精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考 （高二数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】 在等差数列{an}中，利用等差中项由求解. 【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6， 所以， 所以， 故选：A 2. 已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 2或 D. 2 【答案】C 【解析】 分析】 根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，且，所以，解得， 所以. 故选：C. 3. 已知数列的前项和，，则（ ） A. 20 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中条件，由，即可得出结果． 【详解】因为数列的前项和， 所以． 故选：C． 4. 在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ） A. 60 B. 11 C. 50 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，， 所以. 故选：D. 5. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加尺， 由题意知， 解得． 故该女子织布每天增加尺． 故选：D 6. 已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据a3＋a11＝2a7，代入条件可得a7＝4，进而由b6b8＝＝即可得解. 【详解】因{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去). 又{bn}为等比数列，所以b6b8＝＝＝16. 故选D. 7. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以， 故选：A 8. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ） A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】根据等比数列的下标性质由， ∵函数，∴， 令，则， ∴，∴． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列满足，前项和，等比数列满足，，的前项和为则下列命题错误的是（ ） A. 的通项公式为 B. 等差数列的前项和为 C. 等比数列的公比为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A；由等差数列的求和公式，可判断B；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，可判断C；由等比数列的求和公式，可判断D． 【详解】设等差数列公差为， 因为，，所以，，解得，， 所以，故A错误； ，故B正确； 设等比数列的公比为，由，， 可得，解得，故C错误； ，故D正确． 故选：AC． 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，，AD正确； ，，B错误； ，，C正确. 故选：ACD 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 数列的前99项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令求出；B选项，变形得到，B错误；C选项，利用累加法得到，得到；D选项，由C选项知，，故为等比数列，利用等比数列求和公式得到前99项和，得到答案. 【详解】A选项，中得， ，故，A正确； B选项，变形得到， 故数列不是等差数列，B错误； C选项，，，……，， 上面个式子相加得， 设①， 则②， 式子①-②得 ， 则， 故，所以， 故，C正确； D选项，由C选项知，， 则，所以为公比为2的等比数列， 的前99项和为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：6 13. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________. 【答案】32 【解析】 【分析】首先根据等差中项的性质得到等式，然后根据等比数列基本量的运算求解出等比数列通项公式，进而求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，解得， 由，，成等差数列，可得， 即为， 解得，所以， 故答案为：32. 14. 若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，然后结合等比和数列可得数列的通项公式，再由累乘法代入计算，即可求解. 【详解】令，则①，又②， 由②－①得，即， ，， ， 故答案为：. 四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列， （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2）最小值为， 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【小问1详解】 由等差数的公差为， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为 16. 设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 （Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn． 解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为q，q＞0 ∵a3=a2+4，a1=2 ∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0 ∴q="2" ∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n （Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2 点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题． 17. 设是等差数列的前n项和，已知，（）． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若数列，求数列的前n项和． 【答案】（Ⅰ）18；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可. 试题解析：（I）设数列的公差为，则 即 ， 解得， 所以. （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18. 已知数列的首项，且满足N*）． （1）求证：数列为等比数列； （2）若＜100，求满足条件的最大正整数n． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知递推公式得，由此可得证； （2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和可得答案. 【小问1详解】 解：， ， 又， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 若，则， 令，所以在上单调递增， 且， 所以满足条件的最大正整数． 19. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于，得，两项相减即得到，从而利用等比数列通项公式求通项；对于数列，由等差数列通项公式求解即可； （2）由可知采用错位相减法求和； （3）求出最大值为1，故，可得，分离参数得恒成立，故. 【小问1详解】 数列的前项和为①， 当时，解得. 当时，②， ①－②得，整理得， 所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列满足，点在直线上. 所以（常数），所以. 【小问2详解】 ， 所以①， ②， ①－②得， 整理得. 【小问3详解】 由（1）得， 所以， 所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1， 对所有的正整数都有都成立， 故，可得， 所以恒成立，只需满足，故， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考 （高二数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 2. 已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 2或 D. 2 3. 已知数列前项和，，则（ ） A. 20 B. 17 C. 18 D. 19 4. 在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ） A. 60 B. 11 C. 50 D. 55 5. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A. B. C. D. 6. 已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ） A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列满足，前项和，等比数列满足，，的前项和为则下列命题错误的是（ ） A. 的通项公式为 B. 等差数列的前项和为 C. 等比数列的公比为 D. 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 数列前99项和小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则________． 13. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________. 14. 若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________. 四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列， （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 16. 设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{an}通项公式； （Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 17. 设是等差数列的前n项和，已知，（）． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若数列，求数列的前n项和． 18. 已知数列的首项，且满足N*）． （1）求证：数列为等比数列； （2）若＜100，求满足条件的最大正整数n． 19. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$