浙江八年级上学期期中押题卷（浙教版八上1～3章）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学八年级上册1-3章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如果等腰三角形的两边长分别是3和6，那么它的周长为（   ） A．9 B．9或12 C．15 D．12或15 3．已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 5．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 8．如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒个单位长度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，与全等，此时点的运动速度为每秒（　　）个单位长度． A． B． C．或 D．或 9．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 10．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（   ） 若，则； ；； ； A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 12．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 13．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只 14．如图，在中，点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 ． 15．如图，在中，，高，交于点H．若，，则 ． 16．如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是 （填正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 18．（本题满分8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 19．（本题满分8分）如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 20．（本题满分8分）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 21．（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．（本题满分10分）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 23．（本题满分10分）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表： 最大装载量（吨） A型货车 B型货车 甲种货物 7 5 乙种货物 3 7 (1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案. (2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元? (3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________. 24．（本题满分12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学八年级上册1-3章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 2．如果等腰三角形的两边长分别是3和6，那么它的周长为（   ） A．9 B．9或12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，根据三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键． 分腰为3和腰为6两种情况求解，再根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，最后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当腰为3时，， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故选：C． 3．已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．根据绝对值的定义，由知，据此得，再由知，继而根据且无论还是，都有，，进而得出结果． 【详解】解：， ； ， 由知， 因为， ，， ， ， 而且， ， ， 故选：A． 4．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 5．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键． 设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ，得 又∵为整数， ∴，， 故购买方案有3种． 故选：． 6．如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记这些性质是解题的关键．根据三角形内角和可得，进而得出，得到，中，由，可求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图-中垂线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．根据题中尺规作图可知是线段的中垂线，从而，则的周长为即可得到答案． 【详解】解：在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接， 是线段的中垂线， ， ， ，， 的周长为． 故选：C． 8．如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒个单位长度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，与全等，此时点的运动速度为每秒（　　）个单位长度． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，设当与全等时，点运动了秒，则，，又由，点为的中点，可得，，然后分和两种情况，根据全等三角形的性质得出一元一次方程解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设当与全等时，点运动了秒，则，， ∵，点为的中点， ∴，， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为单位长度秒； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为单位长度秒； 综上，当与全等时，点的运动速度为每秒个单位长度或个单位长度， 故选：． 9．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 10．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（   ） 若，则； ；； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故正确；同理可求，由直角三角形的性质可得，故正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，故正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ，故正确； ， ， 平分，平分， ，， ，， ， ，故正确； 如图，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，故错误； 如图，在上截取，连接， ，，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，故正确； 如图，过点N作于P，于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得a的范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 12．给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了组成三角形的条件，①满足三角形三边关系，据此可判断是否符合题意；可设三边长度为、、其中，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断、，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：因为，，能够组成三角形； ②设三边长度为、、其中，，能组成三角形； ③，不能组成三角形； ④，能组成三角形． 故答案为：． 13．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只 【答案】83 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用．解题的关键是熟练掌握不等关系列出不等式组． 设该村共有x户，则母羊共有只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”得，解得：， ，即可计算批种羊共有只数． 【详解】设该村共有x户，则母羊共有只， 由题意知， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴． ∴这批种羊共有83只． 故答案为：83． 14．如图，在中，点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形外角的性质、邻补角等知识，由三角形外角性质得到，由邻补角得到，由折叠得到，利用角的差即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据翻折的性质得， ∴． 故答案为： 15．如图，在中，，高，交于点H．若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案．解决本题的根据是证明． 【详解】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 16．如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是 （填正确结论的序号）． 【答案】 【分析】根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可判断⑤正确；若，即，得到，根据得到，根据角的和差即可得到，证得，但无法证明平分，即可判断结论④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 在上截取， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 若，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 但无法证明平分， 故结论④错误． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2），． 【分析】本题考查了求解不等式（组）及在数轴上表示，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）先移项，合并同类项，即可得不等式的解集，再在数轴上表示即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：（1） 解得：； 将不等式的解集表示在数轴上如下： ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为． 18．（本题满分8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点P，使的周长最小． (3)的面积是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小，即可得的周长最小． （3）利用割补法求三角形的面积即可； 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求 （3）解：的面积为． 19．（本题满分8分）如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． （1）先证明，再根据全等三角形的判定即可判断； （2）证明，由（1）可知： ， ，根据平角的定义可得． 【详解】（1）证明：∵和相交于点， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．（本题满分8分）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 21．（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 22．（本题满分10分）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）连接，证明垂直平分，得到，证明，得到，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用等角对等边，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键． 23．（本题满分10分）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表： 最大装载量（吨） A型货车 B型货车 甲种货物 7 5 乙种货物 3 7 (1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案. (2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元? (3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________. 【答案】(1)三种方案 (2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为（元） (3)40  45 【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，列出不等式组，求整数解即可； （2）根据三种方案判断即可； （3）根据二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆， ， 解得：， 因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案． （2）使用A种货车费用600元，B种货车800元，， 在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用， 即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省， 费用为：（元）； （3）在（2）的方案下，由题意得： ， ， ， ， 解得：， 经验算，只有当时，m=为整数，其余n的取值不符合要求， 此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题． 24．（本题满分12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$