精品解析： 福建省厦门市松柏中学2024-2025学年九年级上学期数学月考试题

2024-2025学年上学期九年级数学练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 下列各式中，y是x的二次函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 已知x＝1是方程x2﹣m＝0的根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 4. 抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（ ） A. (0，﹣9) B. (﹣3，0) C. (﹣9，0) D. (3，0) 5. 下列对一元二次方程x2+x+3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 没有实数根 D. 有且只有一个实数根 6. 将抛物线y=﹣(x＋1)2＋3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为( ) A. y=﹣(x＋3)2＋1 B. y=﹣(x﹣1)2＋5 C. y=﹣(x＋1)2＋5 D. y=﹣(x＋3)2＋5 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数y=ax2+bx-c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点与点O的水平距离为 B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D. 小球与斜坡的距离的最大值为 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解是____________． 12. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 13. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 14. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 15. 已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是__________． 16. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，则a的取值范围为__________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 21. 如图，在五边形中，，，，． （1）将绕点A顺时针旋转得到，使与重合，请画出图形； （2）求证：． 22. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标． 23. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为． （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； （2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 24. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 25. 已知直线与抛物线相交于抛物线的顶点和另一点，点在第四象限． 若点，点的横坐标为，求点的坐标； 过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，直线与轴交于点，若，，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级数学练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列各式中，y是x的二次函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如的函数是二次函数逐一判断即可． 【详解】解：A. 当时，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不符合题意； C. 不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意； 故选：D． 3. 已知x＝1是方程x2﹣m＝0的根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据x＝1是方程x2﹣m＝0的根，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵x＝1是方程x2﹣m＝0的根， ∴1﹣m＝0， 解得，m＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 4. 抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（ ） A. (0，﹣9) B. (﹣3，0) C. (﹣9，0) D. (3，0) 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-9)． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢记“二次函数的顶点式为，的顶点坐标是(，) ”． 5. 下列对一元二次方程x2+x+3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 没有实数根 D. 有且只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=﹣11＜0，进而可得出方程x2+x+3=0没有实数根． 【详解】∵△=12﹣4×1×3=﹣11＜0， ∴方程x2+x+3=0没有实数根． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 6. 将抛物线y=﹣(x＋1)2＋3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为( ) A. y=﹣(x＋3)2＋1 B. y=﹣(x﹣1)2＋5 C. y=﹣(x＋1)2＋5 D. y=﹣(x＋3)2＋5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣(x＋1)2＋3的顶点坐标为(﹣1，3)，再利用点平移的规律，点(﹣1，3)平移后的对应点的坐标为(1，5)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=﹣(x＋1)2＋3的顶点坐标为(﹣1，3)，把点(﹣1，3)向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为(1，5)， 所以平移后的抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2＋5， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 8. 二次函数y=ax2+bx-c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、由抛物线知，a＞0，c＞0；由直线知a＞0，c＞0，故本选项正确； B、由抛物线知，a＜0，c＜0；由直线知a＜0，c＞0，故本选项错误； C、由抛物线知，a＜0，c＞0；由直线知a＞0，c＜0，a，c的值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线知，a＞0，c＞0；由直线知a＜0，c＞0，a的值矛盾，故本选项错误． 故选A． 9. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ） A. 小球落地点与点O的水平距离为 B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D. 小球与斜坡的距离的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴于C，交直线于，过点A作直线的垂线，垂足为D，则，表示出，再求出，即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：令，解得，， ∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意； 把代入得， 解得：，， ∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意； 设抛物线上一点的坐标为，作轴于C，交直线于，过点A作直线的垂线，垂足为D，则， ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴当有最大值时，也有最大值，最大值为， ∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意； 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把方程两边开方得到即可求解． 【详解】解：， 开方得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解． 12. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 13. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 【答案】m＞﹣1 【解析】 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 14. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 15. 已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求出二次函数的对称轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，然后分，，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，在时，y随着x的增大而增大， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得，不合题意舍去， 当时，在时， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， 此时符合题意； 当时，在时，y随着x的增大而减小， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得， 此时符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或 16. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，则a的取值范围为__________． 【答案】0＜a≤8，a=9 【解析】 【分析】由于方程x2-6x+a=0有两个实数根，所以△≥0，当△=0时可直接求出a的值，此时三角形是等边三角形； 当△＞0时可设两根为x1，x2（x1＜x2），由三角形的三边关系先判断出不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1，再根据根与系数的关系即可判断出a的取值范围． 【详解】∵方程x2-6x+a=0有实数根， ∴△=36-4a≥0， （1）当△=0时，即△=36-4a=0，解得a=9，此时三角形为等边三角形； （2）当△＞0，即△=36-4a＞0时，解得a＜9， 设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2， 由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2=6， ∴x1≤2， ∵x1+x2=6，x1•x2=a， ∴a=x1•（6-x1）， =6x1-（x1）2 =-（3-x1）2+9 ∴-（3-x1）2+9≤8， ∴当0＜a≤8，a=9时，三角形只有一个． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质以及根与系数的关系. 三、解答题（共86分） 17. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1）∵在方程中， △=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵该方程的两个实数根分别为、， ∴ ①、②． ∵③， ∴将①②代入③得，， 解得． 【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． 21. 如图，在五边形中，，，，． （1）将绕点A顺时针旋转得到，使与重合，请画出图形； （2）求证：． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 由旋转知，， ∵， ∴， ∴点F在的延长线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图及三角形全等．熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质，是解决问题的关键． （1）在的延长线上截取，连接，则满足条件； （2）由旋转性质证明，，点F在的延长线上，，推出 ，得到，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）（1+2，4）或（1﹣2，4），（1，﹣4）， 【解析】 【分析】（1）直接把A，C点代入进而求出函数解析式； （2）直接求出B点坐标进而利用函数图象得出答案； （3）分点P在x轴上方时，点P在x轴下方时两种情况，分别求解得出答案． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3， 则（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 故B（3，0）， 则不等式x2+bx+c＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3； （3）设P的纵坐标为|yP|， ∵S△PAB＝8， ∴AB•|yP|＝8， ∵AB＝3+1＝4， ∴|yP|＝4， ∴yP＝±4， 当点P在x轴上方时，∴yP＝4， 把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1±2， ∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）． 当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4， 把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1， ∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4）， 综上所述：P点坐标为：（1+2，4）或（1，﹣4）或（1﹣2，4）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，掌握三角形面积计算公式． 23. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》称为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为． （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； （2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为10m； （2） 解：不能，理由如下： 设AB的长为，则矩形的宽， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴此时养殖园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设的长为，根据篱笆的总长及的长，可得出的长，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，解之即可求出结论； （2）假设养殖园的面积能达到，设的长为，则的长为，利用矩形的面积公式，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到． 【小问1详解】 解：设的长为，则矩形的宽， 由题意得：， 解得．， 墙的最大可用长度为15米， ， ， 即的长为； 【小问2详解】 略 24. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 25. 已知直线与抛物线相交于抛物线的顶点和另一点，点在第四象限． 若点，点的横坐标为，求点的坐标； 过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，直线与轴交于点，若，，求的面积的取值范围． 【答案】点坐标为． ． 【解析】 【分析】(1)由P点横坐标可求解b值，将P点代入抛物线可求解c值，从而求解Q点坐标； (2)代入x=及可求解出,由题意可知△QEP为直角等腰三角形，则M点坐标可表示为(0，-2)，再利用M和P点坐标求解出直线解析式后联立二次函数解得，运用三角形面积公式可列出表达式进行求解. 【详解】由题意：， ∴，∴抛物线为，将代入得到，， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵点横坐标为， ∴点坐标为． 代入x=及，则y=，则， ∵△QEP为直角等腰三角形， ∴yM+2=-， ∴M点坐标为(0，-2)， 代入P和M点坐标，求解直线解析式： 解得， ∴直线为， 由解得和， ∴点坐标， ∴， ∵，时，， 根据函数的增减性可知，． 【点睛】本题为一次函数和二次函数的综合题型，有些难度. 第1页/共1页 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