精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

上海市建平中学2024学年第一学期 第一次阶段学习评估（高二数学） 说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范汉字书写． 一、填空题：（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 圆在点处的切线方程为______. 2. 抛物线的焦点坐标是______. 3. 已知函数的定义域是，则的取值范围为______． 4. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 5. 双曲线的焦距是，则实数的值为______． 6. 设集合，是双曲线，则______． 7. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为______． 8. 设P是椭圆第一象限部分上一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______. 9. 若直线ax+y+b﹣1＝0（a＞0，b＞0）过抛物线y2＝4x的焦点F，则的最小值是_____． 10. 已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______． 11. 坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是______． 12. 已知函数，其中，的最大值为，则的最小值为______． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 方程的两个根可分别作为（ ） A. 椭圆和双曲线的离心率 B. 两双曲线的离心率 C. 两椭圆的离心率 D. 以上皆错 14. “”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ） A 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 非充分非必要条件． 15. 已知方程的根大于，则实数满足（ ） A. B. C. D. 16. 设曲线E的方程为1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ） A. ①错，②对 B. ①对，②错 C. ①②都错 D. ①②都对 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知是方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的最小值． 18. 已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． （1）若和都成立，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 19. 如图1，某十字路口花圃中央有一个底面半径为2的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5，仪器的移动速度为1.若仪器Р与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中. （1）如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器Р在点A处，仪器Q在BC上距离C点4处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由； （2）如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？ 20. 如图所示，已知动直线交圆于坐标原点O和点A，交直线于点B，若动点M满足，动点M的轨迹C的方程为． （1）试用k表示点A、点B的坐标； （2）求动点M的轨迹方程； （3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） ①对称性； ②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）； ③图形范围； ④渐近线； ⑤对方程，当时，函数的单调性． 21. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点. （1）求椭圆方程； （2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）椭圆内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平中学2024学年第一学期 第一次阶段学习评估（高二数学） 说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范汉字书写． 一、填空题：（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 2. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 3. 已知函数的定义域是，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立，对参数的取值范围分类讨论，分别求出对应的范围，进而得出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以对恒成立， 当时，，符合题意； 当时，由，解得； 当时，显然不恒大于或等于0． 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 4. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出． 【详解】因为， 所以. 故答案为：4 【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键． 5. 双曲线的焦距是，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案. 【详解】若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 故答案为：或 6. 设集合，是双曲线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，由交集的定义求解即可. 【详解】， 若表示双曲线，则，解得：， 所以，所以. 故答案为： 7. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为______． 【答案】3 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质可得，再判断点在渐近线，将点坐标代入渐近线方程化简可求出离心率. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为四边形为平行四边形，所以与互相平分， 因为的中点坐标为，所以的中点坐标为， 因为，所以点， 因为，所以点在渐近线上， 所以，化简得， 所以离心率 故答案为：3 8. 设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 9. 若直线ax+y+b﹣1＝0（a＞0，b＞0）过抛物线y2＝4x的焦点F，则的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线，可得焦点，代入直线方程可得 ，再利用“乘法”与基本不等式即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点， 代入直线方程可得： 又 当且仅当时取等号. 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及基本不等式求最值，需掌握抛物线的性质，属于基础题. 10. 已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴， 设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1， 设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离， 即，得或（舍），所以切线方程为， 联立，得，，得或（舍）， 所以抛物线方程为. 故答案为： 11. 坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12. 已知函数，其中，的最大值为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】考虑，1，0的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】函数，当时，的最大值为， 可得，，， 可得,,， ， 即，即有，则的最小值为， 当且仅当取等号， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 方程的两个根可分别作为（ ） A. 椭圆和双曲线的离心率 B. 两双曲线的离心率 C. 两椭圆的离心率 D. 以上皆错 【答案】A 【解析】 【分析】求出方程的根，根据椭圆和双曲线的离心率取值范围得到. 【详解】由方程解得， ，因为椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 故可以作为双曲线和椭圆的离心率. 故选：A 14. “”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 非充分非必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆位置关系的几何意义即可判断. 【详解】由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立； 反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立， 故“”是“圆成立的充分不必要条件. 故选：A 15. 已知方程的根大于，则实数满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元，令，将问题转化为过定点的直线与抛物线的交点问题，即可求解. 【详解】令，原方程转化为， 问题转化为过定点的直线与实轴在轴上的双曲线的交点的横坐标要大于的问题， 因为直线过，所以只需要保证直线和右支相交，而与左支不相交，即可， 观察图形，可以发现两条渐近线的斜率是临界情况，所以. 故选：A 16. 设曲线E方程为1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ） A. ①错，②对 B. ①对，②错 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点的对称性可知四边形ABCD是矩形，结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求. 【详解】因为动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n），所以四边形ABCD是矩形； 不妨设，则矩形ABCD面积为， 因为，所以，即，当且仅当时等号成立； 所以矩形ABCD的面积最小值为48. 四边形ABCD外接圆的直径为， 所以四边形ABCD外接圆的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立； 故选：D. 【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知是方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次方程由两实数根则判别式大于等于，解出即得范围. （2）由根与系数的关系得到之间的关系，利用完全平方公式进行代换，得到解析式，用配方法得出最小值. 【小问1详解】 由题意可知： 则 ∴或 故 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴当时，取最小值，最小值为. 18. 已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． （1）若和都成立，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【小问1详解】 解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 19. 如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5，仪器的移动速度为1.若仪器Р与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中. （1）如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器Р在点A处，仪器Q在BC上距离C点4处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由； （2）如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？ 【答案】（1）仪器在仪器的“盲区”中，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求得点的坐标，进而可得出直线的方程，求出原点到直线的距离，判断直线与花柱所在圆的位置关系，由此可得出结论； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，用表示的坐标，并求出的方程，利用圆心到直线的距离可得关于的不等式，求出的取值范围，即可求解； 【小问1详解】 建立如图1所示的平面直角坐标系， 则 所以， 所以直线的方程是，即， 故圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故仪器在仪器的“盲区”中； 【小问2详解】 建立如图2所示的平面直角坐标系， 则， 依题意知起始时刻仪器在仪器的“盲区”中， 假设仪器在仪器“盲区”中的时长为，则， 所以直线的斜率， 故直线的方程是，即， 故圆心到直线的距离， 整理得，解得，结合时间，得， 所以仪器在仪器的“盲区”中的时长为； 20. 如图所示，已知动直线交圆于坐标原点O和点A，交直线于点B，若动点M满足，动点M的轨迹C的方程为． （1）试用k表示点A、点B的坐标； （2）求动点M的轨迹方程； （3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） ①对称性； ②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）； ③图形范围； ④渐近线； ⑤对方程，当时，函数的单调性． 【答案】（1）；；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）解方程组求得A点坐标， 再由即可得到B点坐标； （2）由的向量的运算可得参数方程，消参即可得解； （3）根据曲线C的方程，逐项分析判断即可得解. 【详解】（1）由得或即点． 由得即点． （2），则点M的参数方程为（k为参数）， 消去参数k，得． （3）①关于x轴对称；将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称． ②曲线C的顶点为； 方程中，令，得，则曲线C的顶点坐标为． ③图像范围：，； ，得，． ④直线是曲线C的渐近线； ，，当时，，则直线是曲线C的渐近线． ⑤当时，函数在上单调递增； （），设，则 ． 则，即，所以当时函数在上单调递增． 21. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点. （1）求椭圆方程； （2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可； （2）假设存在实数，设，通过求出的范围，然后与椭圆联立，求出线段 的中点，代入直线 ，求出与的关系，进而可得大范围； （3）先求出对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时的，再求对角线与的斜率即存在，又不为零时的，对于这种情况，设，与椭圆联立，然后利用弦长公式求出，同理求出，通过计算求其范围，然后综合可得的最小值. 【小问1详解】 联立，消去得 直线与椭圆有且只有一个公共点， ，解得 即椭圆的方程为； 【小问2详解】 假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称， 设， 联立，消去得， 则，解得， 由韦达定理得， ， ， ， 存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，且的取值范围是. 【小问3详解】 椭圆的左焦点为， 当对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时， ， 当对角线与的斜率即存在，又不为零时， 设， 则， 联立，消去得， 则， ， 同理：， 令， 则， 因为， ， 综合得，当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $