精品解析：湖南省岳阳市临湘市第六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年临湘六中九年级月考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）． 1. 下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项，判断是否符合该形式． 【详解】A. ：形如（），是正比例函数，不符合反比例函数定义； B. ：形如（，），是一次函数，不符合反比例函数定义； C. ：形如（），是二次函数，不符合反比例函数定义； D. ：形如（），符合反比例函数定义， 故选：D． 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象是中心对称图形 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误； B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误； C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确； D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 4. 已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 5. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是(　　) A. B. C. 或 D. 或或 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长． 【详解】解：， ， ，， ，， 有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理， ②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式．此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可． 【详解】解：，，三点都在函数的图象上， ，，． ． 故选：B． 7. 据零陵区文化旅游体育局统计，2019年十一黄金周期间， 零陵古城旅游收入约为3.298亿元，而2021年十一黄金周期间，零陵古城旅游收入约为5. 27亿元，假设这两年零陵古城旅游收入的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ） A. 3.298（1+2x） =5.27 B. 3.298（1+）=5.27 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这两年零陵古城旅游收入的平均增长率为x，根据两年期间从3.298亿元增加到5. 27亿元，列方程即可 【详解】设这两年零陵古城旅游收入的平均增长率为x， 由题意得： 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系列方程． 8. 正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象为（ ） A. B.     C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为的符号不明确，所以应分两种情况讨论． 【详解】解：当＞0时，函数与同在一、三象限， 则B选项符合； 当k＜0时，函数与同在二、四象限，无此选项． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键是要熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，并灵活运用． 9. 对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 故选：A． 【点睛】本题是一道基于一元二次方程的新定义题，主要考查一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项，利用直接开平方法可得答案． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：． 12. 已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 13. 若是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2022． 14. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，难度一般，理解题意列出方程是关键． 设小道的宽为米，把白色部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为800列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米，把白色部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， 根据题意得，， 故答案为：． 15. 如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键． 当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得：当时，则的取值范围是：或， 故答案为：或． 16. 反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考常考题型．利用反比例函数的几何意义解决问题即可． 【详解】解：四边形是矩形， 由题意，矩形的面积， ， 反比例函数图像在第二象限， ， 故答案为：． 17. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，即y＝，其中k≠0．已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则400度近视眼镜的镜片焦距为________m． 【答案】0.25## 【解析】 【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．令y=400，求得x的值即可． 【详解】解：由题意设y=， 由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100， ∴y=． 故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y=， 当y=400时，y==400， 解得：x=0.25． 故答案为0.25． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 18. 《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步?设矩形的宽为步，由题意，可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）将原方程变形为，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （2）， ，，， ， ， ，， 原一元二次方程的解为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法，准确进行计算是解此题的关键． 20. 若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值．再将通分，然后把和的值代入其中即可求出代数式的值． （2）将写成，然后把和的值代入其中即可求出代数式的值． 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根为和，则，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：，是方程的两个根， ，． ； 【小问2详解】 ． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ， ， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，则， ∵， ∴ 解得：， 点的坐标为或． 23. 国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； （2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 【答案】（1） （2）这次消毒很彻底 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质． （1）设双曲线的解析式为，将代入求得，再求出，设线段的函数解析式为，将，代入计算即可； （2）将分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 将代入解析式得，， 药物在燃烧释放过程中，双曲线的函数解析式为， 将代入解析式得，， 解得， 故， 设线段的函数解析式为， 将代入可得：， 解得：， 药物在燃烧释放过程中，线段的函数解析式为， 综上，； 【小问2详解】 解：将代入中，可得：，解得：， 将代入中，，解得：， ∴空气中每立方米的含药量不低于4毫克的时间为， 这次消毒很彻底． 24. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）； （2）每件商品降价10元或25时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】（1）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 ∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元． 故答案为：；． 【小问2详解】 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 答：每件商品降价10元或25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）方程①；②；③，这几个方程中，是倍根方程的是__________（填序号即可）： （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若一元二次方程是倍根方程，请直接写出，，的等量关系． 【答案】（1）② （2）26或5； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的关系是解题关键． （1）将题干中的一元二次方程求解，然后看是否符合题意即可； （2）根据题意得出或，然后分情况代入求解即可； （3）设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得出，，即可得出结果； 【小问1详解】 解：①， ， 解得，不是倍根方程； ②， 解得，是倍根方程； ③， 解得，不是倍根方程； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：， 或， 解得， 是“倍根方程”， 或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 解：一元二次方程是倍根方程， 设方程的两根分别为，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ． 26. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （3）我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2）点坐标为 （3）存在两个点，坐标为或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，①当时，求出点坐标，②当时，过点作，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在直线图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点或， 综上，点的坐标为：． 【小问3详解】 解：如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ①当时， 在和中， ， ， ，， ， 设直线解析式为，将代入得，解得， 直线解析式为， 联立方程组，解得， ， ②当时，过点作， 直线的，设直线解析式为， 将点坐标代入得：，解得， 直线解析式为， 联立方程组得： ，解得， ． 综上所述，存在两个点，坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年临湘六中九年级月考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）． 1. 下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象是中心对称图形 D. 当时，随的增大而增大 4. 已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是(　　) A. B. C. 或 D. 或或 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 据零陵区文化旅游体育局统计，2019年十一黄金周期间， 零陵古城旅游收入约为3.298亿元，而2021年十一黄金周期间，零陵古城旅游收入约为5. 27亿元，假设这两年零陵古城旅游收入的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ） A. 3.298（1+2x） =5.27 B. 3.298（1+）=5.27 C. D. 8. 正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象为（ ） A. B.     C. D. 9. 对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A. ， B. C. ， D. ， 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 11. 若，则__________． 12. 已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 13. 若是方程的一个根，则的值为________． 14. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为________． 15. 如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是__________． 16. 反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为_____． 17. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，即y＝，其中k≠0．已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则400度近视眼镜的镜片焦距为________m． 18. 《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步?设矩形的宽为步，由题意，可列方程为____________． 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. （1）； （2）． 20. 若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2） 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 23. 国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； （2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 24. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）方程①；②；③，这几个方程中，是倍根方程的是__________（填序号即可）： （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若一元二次方程是倍根方程，请直接写出，，的等量关系． 26. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； （3）我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $