专题05与圆锥曲线有关的范围、最值问题（三种技巧精讲精练+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题05与圆锥曲线有关的范围、最值问题 （三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01与椭圆有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【例1-2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【例1-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B， (1)求b的值； (2)点P在椭圆上，求的最大值及取最大值时点P的坐标． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为 . 【变式1-3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 题型02与双曲线有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【例2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 【例2-3】（23-24高二上·全国·假期作业）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知双曲线的左顶点为，直线过且与的一条渐近线平行．若的右支上一点到的距离恒大于，则的最大值为 ． 【变式2-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于． (1)求直线l斜率的取值范围； (2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标． 题型03与抛物线有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例3-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【例3-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆于M、N两点，其中P、M位于第一象限，求的最小值. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高二上·福建厦门·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D． 三、填空题 7．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 8．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·四川成都·期末）设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得 (1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； (2)经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围. 10．（23-24高二上·广西·期末）已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05与圆锥曲线有关的范围、最值问题 （三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01与椭圆有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 【例1-2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25 【例1-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B， (1)求b的值； (2)点P在椭圆上，求的最大值及取最大值时点P的坐标． 【答案】(1)1 (2)， ． 【分析】（1）易得椭圆的焦点在轴上，根据椭圆得离心率即可求得； （2）设，根据两点得距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在轴上， 则，所以，所以． （2）由（1）得椭圆的方程为， 则，设，则， 因为点P在椭圆上，所以， 则， 则， 所以当时，， 此时， 所以. 【变式演练】 【变式1-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 又因为，设点，则， 所以， 当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】如图，过作，垂足为，可知是中点，则可得，再由勾股定理可得出，由椭圆的有界性即可求出最值. 【详解】如图，过作，垂足为，可知是中点， 可得， 中，， 在中，， 联立可得， 设，则（）， ， ，则， 即，故的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解的周长； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0求出切线方程，利用两平行线间的距离求解范围即可. 【详解】（1）已知椭圆方程为，所以， 的周长为，其中， 所以的周长为； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切， 则得，即 令，解得，所以， 当时，与之间的距离， 当时，与之间的距离为， 即椭圆上的点到直线距离的范围为. 题型02与双曲线有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可. 【详解】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 【例2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】化为双曲线的一般形式，分焦点在与轴上分别列不等式组解答即可； 【详解】当时，显然不为双曲线； 当时，可化为， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【例2-3】（23-24高二上·全国·假期作业）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）两圆的圆心分别为，，半径为2，设圆的半径为．由题意得或，两式相减得或，即． 则圆的圆心轨迹为双曲线，其中，， 圆的圆心轨迹的方程为． （2）由（1）知为双曲线的一个焦点，如图，连接并延长交双曲线于一点，此时为的最大值． 又， 的最大值为2． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】转化为求渐近线与直线之间的距离可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，且与平行， 因为点P到直线的距离大于m恒成立， 所以m的最大值为直线与直线的距离， 即为. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知双曲线的左顶点为，直线过且与的一条渐近线平行．若的右支上一点到的距离恒大于，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以， 所以的最大值为.    故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于． (1)求直线l斜率的取值范围； (2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设，与双曲线联立由直线与双曲线的位置关系求解即可； （2）表示出直线的方程，令求出得坐标，则，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知直线的斜率存在，设， 与双曲线联立得：． 因为直线与双曲线交于两点，所以且， 由，得， 由，得， 解得直线斜率的取值范围为． （2），设，则， 令得，同理可得． 