第4章 图形与坐标知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第4章 《图形与坐标》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、确定位置的方法 1、有序数对法：用第几行、第几列来确定物体的位置； 如规定好排数在前，列数在后，则第3排，第5列的位置对应的有序数对为（3,5）； 2、方向和距离：指明方位角和距离这两个数据来确定物体的位置； 要点诠释： （1）使用有序数对时，一定要先确定好谁在前、谁在后，避免弄反； （2）在描述方位角时，通常先说南北，再说东西；如南偏西60°、北偏西20°等；正好是角平分线时，可以说“东南方向、西北方向”等； （3）方向＋距离法一般都要先有一个参照中心，然后再说待确定物体的位置； 二、平面直角坐标系 平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做x轴（又叫横轴），另一条叫做y轴（又叫纵轴），画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 坐标的定义： x y O M a b 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标，有序数对（a，b）叫做点M的坐标； 象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 象限 x、y的符号 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） x y O 第一象限（+，+） 第二象限（-，+） 第三象限（-，-） 第四象限（+，-） 要点诠释： （1）x轴上点的坐标表达式（x，0）；y轴上点的坐标表达式（0，y） （2）坐标平面内两点间的距离公式为： 若点A、B在同一水平线上，则AB=；若点A、B在同一竖直线上，则AB=； （3）坐标平面内某线段中线的坐标公式为： （4）建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们都可以确定它的坐标；反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 （5）点到x轴的距离=|b|；点到y轴的距离=|a|； 三、坐标平面内图形的轴对称和平移 坐标平面内点的轴对称规律： 坐标平面内点的平移规律： 要点诠释： 坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可！ 四、坐标系与几何的综合 1、坐标平面内几何图形的面积的求法：割补法，优先分割，然后才是补全； 2、坐标平面内点的规律变化问题： 周期型：①判断周期数（一般3到4个）； ②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样） 注意横纵坐标的规律可能不同。 3、 坐标平面内“两定一动”型等腰三角形存在性问题： 找点方法——两圆一线 求点常用方法——勾股定理 题型一　坐标确定位置 例题： 1．（2024春•临海市期末）如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为（1，1），（﹣2，1），则点C的坐标为 　（﹣1，﹣2）　． 【分析】先建立正确的直角坐标系，即可得出答案． 【解答】解：建立如下直角坐标系： 故点C的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 2．（2023秋•衢江区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“士”所在位置的坐标为（0，﹣2），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），则“马”所在位置的坐标为 　（﹣2，﹣2）　． 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系，即可求解． 【解答】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示， ∴“马”所在位置的坐标为（﹣2，﹣2）， 故答案为：（﹣2，﹣2）． 3．（2024春•温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是（300，300）．” （1）小华是用 　方向　和 　距离　描述玖珑花海的位置； （2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； （3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 　（﹣300，600）　，音乐喷泉广场 　（0，﹣1200）　． 【分析】（1）利用方向和距离描述玖珑花海的位置即可得到结论； （2）根据题意确定出原点和单位长度，建立起直角坐标系，根据题意得到结论； （3）根据生态湿地和音乐喷泉广场的位置即可得到结论． 【解答】解：（1）小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； 故答案为：方向，距离； （2）小军是以听雨轩古宅为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系的，如图所示； （3）生态湿地（﹣300，600），音乐喷泉广场（0，﹣1200）． 故答案为：（﹣300，600），（0，﹣1200）． 巩固训练 4．（2022秋•温州期末）如图是画在方格纸上的温州部分旅游景点简图，建立直角坐标系后，狮子岩、永嘉书院与埭头古村的坐标分别是（3，2），（﹣1，﹣3），（﹣3，0），下列地点中离原点最近的是（　　） A．狮子岩 B．龙瀑仙洞 C．埭头古村 D．永嘉书院 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到狮子岩、龙瀑仙洞、埭头古村、永嘉书院的距离，再比较大小即可． 【解答】解：如图所示， 点O到狮子岩的距离为：＝， 点O到龙瀑仙洞的距离为：2， 点O到埭头古村的距离为：3， 点O到永嘉书院的距离为：＝， ∵2＜3＜＜， ∴点O到龙瀑仙洞的距离最近， 故选：B． 5．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）． 故选：A． 6．（2023秋•龙湾区校级月考）如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． （1）用数对的方法表示校门的位置． （2）数对（9，7）在图中表示什么地方？ 【分析】（1）根据题意和图形，可以用数对表示出校门的位置； （2）根据图形，可以写出数对（9，7）表示的地方． 【解答】解：（1）由图可得， 数对（2，3）表示校门的位置； （2）由图可得， 数对（9，7）在图中表示是教学楼的位置． 7．（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1：10000而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是（100，﹣300），描述它的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是（300，﹣100），它是以谁为坐标原点呢？ 【分析】（1）确定坐标系后，根据各象限内点P（a，b）的坐标特征，即第一象限：a＞0，b＞0；第二象限：a＜0，b＞0；第三象限：a＜0，b＜0；第四象限：a＞0，b＜0，即可作答． （2）根据题意和该点的坐标（100，﹣300），即可解答． （3）根据东门的坐标是（400，0），先找到原点的位置，即原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，再描出坐标系即可． （4）望春亭的坐标是（300，﹣100），所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置． 【解答】解：（1）以公园的湖心亭为原点，即以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点， 以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以根据图片可知，西门在第三象限，其坐标为（﹣200，﹣200）， 中心广场在第四象限，其坐标为（300，﹣200）， 音乐台在第一象限，其坐标为（300，200）． （2）根据题意可知，以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点，以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以一个点的坐标是（100，﹣300），则该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，据此作图如下： ． （4）因为望春亭的坐标是（300，﹣100），所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置，即这个点为西门． 题型二　点的坐标 例题： 1．（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【解答】解：∵点P位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点的坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 2．（2024春•临海市期中）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【分析】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， （3，2），（﹣3，2），（3，﹣2），（﹣3，﹣2）中只有（﹣3，2）在第二象限． 故选：B． 3．（2023秋•上城区月考）若点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上，则代数式6m+4n的值是 　0　． 【分析】根据题意得到3m﹣1＝0，2n+1＝0，求出，代入6m+4n即可求解． 【解答】解：∵点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上， ∴3m﹣1＝0，2n+1＝0， 解得， ∴． 故答案为：0． 4．（2024春•余姚市期末）当m，n都是实数，且满足2m＝3+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”，点C（a，6）是爱心点，则a＝　4　． 【分析】根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值； 【解答】解：∵点C为爱心点， ∴， ∴n＝12﹣m， 又∵2m＝3+n， ∴2m＝3+12﹣m， 解得m＝5， ∴5﹣1＝a，即a＝4． 故答案为：4． 5．（2024春•临海市校级期中）已知点A（2m﹣1，m+3），试根据下列条件分别求出点A的坐标． （1）点A在x轴上； （2）点A的横坐标比纵坐标大2； （3）点A到y轴的距离为3． 【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标是0； （2）根据2m﹣1﹣（m+3）＝2，可解答； （3）根据点A到y轴的距离为3，是横坐标的绝对值，进行解答． 【解答】解：（1）∵点A在x轴上， ∴点A纵坐标是0，即m+3＝0， 解得m＝﹣3， 故2m﹣1＝2×（﹣3）﹣1＝﹣7，m+3＝﹣3+3＝0， ∴A（﹣7，0）； （2）∵点A的横坐标比纵坐标大2， ∴2m﹣1﹣（m+3）＝2， 解得m＝6， 故2m﹣1＝2×6﹣1＝11，m+3＝6+3＝9， ∴A（11，9）； （3）∵点A到y轴的距离为横坐标的绝对值， ∴|2m﹣1|＝3， 解得m＝2或m＝﹣1， 当m＝2时，2m﹣1＝2×2﹣1＝3，m+3＝2+3＝5， ∴A（3，5）； 当m＝﹣1时，2m﹣1＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，m+3＝﹣1+3＝2， ∴A（﹣3，2）． 巩固训练 6．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　四　象限． 【分析】先根据题意判断出m，n的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵点（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴n+1＞0， ∴点（n+1，m）在第四象限． 故答案为：四． 7．（2024春•路桥区期中）已知点A（a，b）为第二象限的一点，且点A到x轴的距离为4，且|a+1|＝4，则＝（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D． 【分析】首先确定a和b的值，然后再利用算术平方根计算即可． 【解答】解：∵点A（a，b）为第二象限的一点， ∴a＜0，b＞0， ∵点A到x轴的距离为4， ∴b＝4， ∵|a+1|＝4， ∴a＝﹣5， ∴＝＝3， 故选：A． 8．（2023秋•义乌市期末）已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　（3，3）或（6，﹣6）　． 【分析】点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出a的值，从而求出点的坐标． 【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数， ∴分以下两种情考虑： ①横纵坐标相等时，即当2﹣a＝3a+6时，解得a＝﹣1， ∴点P的坐标是（3，3）； ②横纵坐标互为相反数时，即当（2﹣a）+（3a+6）＝0时，解得a＝﹣4， ∴点P的坐标是（6，﹣6）． 故答案为（3，3）或（6，﹣6）． 9．（2022秋•兰溪市校级期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　（2，14）　； （2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标； （3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标． 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标． 【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14， ∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）． 故答案为：（2，14）； （2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8）， ∴ 解得， ∴点P的坐标为（0，4）； （3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m）， ①P′位于x轴上， ∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0， 解得：m＝﹣， ∴﹣3（m﹣1）+2m＝， ∴P′（，0）． ②P′位于y轴上， ∴﹣3（m﹣1）+2m＝0， 解得：m＝3 ∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16， ∴P′（0，﹣16）． 综上所述，点P′的坐标为（，0）或（0，﹣16）． 题型三　坐标规律题 例题： 1．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由图中可知，P2（4，1），P3（0，3），P4（2，4），P5（4，3），最后再反射到P（0，1），由此可知，每6次循环一次， ∴2024÷6＝337…2， ∴点P2024的坐标与P2相同， ∴P2024（4，1）． 故选：D． 2．（2024秋•宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知点A（﹣1，2），点C（1，﹣1）．点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第一次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，…，则M2024的坐标为是（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1） 【分析】根据点坐标计算长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用2024÷5的余数即可求出第2024次相遇点的坐标． 【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t， 根据题意得2t+3t＝10， 解得t＝2， ∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0）， 当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0）， 当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2）， 当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1）， 当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2）， 当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0）， ∴五次相遇一循环， ∵2024÷5＝404……4， ∴M2024的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A253B253C253D253四条边上的整点共有 　2024　个． 【分析】根据题意，依次求出正方形四条边上的整点个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 正方形A1B1C1D1四条边上的整点个数为：8＝1×8； 正方形A2B2C2D2四条边上的整点个数为：16＝2×8； 正方形A3B3C3D3四条边上的整点个数为：24＝3×8； …， 所以正方形AnBn∁nDn四条边上的整点个数为8n个， 当n＝253时， 8n＝8×253＝2024（个）， 即正方形A253B253C253D253四条边上的整点个数为2024个． 故答案为：2024． 巩固训练 4．（2023春•玉环市校级期中）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2023（1，﹣1）＝（　　） A．（0，21011） B．（0，﹣21011） C．（0，﹣21012） D．（0，21012） 【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答． 【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2）， P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，2）＝（2，﹣2）， P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22）， P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22）， P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23）， …， P2023（1，﹣1）＝（0，21012）． 故答案为：D． 5．（2023秋•鄞州区期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（　　） A．（63，5） B．（63，6） C．（64，5） D．（64，6） 【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解． 【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，0）和（2，1）作为第二列， 以此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，⋯， 第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵1+2+3+⋯⋯+63＝2016， ∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点， 因而第2023个点的坐标是（64，6）， 故选：D． 题型四　有序数对、方位角和距离 例题： 1．（2023秋•义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作（4，3），那么（5，9）表示（　　） A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座” 【分析】根据题意可知有序数对中第1个数字表示排数，第2个数字表示座位数，由此可解． 【解答】解：由题意知，（5，9）表示“5排9座”， 故选：C． 2．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是（　　） A．离小明家3千米的大楼 B．东经120°，北纬30° C．电影院中18座 D．北偏西35°方向 【分析】根据坐标的定义逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故A不符合题意， 东经120°，北纬30°，能确定位置，故B符合题意， 电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故C不符合题意， 北偏西35°方向没说明长度及观测点，不固定，故D不符合题意， 故选：B． 巩固训练 3．（2023秋•东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　） A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5） 【分析】根据医院与图书馆、教学楼在同一直线上，结合图形画出经过图书馆、教学楼的直线即可得到答案． 【解答】解：画出过图书馆、教学楼的直线，如图， 所以，点（3，5）在这条直线上， 故选：D． 4．（2023•拱墅区校级开学）如图，如果点B的位置用数对表示为（2，1），那么下面描述不正确的是（　　） A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北45°方向上 C．点A的位置用数对表示为（4，3） D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置 【分析】根据题意逐一判断即可． 【解答】解：A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合，故本选项不符合题意； B．点B在点A西偏南45°方向上，故本选项符合题意； C．点A的位置用数对表示为（4，3），故本选项不符合题意； D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型五　两点间距离公式 例题： 1．（2021春•椒江区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，﹣3）到原点的距离是　5　． 【分析】直接利用两点简的距离公式计算． 【解答】解：点A（4，﹣3）到原点的距离＝＝5． 故答案为5． 2．（2023秋•海曙区校级期末）已知A（2，a），B（b，﹣3）是平面直角坐标系上的两个点，AB∥x轴，且点B在点A的右侧．若AB＝5，则（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣3 B．a＝﹣3，b＝7 C．a＝2，b＝2 D．a＝﹣8，b＝2 【分析】由A与B的坐标，根据AB与x轴平行，确定出a的值，根据AB＝5求出b的值即可． 【解答】解：∵A（2，a），B（b，﹣3），且AB＝5，且AB∥x轴， ∴a＝﹣3，b﹣2＝5， 解得：a＝﹣3，b＝7， 故选：B． 3．（2023秋•拱墅区月考）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，3），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 　　． 【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案． 【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，3），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE＞EA′， EA′＝＝， ∴AC+BD的最小值为． 故答案为：． 4．（2023秋•光明区校级期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|． （1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 　3　； （2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 　（5，4）或（﹣1，4）　； （3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为 　5　； （4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据两点间距离公式计算即可； （2）结合平行于x轴的直线上的点特征处理即可； （3）根据两点间距离公式计算即可； （4）先根据两点间距离公式计算AB、BC、AC，再进行判断即可． 【解答】解：（1）AB＝5﹣2＝3， 故答案为：3； （2）∵线段AB平行于x轴，点B的坐标为（2，4）， ∴设点A的坐标是（a，4）， ∵AB＝3， ∴点A的横坐标为|a﹣2|＝3， ∴a＝5或a＝﹣1， ∴点A的坐标是（5，4）或（﹣1，4）， 故答案为：（5，4）或（﹣1，4）； （3）∵A（3，5），B（﹣4，4）， ∴AB＝＝， 故答案为：5； （4）△ABC为等腰直角三角形，理由如下： ∵A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2）， ∴AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝＝2， ∴AB＝AC，AB2+BC2＝20＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 巩固训练 5．（2024春•临海市校级期中）在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C为线段AE的中点，则线段DE的中点坐标为 　（﹣，5）　． 【分析】根据线段的中点坐标公式先求出点D与点E的坐标，再求出线段DE的中点坐标即可． 【解答】解：∵点D为线段AB的中点，A（3，8），B（1，4）， ∴D（2，6）． ∵点C为线段AE的中点，A（3，8），C（﹣1，6）， ∴E（﹣5，4）， ∴线段DE的中点坐标为（﹣，7）． 故答案为：（﹣，5）． 6．（2023秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　1　． 【分析】等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC，可证△ABC是等腰三角形，求出点C的坐标，确定PC⊥y轴时，PC最小，即QB最小． 【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC， ∴由旋转可知，△ABQ≌△ACP， AB＝AC，BQ＝PC，∠PAC＝∠QAB， ∵∠PAQ＝∠PAC+∠CAQ＝90°， ∴∠BAC＝∠QAB+∠CAQ＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， A（1，0），B（5，0）， ∴AB＝4， ∴C（1，4），即C是定点， ∴当PC最小时，QB最小， ∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值为1． 线段QB长度的最小值为1． 故答案为：1． 7．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在平面直角坐标系中有点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后能够与线段CD重合（其中点A与点C对应）． （1）求AB的长度． （2）直接写出旋转中心P的坐标． （3）将点O绕着（2）中的旋转中心P作与线段AB一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标． 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可． （2）设旋转中心P（x，y），根据PA＝PC，PB＝PD，列出方程组计算即可． （3）根据P（3，6），点A（1，4），C（5，4），确定旋转变换是以P为中心，逆时针旋转90°，计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（1，4），B（2，1）， ∴点． （2）设旋转中心P（x，y）， ∵点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后能够与线段CD重合（其中点A与点C对应）． ∴PA＝PC，PB＝PD， ∴， 解得， 故旋转中心P（3，6）． （3）∵P（3，6），点A（1，4），C（5，4）， ∴AC＝4，PA2+PC2＝16＝AC2， ∴∠APC＝90°， ∴旋转变换是以P为中心，逆时针旋转90°， 设点O变换的对应点是M， ∴M（9，3）． 题型六　坐标系内图形的轴对称与平移 例题： 1．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）， 故选：D． 2．（2023秋•慈溪市校级期中）将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　（﹣6，﹣2）　． 【分析】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可． 【解答】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点， ∴Q（m，m+6）， ∵点Q在x轴上， ∴m+6＝0，解得：m＝﹣6， ∴点P（﹣6，﹣2）， 故答案为：（﹣6，﹣2）． 3．（2024春•瑞安市月考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0.5，4），则点D的坐标为（　　） A．（3.5，4） B．（5.5，4） C．（5，4） D．（6，4） 【分析】由点A与点B对称，求得对称轴为直线x＝3，再根据点C与点D对称，即可求解． 【解答】解：∵（2，0）与（4，0）对称， ∴对称轴为直线， ∵C（0.5，4）与点D关于直线x＝3对称， ∴点D的坐标为（5.5，4）． 故选：B． 4．（2023秋•海曙区期末）已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　四　组对称三角形． 【分析】找出纵坐标相等，横坐标相反的三组对称点即可． 【解答】解：因为这六个点中A（﹣2，4）与B（2，4），C（1，2）与D（﹣1，2），E（﹣3，1）与F（3，1），都是关于y轴对称，所以对称三角形有△ADE，△BCF，△BDE，△ACF，△BDF，△ACE，△ADF，△BCE．共4对． 5．（2024•宁波模拟）已知A为平面直角坐标系内一点，且点A的坐标为（2，2），将点A向下平移3个单位长度至点B． （1）求点B的坐标； （2）分别求出点A关于x轴的对称点的坐标，点B关于y轴的对称点的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据轴参对称的性质“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数”求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，2）， ∴点A向下平移3个单位长度至点B的坐标为（2，2﹣3）， ∴点B的坐标为（2，﹣1）； （2）点A（2，2）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣2）， 点B（2，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣1）． 6．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　（m﹣4，n﹣5）　． （3）求三角形ABC的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点A与坐标原点O重合， ∴将点A、B、C分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点， 如图，△A'B'C'即为所求： （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣5）； 故答案为：（m﹣4，n﹣5）； （3）△ABC的面积为3×4×＝6． 巩固训练 7．（2024•宁波模拟）在平面直角坐标系中，若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标是（　　） A．（8，8） B．（6，10） C．（﹣4，0） D．（﹣2，﹣2） 【分析】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向上平移，横坐标不变，纵坐标加，求出点B的横坐标与纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征即可求解． 【解答】解：将若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4）， 则点A的坐标为（2﹣4，4﹣6），即（﹣2，﹣2）， 故选：D． 8．（2024•鄞州区校级开学）将点P（﹣2，3）关于y轴对称后再向左平移 　2　个单位，其对应点落在y轴上． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案． 【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称点坐标为（2，3），则再向左平移2个单位，其对应点落在y轴上． 故答案为：2． 9．（2024春•余姚市期末）已知点A（a，﹣2）与点B（﹣3，2）关于原点对称，则a＝　3　． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，2）关于原点对称， ∴a＝3． 故答案为：3． 10．（2024•建平县一模）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　0　． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a＝0+2＝2，b＝0+2＝2， ∴a﹣b＝0， 故答案为：0． 11．（2024春•临海市期中）在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到三角形△A'B'C'，位置如图所示： （1）分别写出点A、A'的坐标：A 　（1，0）　，A'　（﹣4，4）　； （2）若点M（a，b）是△ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为 　（a﹣5，b+4）　； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据点的位置确定坐标即可； （2）利用平移变换的规律解决问题即可； （3）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）观察图象可知，A（1，0），A′（﹣4，4）， 故答案为：（1，0），（﹣4，4）； （2）∵△ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到△A′B′C′． ∴M（a，b），平移后的坐标为（a﹣5，b+4）， 故答案为：（a﹣5，b+4）； （3）S△ABC＝4×4﹣×2×4﹣×1×4﹣×2×3＝7． 12．（2022春•临海市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为一个单位长度．已知△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1），将△ABC平移得到△A1B1C1，△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+3，y0﹣2）． （1）画出△A1B1C1，并写出顶点坐标：A1　（2，2）　，B1　（﹣1，﹣3）　，C1　（4，﹣1）　． （2）求△ABC的面积； （3）若△ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（3，1），则点M的坐标为 　（4，﹣1）　．连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是 　平行且相等　． 【分析】（1）根据将△ABC平移得到△A1B1C1，△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+3，y0﹣2），得出需要将△ABC向右平移3个单位，向下平移2个单位，然后先作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出△A1B1C1； （2）利用割补法求出△ABC的面积即可； （3）根据平移方法求出点M的坐标，根据平移的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）∵将△ABC平移得到△A1B1C1，△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+3，y0﹣2）， ∴将△ABC向右平移3个单位，向下平移2个单位得到△A1B1C1， ∴先作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示： A1（2，2），B1（﹣1，﹣3），C1（4，﹣1）． 故答案为：（2，2），（﹣1，﹣3），（4，﹣1）． （2）． （3）∵将点M向右平移3个单位，向下平移2个单位得到M1，点M1（3，1）， ∴点M的坐标为：（0，3）； ∵点M平移得到M1，点P平移得到P1， ∴MM1∥PP1，MM1＝PP1． 故答案为：（0，3）；平行且相等． 题型七　坐标与图形的性质 例题： 1．（2024•温州模拟）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 【分析】先根据对称的性质得出点A′的坐标，再根据旋转的性质结合全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点A′和点A关于y轴对称， ∴点A′的坐标为（1，0）， ∴OA′＝1． ∵点B坐标为（0，2）， ∴OB＝2． 过点B′作x轴的垂线，垂足为M， 由旋转可知， AB＝AB′，∠BA′B′＝90°， ∴∠BA′O+∠B′A′M＝∠BA′O+∠A′BO＝90°， ∴∠B′A′M＝∠A′BO． 在△A′BO和△B′A′M中， ， ∴△A′BO≌△B′A′M（AAS）， ∴B′M＝A′O＝1，A′M＝BO＝2， ∴OM＝1+2＝3， ∴点B′的坐标为（3，1）． 故选：A． 2．（2023秋•南浔区期末）如图，平面直角坐标系中，点A是第二象限的一点，点B在x轴上，点C在y轴上，且满足AB⊥AC，AB＝AC；当OB+OC＝6时，点A的坐标是 　（﹣3，3）　． 【分析】过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则四边形AMON为矩形，证△AMB和△ANC全等得AM＝AN，BM＝CN，则四边形AMON为正方形，进而得OB＝OM﹣BM＝ON﹣CN，OC＝ON+CN，则OB+OC＝2ON＝6，由此得ON＝3，进而可得点A的坐标． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，如图所示： ∵∠MON＝90°， ∴四边形AMON为矩形， ∴∠NAN＝90°， 即∠BAM+∠BAN＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠CAN+∠BAN＝90°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵AM⊥x轴，AN⊥y轴， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， 在△AMB和△ANC中， ∠BAM＝∠CAN，∠AMB＝∠ANC＝90°，AB＝AC， ∵△AMB≌△ANC（AAS）， ∴AM＝AN，BM＝CN， ∴四边形AMON为正方形， ∴AN＝AM＝ON＝OM， ∴OB＝OM﹣BM＝ON﹣CN，OC＝ON+CN， ∴OB+OC＝ON﹣CN+ON+CN＝2ON， ∵OB+OC＝6， ∴2ON＝6， ∴ON＝3， ∴AN＝ON＝3， ∴点A的坐标为（﹣3，3）． 故答案为：（﹣3，3）． 3．（2022秋•东阳市期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【解答】解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， 解得a＝4，b＝6， ∴点B的坐标是（4，6）； （2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动， ∴点P的路程：2×4＝8， ∵OA＝4，OC＝6， ∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）； （3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在OC上时， 点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒）， 第二种情况，当点P在BA上时． 点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒． 巩固训练 4．（2024•路桥区校级开学）如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为　（2，2）　． 【分析】先根据等腰三角形的定义得出AB＝OB＝2，推出点A的坐标，再结合关于y轴对称的点的特征，即可求解． 【解答】解：在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2， ∴AB＝OB＝2， ∴点A的坐标为（﹣2，2）， 故答案为：（2，2）． 5．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　（2，2）　． 【分析】设C（m，n）．利用中点坐标公式构建方程组求解即可． 【解答】解：设C（m，n）． ∵线段BA绕点B旋转180°得到线段BC， ∴AB＝BC， ∵点A（﹣2，0），点B（0，1）， ∴＝0，＝1， ∴m＝2，n＝2， ∴C（2，2）． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则点B的坐标是 　（，2）　． 【分析】过点B作BD⊥x轴于D，利用勾股定理可求得OA＝，即OB＝，然后利用勾股定理求得OD，从而可确定点B的坐标． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，如图， ∵A（1，3）， ∴OA＝＝， ∵以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B， ∴OB＝OA＝， ∵BD＝2， ∴AD＝＝， ∴点B的坐标为：（，2）． 故答案为：（，2）． 7．（2023春•武威期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 　6　； （Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求三角形ACD的面积； ②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标． 【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式直接求解即可． （Ⅱ）①连接OD，根据S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC求解即可． ②构建方程求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴S△ABC＝•BC•AO＝×6×2＝6． 故答案为6． （Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD． S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC ＝×2×5+×4×4﹣×2×4＝9． ②由题意：×2×|m|＝×2×4， 解得m＝±4， ∴P（﹣4，3）或（4，3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《图形与坐标》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、确定位置的方法 1、有序数对法：用第几行、第几列来确定物体的位置； 如规定好排数在前，列数在后，则第3排，第5列的位置对应的有序数对为（3,5）； 2、方向和距离：指明方位角和距离这两个数据来确定物体的位置； 要点诠释： （1）使用有序数对时，一定要先确定好谁在前、谁在后，避免弄反； （2）在描述方位角时，通常先说南北，再说东西；如南偏西60°、北偏西20°等；正好是角平分线时，可以说“东南方向、西北方向”等； （3）方向＋距离法一般都要先有一个参照中心，然后再说待确定物体的位置； 二、平面直角坐标系 平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做x轴（又叫横轴），另一条叫做y轴（又叫纵轴），画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 坐标的定义： x y O M a b 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标，有序数对（a，b）叫做点M的坐标； 象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 象限 x、y的符号 第一象限 （+，+） 第二象限 （-，+） 第三象限 （-，-） 第四象限 （+，-） x y O 第一象限（+，+） 第二象限（-，+） 第三象限（-，-） 第四象限（+，-） 要点诠释： （1）x轴上点的坐标表达式（x，0）；y轴上点的坐标表达式（0，y） （2）坐标平面内两点间的距离公式为： 若点A、B在同一水平线上，则AB=；若点A、B在同一竖直线上，则AB=； （3）坐标平面内某线段中线的坐标公式为： （4）建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们都可以确定它的坐标；反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 （5）点到x轴的距离=|b|；点到y轴的距离=|a|； 三、坐标平面内图形的轴对称和平移 坐标平面内点的轴对称规律： 坐标平面内点的平移规律： 要点诠释： 坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可！ 四、坐标系与几何的综合 1、坐标平面内几何图形的面积的求法：割补法，优先分割，然后才是补全； 2、坐标平面内点的规律变化问题： 周期型：①判断周期数（一般3到4个）； ②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样） 注意横纵坐标的规律可能不同。 3、 坐标平面内“两定一动”型等腰三角形存在性问题： 找点方法——两圆一线 求点常用方法——勾股定理 题型一　坐标确定位置 例题： 1．（2024春•临海市期末）如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为（1，1），（﹣2，1），则点C的坐标为 　 　． 2．（2023秋•衢江区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“士”所在位置的坐标为（0，﹣2），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），则“马”所在位置的坐标为 　 　． 3．（2024春•温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是（300，300）．” （1）小华是用 　 　和 　 　描述玖珑花海的位置； （2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； （3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 　 　，音乐喷泉广场 　 　． 巩固训练 4．（2022秋•温州期末）如图是画在方格纸上的温州部分旅游景点简图，建立直角坐标系后，狮子岩、永嘉书院与埭头古村的坐标分别是（3，2），（﹣1，﹣3），（﹣3，0），下列地点中离原点最近的是（　　） A．狮子岩 B．龙瀑仙洞 C．埭头古村 D．永嘉书院 5．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 6．（2023秋•龙湾区校级月考）如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． （1）用数对的方法表示校门的位置． （2）数对（9，7）在图中表示什么地方？ 7．（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1：10000而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： （1）请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． （2）若一个点的坐标是（100，﹣300），描述它的位置． （3）若东门的坐标是（400，0），请在图中描出坐标系． （4）若望春亭的坐标是（300，﹣100），它是以谁为坐标原点呢？ 题型二　点的坐标 例题： 1．（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 2．（2024春•临海市期中）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 3．（2023秋•上城区月考）若点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上，则代数式6m+4n的值是 　 　． 4．（2024春•余姚市期末）当m，n都是实数，且满足2m＝3+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”，点C（a，6）是爱心点，则a＝　 　． 5．（2024春•临海市校级期中）已知点A（2m﹣1，m+3），试根据下列条件分别求出点A的坐标． （1）点A在x轴上； （2）点A的横坐标比纵坐标大2； （3）点A到y轴的距离为3． 巩固训练 6．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　 　象限． 7．（2024春•路桥区期中）已知点A（a，b）为第二象限的一点，且点A到x轴的距离为4，且|a+1|＝4，则＝（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D． 8．（2023秋•义乌市期末）已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　 　． 9．（2022秋•兰溪市校级期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 　 　； （2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标； （3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标． 题型三　坐标规律题 例题： 1．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 2．（2024秋•宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知点A（﹣1，2），点C（1，﹣1）．点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第一次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，…，则M2024的坐标为是（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1） 3．（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A253B253C253D253四条边上的整点共有 　 　个． 巩固训练 4．（2023春•玉环市校级期中）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2023（1，﹣1）＝（　　） A．（0，21011） B．（0，﹣21011） C．（0，﹣21012） D．（0，21012） 5．（2023秋•鄞州区期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（　　） A．（63，5） B．（63，6） C．（64，5） D．（64，6） 题型四　有序数对、方位角和距离 例题： 1．（2023秋•义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作（4，3），那么（5，9）表示（　　） A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座” 2．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是（　　） A．离小明家3千米的大楼 B．东经120°，北纬30° C．电影院中18座 D．北偏西35°方向 巩固训练 3．（2023秋•东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　） A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5） 4．（2023•拱墅区校级开学）如图，如果点B的位置用数对表示为（2，1），那么下面描述不正确的是（　　） A．线段OA绕O点顺时针旋转180°，A、B两点重合 B．点B在点A东偏北45°方向上 C．点A的位置用数对表示为（4，3） D．点A向正南方向移动2cm，再向正西方向移动2cm，点A到达点B的位置 题型五　两点间距离公式 例题： 1．（2021春•椒江区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，﹣3）到原点的距离是　 　． 2．（2023秋•海曙区校级期末）已知A（2，a），B（b，﹣3）是平面直角坐标系上的两个点，AB∥x轴，且点B在点A的右侧．若AB＝5，则（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣3 B．a＝﹣3，b＝7 C．a＝2，b＝2 D．a＝﹣8，b＝2 3．（2023秋•拱墅区月考）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，3），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　． 4．（2023秋•光明区校级期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|． （1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 　 　； （2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 　 　； （3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为 　 　； （4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 巩固训练 5．（2024春•临海市校级期中）在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C为线段AE的中点，则线段DE的中点坐标为 　 　． 6．（2023秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　 　． 7．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在平面直角坐标系中有点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后能够与线段CD重合（其中点A与点C对应）． （1）求AB的长度． （2）直接写出旋转中心P的坐标． （3）将点O绕着（2）中的旋转中心P作与线段AB一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标． 题型六　坐标系内图形的轴对称与平移 例题： 1．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 2．（2023秋•慈溪市校级期中）将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　． 3．（2024春•瑞安市月考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0.5，4），则点D的坐标为（　　） A．（3.5，4） B．（5.5，4） C．（5，4） D．（6，4） 4．（2023秋•海曙区期末）已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　 　组对称三角形． 5．（2024•宁波模拟）已知A为平面直角坐标系内一点，且点A的坐标为（2，2），将点A向下平移3个单位长度至点B． （1）求点B的坐标； （2）分别求出点A关于x轴的对称点的坐标，点B关于y轴的对称点的坐标． 6．（2024春•临海市期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'； （2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 　 　． （3）求三角形ABC的面积． 巩固训练 7．（2024•宁波模拟）在平面直角坐标系中，若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标是（　　） A．（8，8） B．（6，10） C．（﹣4，0） D．（﹣2，﹣2） 8．（2024•鄞州区校级开学）将点P（﹣2，3）关于y轴对称后再向左平移 　 　个单位，其对应点落在y轴上． 9．（2024春•余姚市期末）已知点A（a，﹣2）与点B（﹣3，2）关于原点对称，则a＝　 　． 10．（2024•建平县一模）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　． 11．（2024春•临海市期中）在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到三角形△A'B'C'，位置如图所示： （1）分别写出点A、A'的坐标：A 　 　，A'　 　； （2）若点M（a，b）是△ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为 　 　； （3）求△ABC的面积． 12．（2022春•临海市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为一个单位长度．已知△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1），将△ABC平移得到△A1B1C1，△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+3，y0﹣2）． （1）画出△A1B1C1，并写出顶点坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　． （2）求△ABC的面积； （3）若△ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（3，1），则点M的坐标为 　 　．连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是 　 　． 题型七　坐标与图形的性质 例题： 1．（2024•温州模拟）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 2．（2023秋•南浔区期末）如图，平面直角坐标系中，点A是第二象限的一点，点B在x轴上，点C在y轴上，且满足AB⊥AC，AB＝AC；当OB+OC＝6时，点A的坐标是 　 　． 3．（2022秋•东阳市期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 巩固训练 4．（2024•路桥区校级开学）如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为　 　． 5．（2023秋•路桥区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　 　． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则点B的坐标是 　 　． 7．（2023春•武威期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 　 　； （Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求三角形ACD的面积； ②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$