第13讲 中心对称（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第13讲 中心对称（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点3．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型强化 题型一．中心对称 1．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2024•中山市模拟）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 　　． 3．（2024•龙亭区一模）在中，，将在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过，得到，其中点的对应点为点，连接，． （1）如图1，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点在边上，，，求的长． 题型二．中心对称图形 4．（2024•德州）下列图形是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•柯桥区期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 　　种． 6．（2023秋•商洛期末）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：． 题型三．关于原点对称的点的坐标 7．（2023秋•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 8．（2024•南昌一模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 　　． 9．（2022秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点． （1），分别是点关于原点的对称点和关于轴对称的点，直接写出点，的坐标，并在图中描出点，． （2）求使为等腰三角形的点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．用数学的眼光观察下列标识图案，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（  ） A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须能完全重合 C．旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．成中心对称的两个图形不一定全等 6．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理由是（    ） A．因为菱形是轴对称图形 B．因为菱形是中心对称图形 C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．因为菱形对角线相等且互相平分 7．下列关于图形对称性的命题，正确的是（    ） A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 8．三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（    ） A． B． C． D． 9．襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．若点A（x，3）与点B（2，y）关于原点对称，则（　　） A．x=﹣2，y=﹣3 B．x=2，y=3 C．x=﹣2，y=3 D．x=2，y=﹣3 二、填空题 11．已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 12．下列图形中，中心对称图形有 个． 13．点关于原点对称点的坐标是 ． 14．平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为 ． 15．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，且=0，则点P关于原点对称的点的坐标为 ． 16．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 17．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（1，0）．如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），则点B的坐标为 及n的值为 ．    18．已知点A（a，1）与点A'（5，b）关于原点对称，则ab＝ ． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，关于y轴对称的图形为． (1)点的坐标分别为：_______、_______； (2)请作出关于原点为对称中心的． 20．请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 21．如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，． (1)画出“基本图形”关于原点对称的四边形，并填出，，，的坐标． ( ， )，( ， )， ( ， )， ( ， ) (2)画出“基本图形”绕点顺时针旋转所成的四边形． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若第二象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 23．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 24．如图，l1⊥l2，垂足为O，点A与点B关于直线l1成轴对称，点B与点C关于l2成轴对称. 求证：点A与点C关于点O成中心对称. 25．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 26．（1）计算：5a+2b+（3a﹣2b）； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣1）．请在图1上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形； （3）如图所示，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°．求证：AB∥CD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 中心对称（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点3．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型强化 题型一．中心对称 1．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】、两点到的距离相等且三点在一条直线上，、两点到都是的网格且三点在一条直线上，、两点到都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点． 【解答】解：、、相交于点， 点是与的对称中心， 故选：． 【点评】本题考查了中心对称，关键是能够仔细观察网格图． 2．（2024•中山市模拟）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 　　． 【分析】作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 【解答】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接， ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， 点是矩形的对称中心，经过点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 3．（2024•龙亭区一模）在中，，将在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过，得到，其中点的对应点为点，连接，． （1）如图1，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点在边上，，，求的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得，可得，由平行线的性质可得； （2）过点作于点，由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，可得，即可得的长． 