1571 【变式1-2】（22-23高二上·全国·单元测试）某工厂2022年1月的生产总值为万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2023年8月底该厂的生产总值为 万元. 【变式1-3】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 题型02数列与函数、不等式的综合 【典例分析】 【例2-1】（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2-2】（21-22高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ． 【例2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）设数列的前n项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【变式2-3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知递增数列前项和为，且满足，，设且数列的前项和为． (1)求证：数列为等差数列； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型03等差数列、等比数列的综合问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【例3-2】（20-21高二上·全国·课后作业）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ． 【例3-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 【变式演练】 【变式3-1】（20-21高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（高二上·湖南益阳·期末）已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，若，则n的最大值为 . 【变式3-3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①②③这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解. 设等差数列的公差为()，前项和为，等比数列的公比为.已知，，___________，. （1）请写出你的选择，并求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 一、单选题 1．（21-22高二上·山东威海·期末）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（    ） A．2192 B． C． D． 2．（22-23高三·全国·阶段练习）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河南·期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（    ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 4．（20-21高二上·广东清远·期中）已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 二、多选题 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·湖北鄂州·期中）在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（    ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 三、填空题 7．（22-23高二上·甘肃酒泉·阶段练习）设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 8．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时 9．（23-24高二上·安徽淮北·期中）小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·北京东城·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，. (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 12．（21-22高二上·浙江宁波·期中）已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨． (1)设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示； (2)求（用表示）． 13.（23-24高二上·云南·阶段练习）某同学计划利用暑假时间到一家公司勤工俭学.该公司经理向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍） (1)假设该同学到商场勤工俭学的天数为分别表示三种方案天领取的报酬总和，求出的表达式； (2)请你帮他分析，选择哪种方式领取报酬更划算？ 14.（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$