精品解析：福建省泉州市永春第二中学2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试卷

2024秋永春第二中学七年级第一次月考数学试卷（10月） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 我国是最早使用负数的国家，如果盈利20元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A. 元 B. 30元 C. 50元 D. 元 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数：， ， ， ﹣2，  ， ， 其中正有理数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列数轴画法正确的是（　　） A. B. C D. 5. 用四舍五入法将3.1416精确到0.01后得到的近似数为（ ） A. 3.1 B. 3.14 C. 3 D. 3.142 6. 有理数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图,数轴上的两个点A. B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是( ) A. b<−a<−b<a B. a<−b<b<−a C. b<−a<a<−b D. b<−b<−a<a 8. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. 3或 C. 或 D. 3或 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数不是正数就是负数 B. 一定是正数 C. 如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个是正数 D. 两个数的差一定小于被减数 10. 如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 化简：______． 12. 比较大小：_____． 13. 把写成省略括号和加号的形式是______ 14. 计算：__________． 15. 是不为的有理数，我们把称为的和倒数．如：的和倒数为，已知，是的和倒数，是的和倒数，是的和倒数，，以此类推，则__________． 16. 在数轴上，有理数a、b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算： ． 18. 把下列各数分类 ，，，，，，，， （1）正整数：______ （2）负整数：______ （3）整数：______ （4）分数：______． 19. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”号连接起来． ，，，，． 20. ． 21. 某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． （1）该司机将最后一名乘客送到目地时，距下午出发点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 22. 已知，互为相反数，，互为倒数，且，求的值． 23. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数，，满足，求的值； （2）若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 24. 我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： （1）表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以         ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以         ． （2）数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为          ． （3）可理解为与          两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则          ． （4）当式子取最小值时，求出的值． （5）的最小值是多少？ （6）最小值为          ，此时的取值范围是          ． 25. 如图：在数轴上A点表示数，B点示数，C点表示数，是最小的正整数，且、满足． （1）=__________，=__________，=__________； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数__________表示的点重合； （3）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度速度在数轴上同时向左运动，假设秒钟过后，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点，求的值； （4）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度速度在数轴上同时向左运动时，小聪同学发现：当点C在B点右侧时，BC+3AB的值是个定值，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋永春第二中学七年级第一次月考数学试卷（10月） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 我国是最早使用负数的国家，如果盈利20元记作“元”，那么亏损30元记作（ ） A. 元 B. 30元 C. 50元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反意义的量和正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：∵盈利20元记作“元”， ∴亏损30元记作“元”， 故选：A 【点睛】此题考查了相反意义的量和正负数的意义，读懂题意是解题的关键． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是是解题的关键． 根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数是， 故选：． 3. 下列各数：， ， ， ﹣2，  ， ， 其中正有理数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的分类判断即可得出答案． 【详解】解：下列各数：， ， ， ﹣2，  ， ，  其中正有理数有：， ， ，共3个 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的分类，有理数可以分为正有理数，零和负有理数，注意：零既不是正数也不是负数． 4. 下列数轴画法正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴的定义逐一判断解答． 【详解】解：A、原点、方向、单位长度三者都具备，且数字标注正确，正确； B、原点、方向、单位长度三者都具备，但是数字标注不正确，-1应该在-2右边，错误； C、没有原点，只有方向和单位长度，错误； D、原点、方向具备，但是单位长度不一致，错误； 故选A ． 【点睛】本题考查数轴的定义，熟练掌握数轴的画法和三要素是解题关键． 5. 用四舍五入法将3.1416精确到0.01后得到的近似数为（ ） A. 3.1 B. 3.14 C. 3 D. 3.142 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此作答即可． 【详解】3.1416精确到0.01为3.14． 故选：B． 6. 有理数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 7. 如图,数轴上的两个点A. B所表示的数分别为a、b,那么a,b,−a,−b的大小关系是( ) A. b<−a<−b<a B. a<−b<b<−a C. b<−a<a<−b D. b<−b<−a<a 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的意义，把-a、-b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系 【详解】根据相反数的意义，把−a、−b表示在数轴上， 所以a<−b<b<−a. 故选B. 【点睛】本题考查数轴和有理数大小比较，解题的关键是掌握数轴和有理数大小比较. 8. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. 3或 C. 或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，，可求得，，再由，可求得a、b的值，据此即可解答． 【详解】解：，， ，， ， ， ，，则， 或，，则． 故的值为 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一个数的绝对值求这个数，代数式求值问题，求得a、b的值是解决本题的关键． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数不是正数就是负数 B. 一定是正数 C. 如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个是正数 D. 两个数的差一定小于被减数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的加减计算， 绝对值的意义，有理数分为正数，0和负数，即可判定A；当时，不是正数，即可判断B；根据有理数的加减计算法则即可判断CD． 【详解】解：A、一个有理数不是正数就是负数或者0，原说法错误，不符合题意； B、当时，不是正数，原说法错误，不符合题意； C、如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个是正数，原说法正确，符合题意； D、两个数的差不一定小于被减数，例如有一个减数为0时，那么被减数等于差，原说法错误，不符合题意； 故选C． 10. 如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键．由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为22，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数为：； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为：； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为：； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为：； …； 以此类推： 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， ∴点与原点的距离不小于20时，n的最小值是14． 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义． 12. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握有理数比较大小的方法．先将两个分数通分，再根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”，即可求解． 【详解】解：，， ，即， 故答案为：． 13. 把写成省略括号和加号的形式是______ 【答案】 【解析】 【分析】将减法统一成加法，然后再写成省略加号的形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 14. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，把算式中的相邻两个数绑定一起做加法的结果为，一共可以绑定500组，据此可得答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15. 是不为的有理数，我们把称为的和倒数．如：的和倒数为，已知，是的和倒数，是的和倒数，是的和倒数，，以此类推，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新型定义计算，读懂题意，分别计算出每个数是解题的关键．根据定义，计算出、、，…，找出规律然后计算即可． 【详解】解：根据题意，，，，， ，根据规律可得，，，，， ∴． 故答案为：． 16. 在数轴上，有理数a、b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴表示数的方法以及两点距离．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，且距离原点比较近，，且距离原点比较远， ∴中点所表示的数在原点的左侧， ∴，故①正确； 由数轴所表示的数得，可能大于0，也可能小于0，符号不确定，故②不正确； ∵， ∴a表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为，，故③正确； ， ∵在原点的右侧，而b在右侧， ∴表示数的点到a表示数的点距离为， ∵a到b的距离为， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算： ． 【答案】-4. 【解析】 【分析】先合并同类项，再进行加减法运算. 【详解】解：原式 =-7+3 ． 【点睛】此题重点考查学生对有理数加减法的应用，熟练加减法运算法则是解题的关键. 18. 把下列各数分类 ，，，，，，，， （1）正整数：______ （2）负整数：______ （3）整数：______ （4）分数：______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数分为整数和分数，大于0的整数为正整数，小于0的整数为负整数，逐一进行作答即可． 【小问1详解】 解：正整数：． 【小问2详解】 负整数：． 【小问3详解】 整数：． 【小问4详解】 分数：． 19. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”号连接起来． ，，，，． 【答案】数轴见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 用“”号连接起来：． 20. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含乘方有理数混合运算，先计算乘方，绝对值，再把除法转化成乘法，最后根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 21. 某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． （1）该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）该司机距下午出发点的距离是千米 （2）公升 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算；理解用代数求和还是绝对值求和是解题关键． （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据行车就耗油，可得耗油量． 【小问1详解】 解：（千米）， 该司机距下午出发点的距离是千米； 【小问2详解】 （升）， 这天下午汽车共耗油公升． 22. 已知，互为相反数，，互为倒数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数定义，倒数定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握相关性质和定义．先根据，互为相反数，，互为倒数，且，得出，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，且，  ∴，，，， ∴， ∴ ． 23. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数，，满足，求的值； （2）若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． 【小问2详解】 解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 24. 我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： （1）表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以         ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以         ． （2）数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为          ． （3）可理解为与          两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则          ． （4）当式子取最小值时，求出的值． （5）的最小值是多少？ （6）的最小值为          ，此时的取值范围是          ． 【答案】（1）； （2） （3）；或 （4） （5） （6）； 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义计算即可； （2）根据题意得到，，再利用绝对值意义求解即可； （3）根据所表示的意义，分情况进行解答即可； （4）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的意义，可知当表示的数为三个数的中间那个数时的值最小，得出此时； （5）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的意义，结合解析（4）的结论可求的最小值； （6）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的意义，结合解析（4）的结论，得出当时，取最小值． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值总是一个固定的值为4． 【小问3详解】 解：可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 表示数轴上表示数x与表示数3，距离之和， ∴根据解析（2）可得：当时，， ∴或， ①当时，，即，解得； ②时，，即，解得， 综上分析可知，x的值为：或4； 【小问4详解】 解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上，2，3，三个数的距离之和， ∴当时，有最小值． 【小问5详解】 解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，4，5，五个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． 【小问6详解】 解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，……，100，共100个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数混合运算，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法． 25. 如图：在数轴上A点表示数，B点示数，C点表示数，是最小的正整数，且、满足． （1）=__________，=__________，=__________； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数__________表示的点重合； （3）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度速度在数轴上同时向左运动，假设秒钟过后，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点，求的值； （4）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，小聪同学发现：当点C在B点右侧时，BC+3AB的值是个定值，求此时的值． 【答案】（1）−3，1，9；（2）5；（3）4或1或16；（4）=1． 【解析】 【分析】（1）利用|a＋3|＋（c−9）2＝0，得a＋3＝0，c−9＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）①B为中点时AB＝BC，②A为中点时AB＝AC，③C为中点时，BC＝CA； （4）m•BC＋3AB的值是个定值，可见它们之间的距离和与t无关，即含t的式子的系数和为0． 【详解】（1）∵|a＋3|＋（c−9）2＝0， ∴a＋3＝0，c−9＝0， 解得a＝−3，c＝9， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1； 故答案为：−3，1，9． （2）点A与点C的中点对应的数为：＝3， 点B到3的距离为2，所以与点B重合的数是：3＋2＝5． 故答案为：5． （2）t秒后，点A、B、C的表示的数分别为：−3−2t，1−t，9−4t， 由中点公式得：AB、AC、BC的中点分别为：，，， 由题意得：＝9−4t，则t＝4， ＝1−t，则t＝1， ＝−3−2t，则t＝16， 故：t的值为4或1或16； （3）m•BC＋3AB＝m（9−4t−1＋t）＋3（1−t＋3＋2t） ＝8m＋12＋3t（1−m）， 故：当m＝1时，m•BC＋3AB为定值20． 【点晴】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$