精品解析：福建省厦门市湖滨中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2024-2025学年厦门市湖滨中学高三（上）9月月考 数学试题 考试时间：2024年9月13日 考试时长：120分钟 学校：_______姓名：_______班级：_______考号：_______ 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分） 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则函数的最小值为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知曲线在点处切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 二、多选题（共3个小题，每小题6分，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 最大值为 D. 没有最大值 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 当， C. D. 曲线有且仅有两条过点切线 三、填空题填空题（共4小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________. 13. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数图象必过定点_____________． 14. 若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为______． 四、解答题解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）； （2）． （3）设，试用表示． 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 18 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年厦门市湖滨中学高三（上）9月月考 数学试题 考试时间：2024年9月13日 考试时长：120分钟 学校：_______姓名：_______班级：_______考号：_______ 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分） 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出阴影为，在直接计算即可. 【详解】图中阴影部分为，因为，， 所以， 故选：A. 2. 已知命题 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题 为全称量词命题， 则为：. 故选：D 3. 下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，故由不能得到，充分性不成立，故不正确； 对于B选项，，两者互为充要条件，故不成立； 对于C选项，，反之，不然，故满足条件； 对于D选项，，故是的必要不充分条件，不满足； 综上，只有C正确. 故选：C 【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题. 4. 设，则函数的最小值为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解可得答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 6. 若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值． 【详解】由题意，得， 故选：B 7. 已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解. 【详解】令，其定义域为， 因为，所以为偶函数， 由题易知也偶函数， 因为两个函数图象的交点个数为奇数， 所以两个函数的交点，必有一个是原点， 故. 故选：C. 8. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，与抛物线方程联立，利用求出的值，再验证可得答案. 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 二、多选题（共3个小题，每小题6分，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集. 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 没有最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据导数可判断D. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以. 所以， 当时，的最小值为，故A正确； ， 当且仅当时等号成立，故B错误； ， 当且仅当时等号成立， 故，即的最大值为，故C正确； ， 而，设，其中， 故， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故当时，，所以的最大值为， 所以有最大值，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 当， C. D. 曲线有且仅有两条过点的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合函数的单调性及导数的几何意义判断ABD；计算判断C. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，函数的单调减区间为，A正确； 对于B，当时，；当时，， 即函数在上递增，在上递减，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，令切点为，则切线方程为， 当时，，解得或， 因此曲线有且仅有两条过点的切线，D正确. 故选：ACD 三、填空题填空题（共4小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义即可求解. 【详解】解：由知： ， 解得：， 故的定义域为：. 13. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数图象必过定点_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质，结合指数函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数的图象和函数 的图象关于直线对称， 所以，故函数，则函数图象必过定点． 故答案为： 14. 若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 四、解答题解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）； （2）． （3）设，试用表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用根式和分数指数幂运算法则进行计算； （2）利用对数运算法则计算即可； （3）利用换底公式和对数运算法则进行求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， . 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，根据交集和补集的概念进行求解； （2）求出，根据“”是“”的充分不必要条件，得到， 分两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 ，解得，故， ，解得或， 故， 所以 【小问2详解】 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，则， 又，所以， 或， 综上所述，a的取值范围为. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【小问1详解】 设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； 【小问2详解】 ∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； 【小问3详解】 由题意，有实数解， 即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $