浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，8 3．（3分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝3 4．（3分）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由△ADF≌△ADE可得∠CAD＝∠BAD，由作图的过程可知，说明△ADF≌△ADE的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．（3分）如图，△ABC中边BC上的高为h1，△DEF中边DE上的高为h2，若AC＝EF，下列结论中正确的是（　　） A．h1＝h2 B．h1＞h2 C．h1＜h2 D．无法确定 6．（3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）平方厘米． A．8 B．12 C．16 D．18 8．（3分）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 9．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝26°，∠2＝33°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（　　） A．60° B．59° C．61° D．无法计算 10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；②BF＝DE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）把命题：对顶角相等．改写“如果…那么…”的形式为：　 　． 12．（3分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 　 　性． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，DC＝AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 　 　． 14．（3分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　 　． 15．（3分）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝4，则△ABC的面积为 　 　． 16．（3分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度； （2）点D在直线BC上移动，若∠BAC＝α，∠BCE＝β．则α，β之间的数量关系为 　 　． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程） 17．如图，已知在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝BE． 18．按要求画出图形． （1）如图1，已知△ABC，按要求作图： ①作△ABC的角平分线BD； ②作BC边上的高线AF． （2）有公路l1同侧，l2异侧的两个城镇A，B，如图2．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求AD的长． 20．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数． 21．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD． （1）求证：AE＝CD． （2）判断直线AE与CD的位置关系，并说明理由． 22．如图，△ABC中，AD是角平分线，E、F分别为AC、AB上的点，且∠AED+∠AFD＝180°．试问：DE与DF有何关系，并说明理由． 23．阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 　； 如图2，∠O＝　 　； 如图3，∠O＝　 　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　 　． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数． 24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值； （2）如图②，点D在BC边上CD＝4cm，点E在AC边上，CE＝5cm，ED⊥BC，ED＝3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A，P，Q为顶点的三角形恰好与△EDC全等，求点Q的运动速度． 2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．【解答】解：A、3+4＝7＜8，不能组成三角形； B、5+6＝11，不能组成三角形； C、5+6＝11＞10，能够组成三角形； D、4+4＝8，不能组成三角形． 故选：C． 3．【解答】解：当a＝0时，a2＝0， ∴a2＝a， 故选：B． 4．【解答】解：根据作图过程可知： AF＝AE，DF＝DE， 在△FAD和△EAD中， ， ∴△FAD≌△EAD（SSS）， 故选：B． 5．【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，如图所示： 则AM＝h1，FN＝h2， ∵AM⊥BC，FN⊥DE， ∴∠AMC＝∠FNE； ∵∠FEN＝180°﹣∠DEF＝65°， ∴∠ACM＝∠FEN， 在△AMC和△FNE中， ， ∴△AMC≌△FNE（AAS）， ∴AM＝FN， ∴h1＝h2， 故选：A． 6．【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°． 则3k+4k+5k＝180， 解得：k＝15， ∴5k＝75，3k＝45，4k＝60， 所以这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 7．【解答】解：∵F为CE的中点， ∴EF＝CF， ∴S△AEC＝2S△AEF＝8， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴S△AED＝S△CED＝4， ∵E为BD的中点， ∴S△AEB＝S△AED＝4， 同理，S△BEC＝S△CED＝4， ∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16， 故选：C． 8．【解答】解：A、已知两边和一角，不能画出唯一△ABC，故本选项不符合题意； B、因为5+6＜13，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， 即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠1＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝33°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝26°+33°＝59°． 故选：B． 10．【解答】解：∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠C＝∠AFE，∠EAF＝∠BAC，AF＝AC， ∴∠AFC＝∠C， ∴∠AFC＝∠AFE，故①符合题意， ∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE， ∴∠BFE＝∠FAC，故④符合题意， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠FAC， ∴∠EAB＝∠BFE，故③符合题意， 由题意无法证明BF＝DE，故②不合题意， 正确的结论有①③④，共3个． 故选：C． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 12．【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定． 13．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∵AC＝8cm，DC＝AD， ∴DC＝AC＝2cm， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝2cm， ∴点D到AB的距离等于2cm， 故答案为：2cm． 14．【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AE＝3， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABC的周长为24， ∴AB+BC+AC＝24， ∴AB+BC＝24﹣6＝18， ∴△ADB的周长是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18， 故答案为：18． 15．【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点， ∵点E，F是线段AD的三等分点， ∴DF＝AD， ∴S△ABD＝3S1， 同理S△ADC＝3S2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC ＝3S1+3S2 ＝3（S1+S2） ＝3×4 ＝12， 故答案为：12． 16．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC， 即：∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°． 故答案为：90． （2）α+β＝180°或α＝β．理由如下： ①当点D在点B的右侧时，如图2所示： 同理可证：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝β， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°． ②当点D在点B的左侧时，如图3所示： 同理可证：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠ACE， ∵∠ADB＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+β， ∴α＝β． 综上所述得：α，β之间的数量关系为α+β＝180°或α＝β． 故答案为：α+β＝180°或α＝β． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程） 17．【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE， 即∠DBE＝∠ABC， 在△DBE和△ABC中， ， ∴△DBE≌△ABC（ASA）， ∴BC＝BE． 18．【解答】解：（1）①△ABC的角平分线BD如图1； ②如图1，线段AF即为所求． （2）①作两条公路夹角的平分线OD或OE． ②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点C1、C2即为所求的位置． 19．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即 AC＝BD ∵∠A＝∠B，AE＝BF， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）； （2）由（1）知△ACE≌△BDF， ∴BD＝AC＝2， ∵AB＝8， ∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4， ∵AD＝AC+CD＝2+4＝6＝6， 故AD的长为6． 20．【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下： ∵∠A＝35°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3， ∴△ABC是“三倍角三角形”； （2）∵∠B＝60°， ∴∠A+∠C＝120°， 设最小的角为x， ①当60°＝3x时，x＝20°， ②当x+3x＝120°时，x＝30°， 答：△ABC中最小内角为20°或30°． 21．【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD． （2）解：AE⊥CD，理由如下： 延长AE交CD于点F，如图： ∵△ABE≌△CBD， ∴∠AEB＝∠CDB， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠CDB+∠BAE＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD， 即AE⊥CD． 22．【解答】解：DE＝DF， 理由是： 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM＝DN，∠FMD＝∠END＝90°， ∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠DEN＝180°， ∴∠MFD＝∠DEN， 在△FMD和△END中 ∴△FMD≌△END， ∴DE＝DF． 23．【解答】解：（1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O， 如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB ∴∠OBC+∠OCB ＝（∠ABC+∠ACB） ＝（180°﹣∠BAC） ＝（180°﹣50°） ＝65°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； 如图2，∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACD， ∴，， ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O+∠OBC， ∴， 如图3，∵∠EBC是△ABC的外角， ∴∠EBC＝∠A+∠ACB， ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD， ∴，， ∴， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣115°＝65°； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2， ∴，， O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB， ∴O1O2平分∠BO2C， ∴， ∴， ∴， 故答案为：115°，25°，65°，； （2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴，， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝ ＝ ＝． 故答案为：； （3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝15°， ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝45°，∠O1BC＝∠O2BO1＝15°， ∴∠BCO2＝180°﹣15°﹣125°＝40°， ∴∠ACB＝2∠BCO2＝80°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝55°． 24．【解答】解：（1）当点P在BC上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为BC的中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半， ∴此时， 同理当点P为AC中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半， ∴此时； 综上所述，t的值为10或19； （2）设点Q的运动速度为x cm/s， 由题意得，DC＝4cm，CE＝5cm，ED＝3cm ①当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△EDC时， AP＝DE＝3cm，AQ＝EC＝5cm， ∴， 解得cm/s； ②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△ECD时， AP＝EC＝5cm，AQ＝DE＝3cm， ∴， 解得cm/s； ③当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△EDC时， AP＝ED＝3，AQ＝EC＝5， ∴点P的路程为AB+BC+PC＝12+16+20﹣3＝45cm，点Q的路程为AQ＝12+16+20﹣5＝43cm ∴， 解得： cm/s； ④当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△ECD时， AP＝EC＝5cm，AQ＝ED＝3cm， ∴点P的路程为AB+BC+PC＝12+16+20﹣5＝43cm，点Q的路程为AQ＝12+16+20﹣3＝45cm ∴， 解得： cm/s； 综上所述，点Q的运动速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s． 学科网（北京）股份有限公司 $$