精品解析：福建省南平市第三中学、新城实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

南平三中、新城实验中学九年级数学第一次质量监测试卷 满分： 150分 时间：120分钟 命题：欧兆平 审卷：林三招 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，每题四个选项中只有一个选项是正确）． 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 抛物线的顶点坐标是(　　) A B. C. D. 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A B. C. D. 10. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（共6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 12. 已知，在二次函数的图像上，比较______．（填>、<或=） 13. 关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 14. 抛物线与y交点的坐标为___________． 15. 已知等腰三角形底和腰是方程的两个根，则该三角形的周长是________． 16. 若二次函数的图象经过点，则的最大值为______． 三、解答题：（共9大题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 求抛物线的对称轴和顶点坐标． 19. 下表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 0 … （1）利用表中的数据，在所给的坐标系中用描点法画出这个二次函数的图像； （2）根据表中的数据或二次函数的图象直接写出： ①抛物线的顶点坐标 ； ②当 时，随增大而增大． 20. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 21. 若抛物线的顶点为，且过点： （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围． 22. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利55元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？ 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程两个根，且满足，求m的值． 24. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 25. 如图，抛物线经过，B两点，且与x轴交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若，是该抛物线图象上的两点，且，求m的取值范围； （3）若点P是直线l下方的抛物线上一点，过点P作轴交直线l于点E，过点P作轴交直线l于点F，求的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南平三中、新城实验中学九年级数学第一次质量监测试卷 满分： 150分 时间：120分钟 命题：欧兆平 审卷：林三招 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，每题四个选项中只有一个选项是正确）． 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的整式函数是二次函数，注意要先化简再判断． 【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意； B、，有分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，没有二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．先根据等式的性质移项，方程两边都加4，再求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ． 故选：D 3. 已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征是解题关键．将点代入，然后求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入， 可得，解得． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有有两个相等的实数根， 故选：． 5. 抛物线的顶点坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是解题的关键． 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得． 故选C． 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 8. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 10. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，由对称轴可得，即可判定①②；由抛物线与轴的交点坐标为和，可得当时，把和代入函数式得到即可判断③④；当时，的值最大．此时，，而当时，，可得，据此即可判断⑤，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的交点坐标为和， 由图象可知，当时， ∵时，， ∴，故③错误； ∵是抛物线与轴的一个交点， ∴， ∴， ∴，故④错误； 当时，值最大．此时，，而当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 二、填空题：（共6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 【答案】，． 【解析】 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 12. 已知，在二次函数的图像上，比较______．（填>、<或=） 【答案】> 【解析】 【分析】首先确定二次函数图像的对称轴为，根据二次项系数可知图像开口向上，根据点、点的横坐标和对称轴的位置即可判断y1、y2的大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为直线， 又∵二次项系数， ∴二次函数开口向上，图像上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大， ∵，， ∴． 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用二次函数图像的性质确定y1、y2大小是解题的关键． 13. 关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜1且k≠0． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故答案为：k＜1且k≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，注意，此题必须有前提条件k≠0，否则就不是一元二次方程了． 14. 抛物线与y交点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过计算自变量为所对应的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴与y交点的坐标为， 故答案为：． 15. 已知等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则该三角形的周长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键．先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解∶解方程， 得，， 当底边为1，腰为2时，此时能组成三角形， ∴该三角形周长是； 当底边为2，腰为1时，由于，故此时不能组成三角形， 综上，该三角形的周长是5． 故答案为：5． 16. 若二次函数的图象经过点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，由二次函数的图象经过点可得，进而可得，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（共9大题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择合适的方法是解题的关键． （1）将原方程移项，利用完全平方公式配方，再开方得出答案即可； （2）等式右边提出2，再移项，然后提出公因式，得因式乘积的形式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ． 18. 求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴是直线，顶点 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的一般形式与顶点式的转化方法，以及二次函数的性质，将抛物线一般式化为顶点式，即可得出顶点坐标和对称轴．或利用二次函数各项系数求解，即可解题． 【详解】解： ； 对称轴是直线，顶点， 另解：，，， ， ， ∴对称轴是直线，顶点． 19. 下表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 3 4 3 0 … （1）利用表中数据，在所给的坐标系中用描点法画出这个二次函数的图像； （2）根据表中的数据或二次函数的图象直接写出： ①抛物线的顶点坐标 ； ②当 时，随的增大而增大． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，数形结合是解题的关键． （1）先利用描点、连线的方法画出图形； （2）①根据图象找出函数图象的顶点坐标即可； ②根据图象，求出自变量的范围即可； 【小问1详解】 解：描点、连线得： 【小问2详解】 ①由函数图象得抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； ②由函数图象得，当时，随的增大而增大． 故答案为： 20. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）这种品牌的手机10月份售价为每部1280元 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量． （1）直接代入增长率模型公式即可求解； （2）将9月份的量代入公式计算即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 （元） 答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元． 21. 若抛物线的顶点为，且过点： （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2）y的取值范围是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据顶点坐标设抛物线解析式为，将代入求出a的值即可得出答案； （2）根据二次函数性质，得出时，函数可以取最大值，根据函数性质求出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设， ∵顶点为， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴． 小问2详解】 解：由（1） ，得，， ∴抛物线的开口向下， ∵，顶点， ∴当时，， 当时，， y的取值范围是． 22. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利55元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？ 【答案】（1）每天可销售50件 （2）每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3000元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）先求出每件商品降价多少钱，再根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件计算即可得解； （2）设每件商品降价元时，则商场每天多销售件，根据总利润每件利润数量即可得出一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：当每件盈利55元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利55元时，每天可销售50件； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元时，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3000元． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：有两个实数根， ， ， ； 【小问2详解】 解：，是该方程的两个根， ，， ， ，即， 或1． ； ． 24. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 25. 如图，抛物线经过，B两点，且与x轴交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若，是该抛物线图象上的两点，且，求m的取值范围； （3）若点P是直线l下方的抛物线上一点，过点P作轴交直线l于点E，过点P作轴交直线l于点F，求的最大值； 【答案】（1） （2） （3）时，求的最大值为6 【解析】 【分析】（1）把，代入求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再求出关于对称轴的对称点，再根据二次函数性质求出m的取值范围即可； （3）设P，根据题意得出，，求出，，得出，然后根据二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1），得，， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点， ∵抛物线开口向上，，且， ∴； 【小问3详解】 解：设P， ∵轴交直线l于点E，轴， ∴，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是直线l下方的抛物线上一点， ∴， ∴时，求的最大值为6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数最值，二次函数的图象和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$