【解答】解：（1），理由如下： 在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过，得到， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， 在平面内绕点顺时针旋转（旋转角不超过，得到， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，，且， ， ，， 在中，， ， ， 的长为3． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 题型二．中心对称图形 4．（2024•德州）下列图形是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：选项、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5．（2024春•柯桥区期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 　2　种． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：去掉一个正方形，得到中心对称图形，如图所示： ， 共2种方法． 故答案为：2． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 6．（2023秋•商洛期末）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：． 【分析】根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【解答】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ， ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质． 题型三．关于原点对称的点的坐标 7．（2023秋•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是：． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 8．（2024•南昌一模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 　　． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【解答】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 9．（2022秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点． （1），分别是点关于原点的对称点和关于轴对称的点，直接写出点，的坐标，并在图中描出点，． （2）求使为等腰三角形的点的坐标． 【分析】（1）利用关于原点对称和轴对称的点的坐标特征写出点，的坐标，然后描点； （2）先计算出的长，再分类讨论：当或或时，利用直角坐标系分别写出对应的点坐标． 【解答】解：（1），，如图， （2）设点坐标为， ， 当时，点坐标为，或，； 当时，点坐标为， 当时，点坐标为， 综上所述，点坐标为，或，或或． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．也考查了等腰三角形的性质． 分层练习 一、单选题 1．用数学的眼光观察下列标识图案，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：将图形绕一点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形，轴对称图形的定义：将图形沿某条直线对折两边重合的图形是轴对称图形叫轴对称图形，直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 4．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5．下列说法正确的是（  ） A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须能完全重合 C．旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．成中心对称的两个图形不一定全等 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解． 【详解】解：A、成中心对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成中心对称，故错误； B、成中心对称的两个图形必须能完全重合，正确； C、旋转180°能重合的两个图形成中心对称，故错误； D、成中心对称的两个图形一定全等，故错误． 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 6．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理由是（    ） A．因为菱形是轴对称图形 B．因为菱形是中心对称图形 C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．因为菱形对角线相等且互相平分 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质证明、成中心对称 【分析】根据菱形是中心对称图形可知过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等． 【详解】解：∵菱形是中心对称图形， ∴过菱形对角线的交点的任意一条直线分成两个梯形全等． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记性质以及中心对称图形的定义是解答本题的关键． 7．下列关于图形对称性的命题，正确的是（    ） A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，错误，故不符合题意； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故符合题意； C、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，错误，故不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，错误，故不符合题意； 故选：B． 8．三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 9．襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 10．若点A（x，3）与点B（2，y）关于原点对称，则（　　） A．x=﹣2，y=﹣3 B．x=2，y=3 C．x=﹣2，y=3 D．x=2，y=﹣3 【答案】A 【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求解． 【详解】∵点A（x，3）与点B（2，y）关于原点对称， ∴x=﹣2，y=﹣3． 故选:A． 【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标,解题关键是利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数. 二、填空题 11．已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解． 【详解】解：∵对称点，C的坐标分别是，， ∴对称中心的坐标是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 12．下列图形中，中心对称图形有 个． 【答案】 【分析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合的图形. 【详解】解：第一个图是中心对称图形；第二个图是中心对称图形；第三个图是中心对称图形；第四个图只是轴对称图形，不是中心对称图形. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义. 13．点关于原点对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 14．平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题考查了平面直角坐标系点的坐标规律探索问题．求出、、、点的坐标，观察规律，根据规律求解即可． 【详解】解：点，点关于轴对称点， ∴， 点关于原点对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， …… 由此发现，三次为一循环， 点与点，与重合， ∵， ∴与重合，即点的坐标为， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，且=0，则点P关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据非负性求得的值，进而根据关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵=0， ∴ 解得，， 点P关于原点对称的点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 17．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（1，0）．如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），则点B的坐标为 及n的值为 ．    【答案】 （5，8） 4 【知识点】平移综合题(几何变换)、已知图形的平移，求点的坐标、成中心对称 【分析】连接CM，根据中心对称可得：AM＝BM，由轴对称可得：MB＝MC，所以AM＝CM＝BM，进而可以证明△ABC是直角三角形，延长BC交x轴于点E，过点C作CF⊥AE于点F，可以证明△ACF是等腰直角三角形，可得E点坐标，进而可求直线BE的解析式，再根据点B由点A经n次斜平移得到，得点B（n+1，2n），代入直线解析式即可求得n的值，进而可得点B的坐标． 【详解】解：连接CM，    由中心对称可知：AM＝BM， 由轴对称可知：MB＝MC， ∴AM＝CM＝BM， ∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB， ∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 延长BC交x轴于点E，过点C作CF⊥AE于点F， ∵A（1，0），C（7，6）， ∴AF＝CF＝6， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∵∠ACE＝90°，∴∠AEC＝45°， ∴E点坐标为（13，0）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b， ∵点C，E在直线上， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+13， ∵点B由点A经n次斜平移得到， ∴点B（n+1，2n）， 由2n＝﹣n﹣1，解得n＝4， ∴B（5，8）． 故答案为：（5，8）、4． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移、坐标与图形的变化﹣对称，解决本题的关键是综合运用旋转、平移、对称的知识． 18．已知点A（a，1）与点A'（5，b）关于原点对称，则ab＝ ． 【答案】﹣ 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】由点A（a，1）与点A'（5，b）关于原点对称，得 a＝﹣5，b＝﹣1． 所以ab＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，关于y轴对称的图形为． (1)点的坐标分别为：_______、_______； (2)请作出关于原点为对称中心的． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵关于y轴对称的图形为，， ∴， 故答案为：； （2）解；如图所示，即为所求； 20．请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 【答案】画图见解析，两个三角形关于点P成中心对称 【知识点】中心对称图形的识别、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了画位似图形，中心对称图形的识别，如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求；再根据位似图形的性质和中心对称图形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 由位似图形的性质可得，且点P是的交点， ∴与关于点P成中心对称． 21．如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，． (1)画出“基本图形”关于原点对称的四边形，并填出，，，的坐标． ( ， )，( ， )， ( ， )， ( ， ) (2)画出“基本图形”绕点顺时针旋转所成的四边形． 【答案】(1)图形见解析； ，；，；，；， (2)图形见解析； 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标； （1）根据坐标系中点关于原点对称的坐标特点，横纵坐标互为相反数，即可得出答案； （2）将图形各顶点逆时针旋转90度即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示； ，，，； 故答案为：，；，；，；，； （2）如图所示： 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若第二象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、平移(作图)、画旋转图形、画两个图形的对称中心 【分析】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，平行四边形的性质，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心（对称中心）； （4）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，连接，对应点的交点就是旋转中心（对称中心） ，即点， 故答案是：． （4）解：如图，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形时，，， ∵ ∴点D的坐标为． 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、成中心对称、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． （1）利用中心对称的性质回答即可， （2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 24．如图，l1⊥l2，垂足为O，点A与点B关于直线l1成轴对称，点B与点C关于l2成轴对称. 求证：点A与点C关于点O成中心对称. 【答案】详见解析. 【知识点】成中心对称 【分析】以l1、l2所在直线分别为坐标轴建立平面直角坐标系，设A（a，b），根据轴对称可得点C的坐标，根据A、C坐标特点，即可证出结论. 【详解】证明：以l1、l2所在直线分别为坐标轴建立平面直角坐标系， 设A点坐标为（a，b）， ∵点A与点B关于直线l1（x轴）成轴对称， ∴B点坐标为（a，-b）， ∵点B与点C关于l2（y轴）成轴对称， ∴C点坐标为（-a，-b）， ∴点A与点C关于点O成中心对称. 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中关于两轴或原点对称的点的坐标特点.熟练掌握坐标系中关于两轴或原点对称的点的坐标特点是解题的关键. 25．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了中心对称作图，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）首先确定A、B、C三点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的坐标特点即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：∵，，， ∴根据关于原点对称点的性质可得：． 26．（1）计算：5a+2b+（3a﹣2b）； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣1）．请在图1上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形； （3）如图所示，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°．求证：AB∥CD． 【答案】（1）8a （2）如图 （3）证明见解析 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【详解】试题分析：（1）根据整式的加减法则直接去括号合并同类项即可得出． （2）根据点的坐标得出△ABC，再利用关于原点对称点坐标性质得出与△ABC关于原点O对称的图形即可． （3）利用三角形内角和定理得出∠A=70°，再利用平行线的判定得出AB∥CD． （1）解：5a+2b+（3a﹣2b）=5a+3a+2b﹣2b=8a． （2）解：如图所示：△A′B′C′与△ABC关于原点O对称： （3）证明：∵∠ACB=60°，∠ABC=50°， ∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°． ∵∠ACD=70°，∴∠A=∠ACD． ∴AB∥CD． 学科网（北京）股份有限公司 $$