第4章 图形与坐标（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 图形与坐标（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2023秋•萧山区月考）在平面直角坐标系中，点A（﹣2022，2023）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（3分）（2023秋•余姚市校级期中）点P（3，﹣5）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣5，﹣3） D．（3，5） 3．（3分）（2023•拱墅区校级开学）如图，如果点B的位置用数对表示为（2，1），那么下面描述不正确的是（　　） A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北45°方向上 C．点A的位置用数对表示为（4，3） D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置 4．（3分）（2023秋•西湖区校级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或2 5．（3分）（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 6．（3分）（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 7．（3分）（2023秋•嵊州市期末）若a＜0，b＞0，则点（a﹣1，b+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（3分）（2023秋•上城区校级期中）如图，已知点A（1，1），B（4，1），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（　　） A．（1，y）（1≤y≤4） B．（x，1）（1≤x≤4） C．（1，y）（1＜y＜4） D．（x，1）（1＜x＜4） 9．（3分）（2024春•海曙区校级期末）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C． D．（3，1） 10．（3分）（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），以OA为边在y轴右侧作等边△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边△O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边△O2A2A3，…，按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2023秋•衢江区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“士”所在位置的坐标为（0，﹣2），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），则“马”所在位置的坐标为 　 　． 12．（3分）（2023春•路桥区期末）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴，则点Q的坐标可以是 　 　.（写出一个即可） 13．（3分）（2023春•椒江区期末）点A（3﹣a，2a﹣4）在x轴上，则点A的坐标是 　 　． 14．（3分）（2023秋•上城区期末）已知y轴负半轴上的点M（1﹣a，b﹣1）到原点的距离为2，则a＝　 　，b＝　 　． 15．（3分）（2023春•椒江区月考）在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 　 　． 16．（3分）（2023春•华容区期中）如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示m排从左到右第n个数．如（4，3）表示9，则（15，4）表示 　 　． 17．（3分）（2023•诸暨市模拟）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”，则k的值为 　 　． 18．（3分）（2023秋•拱墅区月考）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，3），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．（8分）（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1：10000而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是（100，﹣300），描述它的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是（300，﹣100），它是以谁为坐标原点呢？ 20．（8分）（2024•宁波模拟）已知A为平面直角坐标系内一点，且点A的坐标为（2，2），将点A向下平移3个单位长度至点B． （1）求点B的坐标； （2）分别求出点A关于x轴的对称点的坐标，点B关于y轴的对称点的坐标． 21．（8分）（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　 　． （3）求三角形ABC的面积． 22．（8分）（2023秋•慈溪市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1），在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 　 　； （2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 23．（10分）（2023秋•上虞区期末）继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系．把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个极坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的极坐标．如图，在θ＝60°的极坐标系中，解答下列问题： （1）若点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为，试求b的值． （2）若点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称，求点N的极坐标． 24．（12分）（2023春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 25．（12分）（2023秋•建平县校级期中）如图，直线AB与x轴，y轴分别相交于点A（6，0），B（0，8），M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B'处．求： （1）点B'的坐标； （2）△ABM的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形与坐标（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2023秋•萧山区月考）在平面直角坐标系中，点A（﹣2022，2023）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据直角坐标系中每个象限内点的坐标特征辨别即可． 【解答】解：∵A（﹣2022，2023）， ∴点A横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限． 故选：B． 2．（3分）（2023秋•余姚市校级期中）点P（3，﹣5）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣5，﹣3） D．（3，5） 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：点P（3，﹣5）关于x轴对称点的坐标是（3，5）． 故选：D． 3．（3分）（2023•拱墅区校级开学）如图，如果点B的位置用数对表示为（2，1），那么下面描述不正确的是（　　） A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北45°方向上 C．点A的位置用数对表示为（4，3） D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置 【分析】根据题意逐一判断即可． 【解答】解：A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合，故本选项不符合题意； B．点B在点A西偏南45°方向上，故本选项符合题意； C．点A的位置用数对表示为（4，3），故本选项不符合题意； D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（3分）（2023秋•西湖区校级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或2 【分析】根据A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【解答】解：∵A（1，0），⊙A的半径是2， ∴AB＝2， ∴＝2， 解得a＝﹣1或3． 故选：B． 5．（3分）（2024春•丽水期末）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称， ∴a＝5，b＝﹣1， ∴a﹣b＝5+1＝6． 故选：D． 6．（3分）（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【解答】解：∵点P位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点的坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 7．（3分）（2023秋•嵊州市期末）若a＜0，b＞0，则点（a﹣1，b+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵a＜0，b＞0， ∴a﹣1＜0，b+1＞0， ∴点（a﹣1，b+1）在第二象限， 故选：B． 8．（3分）（2023秋•上城区校级期中）如图，已知点A（1，1），B（4，1），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（　　） A．（1，y）（1≤y≤4） B．（x，1）（1≤x≤4） C．（1，y）（1＜y＜4） D．（x，1）（1＜x＜4） 【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解． 【解答】解：∵点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1），A、B两点纵坐标都为1， ∴AB∥x轴， ∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，1）（1≤x≤4）． 故选：B． 9．（3分）（2024春•海曙区校级期末）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C． D．（3，1） 【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【解答】解：∵360°÷45°＝8， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵2024÷8＝253， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作DE⊥x轴于点E． 由题意可得AO＝2，△ABO是等腰直角三角形， ∴，∠BAO＝45°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，∠BAD＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴在Rt△ADE中，， ∴OE＝AO+AE＝3， ∴点D的坐标为（3，1）． 故选：D． 10．（3分）（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），以OA为边在y轴右侧作等边△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边△O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边△O2A2A3，…，按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2×根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2此类推，得点A2024的纵坐标是（）2023，得到问题答案． 【解答】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1， ∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2， ∴A1O1＝OA1＝2×，点A1纵坐标是2××， ∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2， ∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2×， ∴A2O2＝O1A2＝2××，点A2的纵坐标是2××，即2×（）2， ∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3， 同理，得点A3的纵坐标是2×（）3， 按此规律继续作下去，得：点A2024的纵坐标是2×（）2024＝（）2023， 故选：A． 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2023秋•衢江区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“士”所在位置的坐标为（0，﹣2），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），则“马”所在位置的坐标为 　（﹣2，﹣2）　． 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系，即可求解． 【解答】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示， ∴“马”所在位置的坐标为（﹣2，﹣2）， 故答案为：（﹣2，﹣2）． 12．（3分）（2023春•路桥区期末）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴，则点Q的坐标可以是 　（3，﹣1）（答案不唯一）　.（写出一个即可） 【分析】根据垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等，即可解答． 【解答】解：已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴，则点Q的坐标可以是（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1）（答案不唯一）． 13．（3分）（2023春•椒江区期末）点A（3﹣a，2a﹣4）在x轴上，则点A的坐标是 　（1，0）　． 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0可计算出a的值，再代入横坐标计算，从而求出点A的坐标． 【解答】解：∵点A（3﹣a，2a﹣4）在x轴上， ∴2a﹣4＝0， ∴a＝2， ∴3﹣a＝3﹣2＝1， ∴点A的坐标是（1，0）， 故答案为：（1，0）． 14．（3分）（2023秋•上城区期末）已知y轴负半轴上的点M（1﹣a，b﹣1）到原点的距离为2，则a＝　1　，b＝　﹣1　． 【分析】根据在y轴负半轴上的点的坐标特征：横坐标是0，纵坐标的绝对值是到原点的距离，进行解答即可． 【解答】解：∵点M在y轴上， ∴1﹣a＝0， 又∵点M在y轴的负半轴上，到原点的距离为2， ∴b﹣1＝﹣2， 解得a＝1， b＝﹣1， 故答案为：1，﹣1． 15．（3分）（2023春•椒江区月考）在平面直角坐标系中，P（1，1），点Q在第二象限，PQ∥x轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为 　（﹣4，1）　． 【分析】先根据PQ∥x轴可知P、Q两点纵坐标相同，再由PQ＝5可得出Q点的横坐标． 【解答】解：∵P（1，1），PQ∥x轴， ∴Q两点纵坐标为1， ∵点Q在第二象限，PQ＝5， ∴点Q的坐标为（﹣4，1）． 故答案为：（﹣4，1）． 16．（3分）（2023春•华容区期中）如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示m排从左到右第n个数．如（4，3）表示9，则（15，4）表示 　109　． 【分析】每排数据的个数等于排号数，则可计算出前14排共有105个数，然后再往后数4个数即可． 【解答】解：前14排共有1+2+3+…+14＝105个数， 所以第15排的第4个数为109，即（15，4）表示109． 故答案为109． 17．（3分）（2023•诸暨市模拟）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”，则k的值为 　﹣或1　． 【分析】根据题意可得：|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【解答】解：∵P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”， ∴|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4， 当|k+3|＝4时， ∴k+3＝±4， 解得：k＝1或k＝﹣7， 当k＝1时，k+3＝4，4k﹣3＝1，点Q（4，1）的“长距”等于4； 当k＝﹣7时，k+3＝﹣4，4k﹣3＝﹣31，点Q（﹣4，﹣31）的“长距”等于31，不符合题意，舍去； 当|4k﹣3|＝4时， ∴4k﹣3＝±4， 解得：k＝或k＝﹣， 当k＝时，k+3＝，4k﹣3＝4，点Q（，4）的“长距”等于，不符合题意，舍去； 当k＝﹣时，k+3＝，4k﹣3＝﹣4，点Q（，﹣4）的“长距”等于4； 综上所述：k的值为﹣或1， 故答案为：﹣或1． 18．（3分）（2023秋•拱墅区月考）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，3），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 　　． 【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案． 【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，3），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE＞EA′， EA′＝＝， ∴AC+BD的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1：10000而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是（100，﹣300），描述它的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是（300，﹣100），它是以谁为坐标原点呢？ 【分析】（1）确定坐标系后，根据各象限内点P（a，b）的坐标特征，即第一象限：a＞0，b＞0；第二象限：a＜0，b＞0；第三象限：a＜0，b＜0；第四象限：a＞0，b＜0，即可作答． （2）根据题意和该点的坐标（100，﹣300），即可解答． （3）根据东门的坐标是（400，0），先找到原点的位置，即原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，再描出坐标系即可． （4）望春亭的坐标是（300，﹣100），所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置． 【解答】解：（1）以公园的湖心亭为原点，即以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点， 以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以根据图片可知，西门在第三象限，其坐标为（﹣200，﹣200）， 中心广场在第四象限，其坐标为（300，﹣200）， 音乐台在第一象限，其坐标为（300，200）． （2）根据题意可知，以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点，以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以一个点的坐标是（100，﹣300），则该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，据此作图如下： ． （4）因为望春亭的坐标是（300，﹣100），所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置， 即这个点为西门． 20．（8分）（2024•宁波模拟）已知A为平面直角坐标系内一点，且点A的坐标为（2，2），将点A向下平移3个单位长度至点B． （1）求点B的坐标； （2）分别求出点A关于x轴的对称点的坐标，点B关于y轴的对称点的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据轴参对称的性质“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数”求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，2）， ∴点A向下平移3个单位长度至点B的坐标为（2，2﹣3）， ∴点B的坐标为（2，﹣1）； （2）点A（2，2）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣2）， 点B（2，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣1）． 21．（8分）（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　（m﹣4，n﹣5）　． （3）求三角形ABC的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点A与坐标原点O重合， ∴将点A、B、C分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点， 如图，△A'B'C'即为所求： （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣5）； 故答案为：（m﹣4，n﹣5）； （3）△ABC的面积为3×4×＝6． 22．（8分）（2023秋•慈溪市校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1），在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 　E、F　； （2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 【分析】（1）根据等距点的定义即可解决； （2）分两种情况，根据等距点的定义，列式建立方程解决即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3， ∴与A点是“等距点”的点是E、F． 故答案为：E、F； （2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”， ①≤4时，则﹣k﹣3＝4或，﹣k﹣3＝﹣4．解得k＝﹣7（舍去）或k＝1． ②若＞4时，则，解得：k＝2或k＝0（舍去）． 根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意． 即k的值是1或2． 23．（10分）（2023秋•上虞区期末）继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系．把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个极坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的极坐标．如图，在θ＝60°的极坐标系中，解答下列问题： （1）若点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为，试求b的值． （2）若点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称，求点N的极坐标． 【分析】（1）过点P作PE∥x轴交y轴于点E，过点E作EH⊥x轴于点H，得到OE＝|b|，，∠EOH＝60°，然后解直角三角形即可； （2）如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C，MN交y轴于K，利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出OC、OD即可． 【解答】解：（1）过点P作PE∥x轴交y轴于点E，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵点P的极坐标为（8，b），且实数b在y轴上所对应的点到x轴的距离为， ∴OE＝|b|，， ∵θ＝60°， ∴∠EOH＝60°， ∴在Rt△EOH中，， ∴b＝±8； （2）如图，作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C，MN交y轴于K，作MB∥x轴交y轴于B，作MA∥y轴交x轴于A， ∴四边形OAMB和四边形OCND是平行四边形， ∴BM＝OA，MA＝OB，ND＝CO，NC＝DO， ∵ND∥x轴，MB∥x轴， ∴ND∥BM， ∴∠DNK＝∠BMK，∠NDK＝∠MBK， ∵点M的极坐标为（4，5），点N与点M关于y轴对称， ∴NK＝MK，MN⊥BD，BM＝OA＝4，MA＝OB＝5， 在△NDK和△MBK中， ， ∴△NDK≌△MBK（AAS）， ∴DN＝BM＝4，DK＝BK， ∴CO＝ND＝4， ∵MN⊥BD，MB∥x轴，θ＝60°， ∴∠MKB＝90°，∠MBK＝60°， 在Rt△KBM中，， ∴DK＝BK＝2， ∴DO＝OB+BK+DK＝5+2+2＝9， ∴点N的极坐标为（﹣4，9）． 24．（12分）（2023春•路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　（﹣5，﹣7）　． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解； （3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）． 故答案为：（﹣5，﹣7）． （2）∵点B（2，﹣3）， ∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）． 又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限， ∴， 解得 ， ∵a取整数， ∴a＝1； （3）∵点C（m+2，1﹣3m）， ∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）． ∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴|16m﹣3|＝1， ∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1． 解得 或 ． 25．（12分）（2023秋•建平县校级期中）如图，直线AB与x轴，y轴分别相交于点A（6，0），B（0，8），M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B'处．求： （1）点B'的坐标； （2）△ABM的面积． 【分析】（1）求出OA，OB，利用勾股定理求出AB即可解决问题． （2）设OM＝m，则B'M＝BM＝8﹣m，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵A B'＝AB＝10， ∴O B'＝10﹣6＝4， ∴B'的坐标为：（﹣4，0）． （2）设OM＝m，则B'M＝BM＝8﹣m， 在Rt△OMB'中，m2+42＝（8﹣m）2， 解得：m＝3， ∴OM＝3，BM＝OB﹣OM＝5， ∴S△ABM＝×BM×AO＝×5×6＝15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$