于是， ， 由韦达定理有， 代入上式可得： 所以线段的中点为定点． . 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 题型03与抛物线有关的范围、最值问题 【典例分析】 【例3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 【例3-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据即可求解. 【详解】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 故答案为：. 【例3-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆于M、N两点，其中P、M位于第一象限，求的最小值. 【答案】4 【分析】设，，则，.再利用几何关系得到 ，得到，再求出然后利用基本不等式求解最小值. 【详解】如图，分别过P、Q作准线的垂线，垂足分别为G、H，过Q作，分别交OF、PG于A、B.    可设，，则，.因为，所以， 易知，即， 则，， 所以. 又因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， ∴的最小值为4. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高二上·福建厦门·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线的斜率一定存在且不为，联立直线和抛物线可得方程，根据直线与抛物线有两个交点，可知，解之可得. 【详解】由题可知直线斜率存在且不为0，设直线方程为，且， 联立则，令， 解得或，即且， 故直线斜率的取值范围是． 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·单元测试）已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）首先求出抛物线的准线，在根据抛物线的定义求出，从而求出； （2）首先得到点坐标，设，即可求出线段的中点，从而求出的值，再得到直线的方程，最后由距离公式计算可得； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和，讨论即可. 【详解】（1）曲线的准线为， 点到的准线的距离为，又在第一象限， 所以； （2）因为，所以，即， 设，则线段的中点为，依题意，解得， 即，直线为，即， 所以坐标原点到的距离. （3）设，，则，，， 直线，即， 令，所以，即， 对恒成立. 即， 即对恒成立. ①当，又，即时，恒成立； ②当时，则，也成立； ③当，即时，则当时满足，此时， ， 显然不成立，故时不成立. 综上，. . 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解. 【详解】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则，    因为在中，，所以，即， 则，即， 所以，即， 由柯西不等式得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 此时满足，所以的最大值为. 故选：D. 2．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系结合椭圆定义可得的轨迹为椭圆：．即可利用垂直关系，结合椭圆上的点到焦点的距离的最值，即可求解. 【详解】如图， 设圆的半径为，则，， 则， 的轨迹为椭圆，焦点为，， ，即，，． 椭圆方程为：． 由，得，故， ，要使的值最大，则最大， 为椭圆的左焦点，故 即． 故选：D． 3．（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为抛物线上的任意一点，结合题设条件利用抛物线的定义和性质可得出从而求解. 【详解】设点，为抛物线上的任意一点，由题意可得：， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求出抛物线方程，设与的坐标，联立抛物线利用韦达定理及抛物线的焦半径、基本不等式计算即可. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9.    故选：D． 二、多选题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据椭圆方程即可判断A正确，设出点坐标并利用椭圆性质及其范围可判断B错误，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，此时圆与椭圆无交点，即C错误；利用椭圆定义求得的表达式并利用二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D． 【答案】ABD 【分析】令替换看方程是否变化可判定A，利用曲线方程结合消元法转化可判定B、C、D. 【详解】对于A，令替换，显然原曲线方程不变，故曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，由原曲线方程可得， 显然，上式恒成立，若，， 综上所述的取值范围为，B正确； 对于C，结合上一选项知， 显然时，故C错误； 对于D，易知时，恒成立， 而时，，显然也成立，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于曲线的对称性可利用坐标的对称互换来验证曲线方程是否成立判定，一些量的范围及可根据曲线方程的等量关系消元转化来计算. 三、填空题 7．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 8．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为 【详解】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·四川成都·期末）设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得 (1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； (2)经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，由双曲线的定义即可证明结果，再根据条件，求出，即可求出的方程； （2）设直线方程为，，联立方程，消得到，根据条件得到，由韦达定理得，进而得到，从而得出，即可求出结果. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 又，所以，即， 由双曲线的定义知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 易知，，又，所以曲线的方程为. （2）易知当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交， 所以可设直线方程为，， 由，消得到， 因为直线与双曲线的左，右两支相交，所以，得到， 由韦达定理知， 又， 因为， 又，所以，得到， 所以的取值范围为. 10．（23-24高二上·广西·期末）已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据椭圆的定义即可得解； （2）求出点的坐标，再根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）由题意可知， 所以， 根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且 因此，c＝1，可得， 则点C轨迹方程为，； （2）设点，因为点A与点D关于直线对称， 于是有， 解出，即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，， 则， 由于， 所以时，，时，， 又因为，所以， 因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$