精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题

广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上． 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不拉以上要求作答的答案无效． 5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集、补集的概念即可求解. 【详解】由已知可得，又，∴． 故选：D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 满足的集合A的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可知集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有，写出集合A的所有情况即可求解． 【详解】因为集合A满足⫋， 则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有， 满足条件的集合有，，，，，，，共7个． 故选：B． 4. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 5. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 7. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 8. 若实数满足，且，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】实数 满足，且，则 ，当且仅当，即时等号成立. 故选D. 点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到， 所以把条件构造为，从而解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. “任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用命题的否定和充分条件及必要条件的定义判断即得. 【详解】对于A，假设都不大于1，即，，则与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A正确； 对于B， “任意，则”的否定为“存在，则”，B正确； 对于C，则，则，，则成立，满足充分性，C错误； 对于D，当时，可能为零，当时，一定不等于零，则“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：ABD. 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质及作差法判断各选项即可． 【详解】对于A，由，则，两边同时除以， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由于， 因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______. 【答案】 【解析】 【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可 【详解】由得：； 当时，，则，解得：,∵，，满足题意； 当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则； 当时，,结合图象可得：，解得：，则； 综上所述：原命题成立的充要条件为， 故答案为：-1<a<1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在；② ““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，． （1）当时，求； （2）若 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）选择①，的取值范围为；选择②，的取值范围为；选择条件③，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得集合，由参数得集合，由并集定义计算； （2）选①，由题意有，再根据子集定义列不等式组求解；选②，由题意有，再由真子集定义求解；选③，根据交集定义与空集定义列不等式求解． 【小问1详解】 当时，集合，， 所以； 【小问2详解】 若选择①，则，则，因为，所以， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择②，“ “是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以，又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择③，，因为，， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是． 16. 已知集合，. （1）若,求实数的取值； （2）当，且时，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)化简集合A,B，由知B含二元素且，由根与系数的关系求； (2)由可得，列出集合的所有可能，利用判别式及根与系数的关系求a的范围. 【详解】（1）由条件，为二元集合， 又集合的元素为一元二次方程的根，从而必有， 从而必有为方程的两个实根，从而可得 . （2）当，，由，则, 且，则集合的所有子集为. 当时，方程无实根，得. 当，则由根与系数的关系可得此时，与条件矛盾 当，则必有； 当时，由根与系数的关系可得与条件矛盾. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 命题:任意成立；命题成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）先求出命题为真时，实数的取值范围，命题至少有一个为真命题，从而由题意得到关于的不等式组，从而得解. 【小问1详解】 对于命题对任意，不等式恒成立， 则有，； 综上，当为真时，实数的取值范围是. 【小问2详解】 对于命题存在，使得不等式成立，. 只需，而， ，，则， 所以当命题为真时，实数的取值范围是， 从而当命题为假命题，为真命题时，或且，则或； 当命题为真命题，为假命题时，且，无解； 当命题为真命题，为真命题时，，则； 所以. 18. 今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和. （1）求的表达式； （2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值. 【答案】（1）； （2）当时，费用取得最小，最小值为75万元. 【解析】 【分析】(1)根据距离为1km时隔离病房建造费用为100万元，求出k的值，由此可得的表达式； (2)由(1)可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元， 所以，得， 所以； 【小问2详解】 由(1)知， ， 当且仅当即时，等号成立， 即当时，函数取到最小值75万元， 所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元. 19. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【小问1详解】 由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. 【小问2详解】 原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 【小问3详解】 问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 【点睛】方法点睛：求参数的的取值范围，可以分离变量，化成，恒成立的问题，再结合基本不等式，求式子，的最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上． 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不拉以上要求作答的答案无效． 5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 满足的集合A的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 4. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 8. 若实数满足，且，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. “任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，则的取值范围为___________. 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________ 14. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在；② ““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，． （1）当时，求； （2）若 ，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若,求实数的取值； （2）当，且时，求实数的取值范围. 17. 命题:任意成立；命题成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； 18. 今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和. （1）求的表达式； （2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值. 19. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $