精品解析：广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高三上学期10月阶段考试数学试题

南执高级中学2025届高三上学期10月阶段测试 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，或， 所以， 故选：C 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3. 如图所示，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解. 【详解】因为．且，， 所以， ， ， . 故选：C 4. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性与奇函数性质求的值. 【详解】因为是定义在上周期为的奇函数， 所以. 故选：C. 6. 在中，角所对的边分别为，下列结论不正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项B,实际上是正弦定理的变形，所以该选项是正确的； 选项C,由于,所以该选项正确； 选项D,,不一定等于sinC,所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. 已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件可得，，与已知条件相减即可求出，检验满足，即可求解. 【详解】∵， ∴， 两式相减得 ∴，① 又当时，，，适合①式， ∴. 故选：B 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题. 【详解】因为 所以. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有种排法 B. 若，则 C. 4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法 D. 展开式中项的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用捆绑法和乘法计数原理即可判断A；先根据得到，进而结合正态密度曲线的对称性即可判断B；根据组合的定义即可判断C；先求出展开式的通项，进而即可求解判断D. 【详解】对于A，利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种， 加上5名男生一共有6个个体，则有种排列方式， 则由乘法计数原理可知一共有种排法，故A正确； 对于B，由得， 所以， 则，故B正确； 对于C，从4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法，故C错误； 对于D，展开式的通项为，， 所以展开式中项的系数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 当时，， 由图象可知，则，故C错误； 由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，由此确定函数解析式， 根据周期公式判断A，结合正弦函数单调性判断B，根据平移结论判断C，利用辅助角 公式，结合正弦型函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得：，又因为， 所以，又，所以，所以， 将代入得， 即，即， 又，所以， 所以， 对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 可得的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D， ， 所以函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 销售额（万元） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则为___________. 【答案】39. 【解析】 【分析】求得样本中心点，代入回归方程可得. 【详解】因为，， 将样本中心点代入回归方程得，解得. 故答案为：39. 13. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点和离心率构造关于的方程组，求解得到，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】设椭圆的标准方程为：. 椭圆的一个焦点为，离心率 ，解得： 椭圆的标准方程为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，属于基础题. 14. 已知等比数列的前项和为，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得， 所以，，， 因此，. 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知 且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解； （2）由裂项相消求和法即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得, ,； 【小问2详解】 解：，. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求角； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出，即可得出周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，所以， 于是，所以， 由正弦定理可得，即， 解得， 故的周长为. 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）试求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 该三棱柱是直三棱柱，且， 两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， ， . 【小问2详解】 ， ， 易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为， 则，取，则， 故， ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 18. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求的值； （2）求随机变量的数学期望； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 【答案】（1）;（2）；（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率. 【解析】 【分析】（1）对立事件和相互独立事件性质，由求出结论；（2）依题意，随机变量的取值为0,1,2,3,4,5，利用独立事件的概率求，在根据求解；（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”， 则，，比较与的大小，可得出结论. 【详解】（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知，解得. （2）根据题意. ， . 因此. （3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”， 用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”， 则. . 故P(D)>P(C). 即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率. 【点睛】考点：对立事件和相互独立事件性质，随机变量的均值. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由已知条件得， 在点处的切线斜率为， 即， 【小问2详解】 的定义域为, ， 若，则，则在上单调递增； 若，由得，由得， 则单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 由得， 整理得， 当时，，即 令，则. 令，由（2）知，函数在上单调递增， 其中，， ∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即， ∴在上，在上， ∴在上，在上， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为， 又∵，∴，即， ∴，且为整数， ∴的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南执高级中学2025届高三上学期10月阶段测试 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，下列结论不正确的是 A. B. C. D. 7. 已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）． A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有种排法 B. 若，则 C. 4名学生选2个人参加某项活动，则共有种选法 D. 展开式中项的系数为 10. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 销售额（万元） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则为___________. 13. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为_______． 14. 已知等比数列的前项和为，且，，则________. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，已知 且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）若，，求的周长． 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）试求二面角的余弦值. 18. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 （1）求的值； （2）求随机变量的数学期望； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $