精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考（10月）数学试题

2024~2025学年上学期怀仁一中高二年级第三次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由方程表示圆， 则， 解得. 所以实数m的取值范围为. 故选：D 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 4. 在棱长为1的正四面体中， （ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的减法法则有，则，由向量的数据的定义可得答案. 【详解】由． 故选：B 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ） A. B. 0或 C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】由弦长可得圆心到直线的距离，即可求出． 【详解】∵的圆心，半径，， ∴圆心到直线的距离为， 因此有，即，解得或． 故选：B． 6. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由共面定理建立等量关系列方程组即可求解. 【详解】，，， 因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得， 即， ，解得，即. 故选：A. 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】因为底面，面，可得，， 因为四边形为正方形，可得， 所以两两垂直，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则， 可得，，，，， 所以，， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则，所以， 故选：A. 8. 已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，则实数b的所有取值之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设出点的坐标，然后联立直线方程与圆的方程，结合韦达定理求得的值即可． 【详解】解：设，，，， 联立直线方程与圆的方程可得：， 则， 由于，故， 所以， 即，即， 所以. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 10. 过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、最短弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，所以在圆内，， 当AB⊥PC时，弦AB最短， 最短弦长，A选项错误，C选项正确. ，所以当最短时，， 此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确. 故选：CD 11. 如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点在平面内，且，为平面内任意一点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据可知，是平面的一个法向量，则，列式求解即可． 【详解】由题知， 根据可知，是平面的一个法向量，则， 所以，整理可得． 故答案为：4． 13. 已知直线，直线，若，则实数a的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，解之即可求出结果. 【详解】因为，所以，解得， 故答案为：1 14. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为， 设二面角为，则，故二面角的余弦值为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若点在直线上，且，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率为，确定高所在直线的斜率为1，得到直线方程. （2）计算直线方程，的垂直平分线方程，联立得到，计算距离即可. 【小问1详解】 直线，即，直线的斜率为， 故边上的高所在直线的斜率为1， 所以边上的高所在的直线方程为，整理得； 【小问2详解】 直线，即， 的中点为，所以的垂直平分线所在的直线方程为， 因为为垂直平分线与直线的交点，所以，解得， 所以到直线的距离为． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，，求出，再利用角三角函数的基本关系求解即可； （2）直接利用空间向量求解点到面的距离即可． 【小问1详解】 连接，相交于点O，连接，相交于点， 由，可得为等边三角形， 又由O为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有， 取，，，可得平面的一个法向量为， （1）由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由，有， 可得点到平面的距离为． 17. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 【答案】（1）21 （2） （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【小问1详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； 【小问2详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； 【小问3详解】 的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则，令，即， 设平面法向量为，则令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 19. 已知三点，，在圆C上. （1）求圆C的标准方程； （2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段的中点P的轨迹W的方程； （3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先设圆的一般方程，代入三点坐标，即可得到圆方程； （2）过原点的直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，求得中点坐标，，再利用，消参得到中点的轨迹方程，并且利用直线与圆的位置关系，求得的范围； （3）根据（2）的结果，结合直线与圆的位置关系，以及直线与曲线端点相交等临界情况，再结合数形结合，求实数的取值范围. 【详解】设圆C的一般方程为， 将三点代入圆C的一般方程，有，解得， 所以圆C的一般方程为， 可得圆C的标准方程为. （2）设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为，，点. 若直线l与圆C相交，有，解得. 联立方程，消去y后整理为， 则，. 可得点P的横坐标和纵坐标分别为，，两式相除， 代入点P的横坐标有，整理为，有. 又由，有. 综上知点P的轨迹W的方程为. （3）设直线m的方程为，整理为. 当直线m与圆相切时，有，解得， 将代入圆的方程，有，解得， 两点，所在直线的斜率为. 由（2）可知轨迹W为以点为圆心，1为半径的圆在的一部分， 若直线m与轨迹W有两个交点，如下图， 可得直线m的斜率的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期怀仁一中高二年级第三次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 在棱长为1的正四面体中， （ ） A. B. 0 C. D. 1 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ） A. B. 0或 C. D. 或0 6. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，则实数b的所有取值之积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 11. 如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点在平面内，且，为平面内任意一点，则______． 13. 已知直线，直线，若，则实数a的值为___________. 14. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若点在直线上，且，求点到直线的距离． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 已知三点，，在圆C上. （1）求圆C的标准方程； （2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段的中点P的轨迹W的方程； （3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $