精品解析：河南省开封市金科新未来2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试 金科·新未来10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合在集合A中的补集是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 在有意义的前提下，下列各项与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 7. 在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则． C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 若，，则 10. 设奇函数与其导函数的定义域均为R，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的周期为4 D. 11. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知α是第二象限角，且，则=______． 13. 已知函数，对任意的，且，都有，则实数a的取值范围为______． 14. 已知定义在R上的可导函数满足：．当时，，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域． 16. 已知集合，集合， （1）若集合，求实数a的值； （2）若集合，求实数a的取值范围. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求C的值； （2）若内有一点P，满足，，求面积的最小值． 18. 已知． （1）若在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知数列（正整数且为常数）的各项均为正整数，设集合，记中的元素个数为. （1）若数列求集合及的值； （2）若数列为等差数列，求的值； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试 金科·新未来10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合在集合A中的补集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得和，结合集合交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 又由不等式，解得，即， 则， 所以集合在集合A中的补集是. 故选：C. 2. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部定义求解. 【详解】由可得， 所以,的故虚部为. 故选：A 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，采用中间值比大小. 【详解】因为函数是减函数，是增函数， 所以，，， 所以. 故选：B. 4. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把平方转化为数量积运算，结合二次函数知识得最小值． 【详解】设，又， 所以， 所以当时，， 故选：D． 5. 在有意义的前提下，下列各项与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式和商数关系判断． 【详解】 故选：D． 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 7. 在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为， 设，，根据，求得，进而得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 8. 已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，方程转化为，结合单调性得，然后分离参数，利用导数求得最大值． 【详解】令，则是上的单调增函数， 原方程整理得，即， 若，则，若，则都不成立， 所以， 所以在上有解，整理得， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，即的最大值是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求最值，解题关键是引入函数，方程变形为，利用函数的单调性方程化简为，这样分离参数后利用导数求得最大值即可． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则． C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，根据充分不必要条件的定义即可求解C，利用作差法，结合不等式的性质即可求解D. 【详解】对于A，由于，，则，故，A正确， 对于B，由于，则，，故B错误， 对于C，由于“”是“”的充分不必要条件， 故“”的一个充分不必要条件是“”，C错误， 对于D，，因为，，所以， 但无法判断真假，所以大小无法确定，故D错误． 故选：BCD． 10. 设奇函数与其导函数的定义域均为R，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的周期为4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数得，求导后判断A，用反证法说明B错误，利用成中心对称，又是偶函数，确定函数的周期，判断C，用赋值法求得，再由周期求得判断D． 【详解】是R上的奇函数，因此， 求导得，即，A正确； 由的图象关于点成中心对称，得，B错； 的图象关于点成中心对称，则， 所以， 又，所以，于是有， 所以，所以是周期函数，4是它的一个周期，C正确； 在中，令得，， 又是周期为4的周期函数，所以，D正确， 故选：ACD． 11. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】延长至，使得，利用相似三角形证明出，由此判断A，同时利用它求得角的范围判断B，再代入选项C中三角式变形后求范围判断C，把与已知结合得，利用正弦定理转化后代入求解判断D． 【详解】选项A，如图，延长至，使得， 由已知得，即， 所以，又角公用，所以， 所以，又，则，而， 所以，即中，，A正确； 选项B，，，又，则，， 所以，B错； 选项C, , 由选项C知，，，由对勾函数的单调性得， 所以，即，C错； 选项D，若，又，则，所以， 由正弦定理得，又， 所以，所以，D正确， 故选：AD． 【点睛】方法点睛：中边长满足关系时，通常如选项A中推理作辅助线，利用相似三角形证得，实际上这也是圆中切割线定理的应用，是切割线定理的结论，由此反用可得相应结论． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知α是第二象限角，且，则=______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及平方关系进行求解． 【详解】是第二象限角，则，，又， 所以， 所以． 故答案为：． 13. 已知函数，对任意的，且，都有，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将式子变形处理得函数的单调性，再由分段函数单调性建立的不等式，求解可得. 【详解】由得，， 则当时，；当时，. 所以是上的增函数. 由分段函数是增函数， 则，解得. 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知定义在R上的可导函数满足：．当时，，则不等式的解集为______． 【答案】或， 【解析】 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，由函数单调性可得到，解得即可． 【详解】令， 由于，故． 即，为偶函数． 时，故，在,递增， 不等式的解集． 或, 故不等式的解集为或， 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像可知，，即可得，代入点可得，即可得函数解析式； （2）利用代入法可得值域. 【小问1详解】 由函数图像可知，， 即，可知， 又，则， 所以， 又函数过点， 即， 解得，， 又，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 又，， 所以， 即. 16. 已知集合，集合， （1）若集合，求实数a的值； （2）若集合，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由对数中二次三项式的判别式不小于0可得； （2）确定集合，由二次函数和对数函数性质确定集合，再根据子集的概念列不等式求解. 【小问1详解】 由题意的最小值不大于0， 所以，解得； 【小问2详解】 或，即， ，， 时，， 因为，所以，解得或. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求C的值； （2）若内有一点P，满足，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边转化为角，得，再利用辅助角公式及诱导公式化成同名函数，即可求出结果； （2）法一：由余弦定理找到边之间得关系，再利用勾股定理找到等量关系，然后构造不等式求解，即可得出结果； 法二：设，利用余弦定理和勾股定理并结合面积法、基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，，所以，即， 所以，即， 又因为是三角形得内角，显然，所以， 即，所以. 【小问2详解】 法一：由（1）得：，设， 在中，由余弦定理得，， 同理在中有：， ， 又因为是直角三角形，所以， 所以，即， 所以，因为，所以，即，所以 ， ， ， ， 当且仅当，即时取等号. 的面积的最小值为． 法二：在中，设， 由余弦定理可得，. 由勾股定理可得:，即. 而. 由基本不等式，所以，可解得(由上)， 当且仅当时等号成立， 所以面积最小值为. 18. 已知． （1）若在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定的切线方程求出. （2）把代入，分离参数得恒成立，构造函数并利用导数探讨最小值即可. 【小问1详解】 由及，得，即， 由，求导得，又， 于是，且，解得， 所以实数a，b的值分别为. 【小问2详解】 当时，，， 由恒成立，得，令， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，因此， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，得，则， 因此，，从而， 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知数列（正整数且为常数）的各项均为正整数，设集合，记中的元素个数为. （1）若数列求集合及的值； （2）若数列为等差数列，求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1）5 （2） ①当时，，可得，可得， ②当时，，则； （3） 【解析】 【分析】（1）数列中后面的项减去前面的项，注意集合中重复元素只取一个，即可得出结果. （2）按照等差数列公差是否为0讨论，求解 （3）最大即数列各项差均不相同，此时只需要任取两项即可得到一个元素，用组合数即可得出结果. 【小问1详解】 由题意得：，，，，， ∴，∴ 【小问2详解】 若为等差数列，设的公差为， 当时，， ①当时，，可得，可得， ②当时，，则； 【小问3详解】 要想最大，则数列任意两项间的差各不相同， 设数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 故，故，故由得到的彼此相异， 又由在数列中任意取两个数有种取法， 可得集合中最多有个元素，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $