精品解析：广西南宁市良庆区琼林学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

琼林高级中学2024年秋季学期高二年级10月考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：A 2. 已知直线的方程是，则（ ） A. 直线经过定点 B. 直线经过定点 C. 直线经过定点 D. 直线经过定点 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程，即可得到答案. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点. 故选：D 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 4. 如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，，则点的空间直角坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出的坐标，再结合，可得，从而求解即可. 【详解】由题意，，， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 6. 若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　) A. －4 B. －6 C. －8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由l∥α，可得•=0，即可得出m的值． 【详解】∵l∥α，∴•=2+m+2=0． ∴m=﹣8． 故选C． 【点睛】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线：，：，：，且，，则（ ） A. B. C. ，之间的距离为 D. ，的交点坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过直线的位置关系列方程求解即可判断AB，代入两平行直线距离计算公式判断C，联立直线方程求得交点坐标判断D. 【详解】由及得，解得，故选项A错误，B正确； 则：，：，又：即， 所以，之间的距离为.故选项C正确； 由得，所以，的交点坐标为，故选项D正确. 故选：BCD 10. 已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和共线向量坐标关系、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于选项A，结合题意可得， 因为，所以，故选项A正确； 对于选项B， 结合题意可得，故选项B错误； 对于选项C，结合题意可得，，不共线，故选项C错误； 对于选项D，结合题意可得， 设平面的法向量为，则，， 令，则，所以点到平面的距离为，故选项D正确. 故选：AD. 11. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线：，：，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；根据两直线平行的结论求解即可判断D. 【详解】对于A，直线，令，则， 所以直线在轴上的截距是，故A错误； 对于B，由，解得，即， 则，解得，故B正确； 对于C，依题意，的最小值即为原点到直线的距离， 所以，故C正确； 对于D，由，则，解得或2， 当时，：，：，符合题意， 当时，直线重合， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，，则向量与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据求得，利用夹角公式求得向量与的夹角. 【详解】解：依题意，所以， 所以，由于，所以向量与的夹角为. 故答案为： . 13. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 14. 如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可. 【详解】如图 设， 设平面的一个法向量为 令，，则 平面的法向量的一个法向量为 设平面与底面所成的锐二面角为 所以 当时，有最大，则有最小，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）计算和； （2）求. 【答案】（1）， ；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值； （2）计算出，结合的取值范围可求得结果. 【详解】（1），； （2）， ，因此，. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知点. （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）求过点A且与垂直的直线方程； （3）若中点为，求过点A与的直线方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的斜率，利用点斜式求直线即可； （2）求出与垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可； （3）利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴过点A且与平行的直线方程为，即； 【小问2详解】 解：过点A且与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即； 【小问3详解】 解：中点， ∴过点A与的直线方程，即. 17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求： （1）平面与平面所成的二面角的正弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可； （2）直接用空间向量法求点到面的距离. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，，，， 设平面的法向量，则，令，则， 所以． 取平面的法向量为，， 所以， 即平面与平面所成的二面角的正弦值． 【小问2详解】 ，平面的法向量为， 点到平面的距离. 18. 已知的顶点所在直线方程为，角平分线所在直线的方程为，求 （1）点的坐标； （2）求直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程即可求解交点坐标， （2）根据点关于线的对称，求解关于直线的对称点为，即可由两点求解直线方程. 【小问1详解】 联立两直线方程，所以 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 由于是角的角平分线，故在直线上， 故直线方程为，即 19. 如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． （1）证明：平面ACD； （2）若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题意可知：，且，平面， 所以平面ACD. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，可得，结合（1）分析可知锐二面角平面角为，运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，连接，即， 因为平面ACD，平面ACD，则， 且，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且，可得， 由（1）可知：，则锐二面角平面角为， 且∥，可知， 可得， 所以锐二面角平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼林高级中学2024年秋季学期高二年级10月考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 2. 已知直线的方程是，则（ ） A. 直线经过定点 B. 直线经过定点 C. 直线经过定点 D. 直线经过定点 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，，则点的空间直角坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为(　　) A. －4 B. －6 C. －8 D. 8 7. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 5 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线：，：，：，且，，则（ ） A. B. C. ，之间的距离为 D. ，的交点坐标为 10. 已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 11. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线：，：，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，，则向量与的夹角为__________． 13. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 14. 如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）计算和； （2）求. 16. 已知点. （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）求过点A且与垂直的直线方程； （3）若中点为，求过点A与的直线方程. 17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求： （1）平面与平面所成的二面角的正弦值； （2）点到平面的距离． 18. 已知的顶点所在直线方程为，角平分线所在直线的方程为，求 （1）点的坐标； （2）求直线方程. 19. 如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥． （1）证明：平面ACD； （2）若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $