专题7.3 期中压轴题专项复习（考试范围：第1～3章）【19大考点60题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题7.3 期中压轴题专项复习【19大考点60题】 （考试范围：第1~3章） 【苏科版】 【考点1 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 1 【考点2 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 3 【考点3 倍长中线模型】 4 【考点4 旋转模型】 5 【考点5 垂线模型】 6 【考点6 轴对称中的最短路径问题】 7 【考点7 格点中作等腰三角形】 8 【考点8 三角形中的多结论问题】 9 【考点9 等腰三角形的存在性问题】 10 【考点10 构成等腰三角形的点的个数】 11 【考点11 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 12 【考点12 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 13 【考点13 勾股定理与网格问题】 15 【考点14 利用勾股定理证明线段平方关系】 16 【考点15 利用勾股定理求图形面积】 18 【考点16 确定构成直角三角形的点的个数】 19 【考点17 判断直角三角形】 20 【考点18 勾股定理的应用】 21 【考点19 与三角形有关的新定义问题】 22 【考点1 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 1．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 2．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 3．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【考点2 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 4．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 5．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 6．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 7．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【考点3 倍长中线模型】 8．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 9．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【考点4 旋转模型】 10．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 11．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【考点5 垂线模型】 12．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 13．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【考点6 轴对称中的最短路径问题】 14．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 16．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 17．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    18．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【考点7 格点中作等腰三角形】 19．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 21．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【考点8 三角形中的多结论问题】 22．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 24．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【考点9 等腰三角形的存在性问题】 25．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 26．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 27．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【考点10 构成等腰三角形的点的个数】 28．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 29．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点11 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 30．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 31．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 32．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 33．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【考点12 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 34．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 35．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 36．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 37．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 38．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【考点13 勾股定理与网格问题】 39．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 40．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 41．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【考点14 利用勾股定理证明线段平方关系】 42．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 43．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 44．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【考点15 利用勾股定理求图形面积】 45．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 47．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 48．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【考点16 确定构成直角三角形的点的个数】 49．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 50．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【考点17 判断直角三角形】 51．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 52．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 53．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【考点18 勾股定理的应用】 54．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 55．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 56．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【考点19 与三角形有关的新定义问题】 57．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 58．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 59．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 60．（23-24八年级·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 期中压轴题专项复习【19大考点60题】 （考试范围：第1~3章） 【苏科版】 【考点1 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 1 【考点2 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 10 【考点3 倍长中线模型】 17 【考点4 旋转模型】 21 【考点5 垂线模型】 27 【考点6 轴对称中的最短路径问题】 30 【考点7 格点中作等腰三角形】 35 【考点8 三角形中的多结论问题】 38 【考点9 等腰三角形的存在性问题】 44 【考点10 构成等腰三角形的点的个数】 50 【考点11 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 52 【考点12 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 61 【考点13 勾股定理与网格问题】 74 【考点14 利用勾股定理证明线段平方关系】 80 【考点15 利用勾股定理求图形面积】 87 【考点16 确定构成直角三角形的点的个数】 91 【考点17 判断直角三角形】 94 【考点18 勾股定理的应用】 98 【考点19 与三角形有关的新定义问题】 103 【考点1 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 1．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 2．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； （2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， ， ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC， ∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）． 【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得； （2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可； （3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ； （4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到． 【详解】解：（1）如图1，在上取一点使，连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图2示，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，又， ， 而， ， ， ， ； （3）如图3示，延长到，使，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4示，作于，在上截取， ，， ， ， 点是外角平分线上一点，， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点2 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 4．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 5．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论． 【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时， CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD=CE， ∴8-3t=6-t， ∴t=1s， 当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时， CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm， ∴3t-8=6-t， ∴t=s， 当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时， CE=6cm，CD=（t-6）cm， ∴6=t-6， ∴t=12s， 故答案为：1或或12． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长． 6．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 7．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【考点3 倍长中线模型】 8．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 【考点4 旋转模型】 10．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 11．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【考点5 垂线模型】 12．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 【答案】2 【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF 利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可. 【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F, ∴∠BEA=∠AFD=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∵AB=AD ∴ ∴BE=AF ∵AD=CD，DF⊥AC ∴AF= ∴BE=AF= ∴ ∴AC=2 故答案为2 【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键. 13．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中，， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【考点6 轴对称中的最短路径问题】 14．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 15．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′=90°， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 16．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， ， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 17．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．可证为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．    是的垂直平分线， ，， ，， ， 为等边三角形． 又与均为等边三角形的高， ， ， 的最小值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握解法是解题的关键． 18．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ， 的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【考点7 格点中作等腰三角形】 19．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 20．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    21．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识： （1）根据网格的特点，找到线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点即为所求点D； （2）根据网格特点得到，根据等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点D即为所求， ； （2）解：由图形可得，， 根据格点作等腰直角三角形，， ∴， ∴点E如图所示： ． 【考点8 三角形中的多结论问题】 22．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 23．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，①先证，再根据，，即可依据“”判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据等腰三角形性质得，则，再根据角平分线的定义得，，则，，由此可求出的度数，进而可对结论②进行判断；③根据等腰三角形性质得为边上的中线，则，由得，进而得，而是的平分线不是边上的中线，则，据此可对结论③进行判断；④由得，再证和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∵是的平分线，不是边上的中线， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④由①可知：， ∴，，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是 ①②④， 故答案为：①②④． 24．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】①根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等；②通过△ACE和△DCB全等，可得到∠BDC=∠EAC，在△DMP和△ACM中，利用“8”字型可求得∠DPA=∠DCA=60°；③根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，则∠AMC＞∠ACM，所以AC＞AM，又可证得△ACM和△DCN全等，得到AM=DN，从而得到AC＞DN；④根据全等三角形对应边相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN；⑤△DAC和△EBC均是等边三角形，所以∠ACD=∠BCE=60°，可得到∠DCE=60°，所以∠DCE=∠BEC，再根据内错角相等，两直线平行可得CD∥BE． 【详解】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACE=∠DCB=120°， 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确； 在△DMP和△ACM中 ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠DMP=∠AMC ∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正确； ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD 在△ACM和△DCN中 ∴△ACM≌△DCN（ASA） ∴AM=DN 又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE， 则∠AMC＞∠ACM， ∴AC＞AM ∴AC＞DN，故③错误； 由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN 又△ACE≌△DCB ∴AE=DB ∴EM=BN，故④正确； ∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠DCE=∠BEC， ∴CD∥BE，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键． 【考点9 等腰三角形的存在性问题】 25．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 【答案】28°或31° 【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°， ∴∠B＝∠C＝28°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ， ∴AF＝AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG＝∠CAG． ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG＝∠C． ∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°． ①当DF＝GF时， ∴∠FDG＝∠FGD． ∵∠DFG＝56°， ∴∠FDG＝∠FGD＝62°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°， ∴∠ADB＝28°+θ+62°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180° ∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°， ∴θ＝31°． ②当DF＝DG时， ∴∠DFG＝∠DGF＝56°， ∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°， ∴∠ADB＝28°+θ+68°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180°， ∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°， ∴θ＝28°． ∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形． 故答案为：28°或31°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 26．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】 或 【分析】过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【答案】36或90或108或 【分析】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【详解】如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD， 设∠B=x°， 则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°， ∴∠CAD=∠C=x°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， 则顶角是90°； ②如图2， AB=AC=CD，BD=AD， 设∠C=x°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x°， ∵BD=AD， ∴∠BAD=∠B=x°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=2x°， ∴∠BAC=3x°， ∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°． ③如图3， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD， 设∠A=x°， ∵BD=AD， ∴∠ABD=∠A=x°， ∴∠CDB=∠ABD+∠A=2x°， ∵BC=BD， ∴∠C=∠CDB=2x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180， x=36°， 则顶角是36°． ④如图4， 当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合， AD=BD，BC=DC， ∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x， 则x+3x+3x=180°， x= ． 综上所述∠A=36°或90°或108°或° 故答案为36或90或108或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 【考点10 构成等腰三角形的点的个数】 28．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 29．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 【考点11 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 30．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 31．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 32．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 33．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】（1）由和点M为的中点可以证得，从而证得M为的中点； （2）证，从而可以证得，进而可以证得，，则有为等腰直角三角形； （3）如图3，证，根据四边形内角和，可得，从而可以证得，进而可以证得，则有 为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴M为的中点； （2）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A，B，E三点共线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论仍成立，（如图3）： 证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，在（3）中能够在掌握变中有不变的辩证思想是解决问题的关键． 【考点12 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 34．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)t的值为或 (4)t的值为1或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； （4）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 35．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 36．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 37．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形和含直角三角形．熟练掌握等边三角形性质，含直角三角形的性质，一元一次方程应用，是解决问题的关键． （1）根据．，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （2）当点P与点Q重合时，，得，解得，即得； （3）当点P在点Q右侧时，，得，解得，即得；当点P在点Q左侧时，，得， 解得 ，即得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴， 故； （2）解：当点P与点Q重合时，， ∴， 解得：   故； （3）解：当点P在点Q右侧时，，， 有， 解得：，   ∴； 当点P在点Q左侧时，， 有， 解得： ， ∴， 综上所述，当时，的长为：或． 38．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】 （1）先判断出是等边三角形，设，表示出、，根据两直线平行，内错角相等求出，表示出，然后相比即可； （2）取的中点，连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰直角三角形的对称性可得，然后求出，再求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，，整理即可得证； （3）过点作于，过点作于，先求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰直角三角形的面积求出，然后求解即可． 【详解】（1） 解：，， 是等边三角形， ∴， 设， 为的中线，为的角平分线， ∴，， ， ，为的中线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ∴， ∵， ， ； 故答案为：； （2） 证明：取的中点，连接、， ，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵为中线， ∴， ∴垂直平分， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故； （3） 解：过点作于，过点作于， ， ， ， 与互余， ， ， 是的平分线， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为18， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形． 【考点13 勾股定理与网格问题】 39．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 【答案】 5 图见解析，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可） 【分析】（Ⅰ）根据网格特点和勾股定理求解即可； （Ⅱ）利用网格特点和全等三角形的性质以及两点之间线段最短、垂线段最短解答即可． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：5； （Ⅱ）如图，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小；    理由：如图，取格点H，G，连接交于M， ∵，，， ∴, ∴ ∴平分，即即为所求； 取格点K，连接，交于D，交于P， 根据角是轴对称图形，且，则， ∴，当D、P、G共线时取等号， 当时，最小，此时最小； 如图，根据网格特点，， ∴， ∵， ∴，即， 故点D、P即为所求作． 故答案为：取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可）． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及到全等三角形的判定与性质、最短距离、勾股定理等知识，灵活运用所学知识解决作图问题是解答的关键，属于中考常考题型． 40．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【答案】见解析；；    ； 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4, ∴； 直角三角形时，如图， 取格点F使得BF=4，FC=3， 根据勾股定理，得BC==5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得AB==5， ∴ ； 锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得BC==5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， ∴=12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 41．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可． 【详解】（1）如图1，线段为所求； 证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图， 结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN， ∵∠PAM+∠MPA=90°， ∴∠PBN+∠MPA=90°， ∴在△PBH中，∠PHB=90°， 即AH⊥BC， AH符合要求； （2）①如图2，点为所求； ②如图2，点为所求． ①证明：结合网格图和勾股定理，可得，， 即，， 即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， 即有：AC⊥AD，，即D点满足要求； ②证明：由割补法，可求得的面积为， 根据，则的面积， ∴与的面积相等， 根据网格作图可知，线段的中点为， ∴， ∴， 则线段平分四边形的面积． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点14 利用勾股定理证明线段平方关系】 42．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 43．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 44．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【答案】（1）补全图形，如图见解析；（2）；（3）①DG与BC的位置关系: DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2. 【分析】（1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；如图：构造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示：    （2），， ， ， ， 交BD的延长线于点E， ， ， ， ； （3）①与BC的位置关系：，证明如下： 连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，    ，，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，    由①得BG⊥AC，∠PBD=90°， ∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°， ∴∠ADB=∠GBP， 在△ADB和△GBP中， , ∴△ADB≌△GBP（SAS）， ∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°， 由①得， ∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形， ∴PD2+DG2=PD2 ∵PD2=2BD2,BD=CG ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答． 【考点15 利用勾股定理求图形面积】 45．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 46．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断． 【详解】如图： 设的半径分别为， 总面积为：， 是直角三角形， ， ， =总面积 – 大半圆面积= （h为三角形AB边上的高） 在C运动过程中有：h先增大后减小， 故与之和的变化情况是先增大后减小， 故选：D 【点睛】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面 47．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】如图， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 48．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为， ， ， ， ， 即， 解得， 大长方形的面积为， 长方形的面积为， 故答案为： 【考点16 确定构成直角三角形的点的个数】 49．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 50．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【考点17 判断直角三角形】 51．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形． 52．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形；（3）8.5 【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据角平分线定理可得DE=DF，可证Rt△AED≌Rt△BFD，可得AE=BF； （2）根据Rt△CED≌Rt△CFD可得CE=CF，进而求得AC的长，利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状； （3）利用三角形的面积及周长为30以及勾股定理，求得a、b、c的长，再利用CE=CF，AE=BF，即可解答. 【详解】（1）证明：连接AD ∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB ∴DE=DF，∠AED=∠BFD=90° ∵DM垂直平分AB ∴AD=BD 在Rt△AED和Rt△BFD中 ∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL） ∴AE＝BF （2）∵AE=BF ∴CF=CB+BF=CB+AE=10+7=17 在Rt△CED和Rt△CFD中 ∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL） ∴CE=CF ∴AC=AE+EC=7+17=24 BC2+AC2=102+242=262=AB ∴△ABC是直角三角形 （3）∵△ABC的周长与面积都等于30 ∴ 由勾股定理得： ∴ 解得： ∵CE=CF，AE=BF 设，则 ∴ 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，还涉及了勾股定理、角平分线定理、线段垂直平分线定理等，熟练掌握各个性质定理是解题关键. 53．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【答案】(1)能，是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （2）连接，利用等腰三角形的判定和性质得到，由勾股定理得到，再利用即可求出答案． 【详解】（1）解：能，是直角三角形， 理由如下：∵点E为的中点．， ∴， ∵． ∴， ∴是直角三角形，为斜边； （2）连接， ∵点E为的中点． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【考点18 勾股定理的应用】 54．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 55．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 56．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程． 【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长； （2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直． 【详解】解：（1）如图，连接BG． 在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm）， 即线段BG的长度为5dm； （2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝ ②把ABEF展开，如图 此时的总路程为＝＝ ③如图所示，把BCFGF展开， 此时的总路程为＝ 由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【考点19 与三角形有关的新定义问题】 57．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．      ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 58．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 59．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 60．（23-24八年级·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$