精品解析：江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二上学期10月学情调查数学试题

2024-2025学年高二上学期十月学情调查 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程，然后根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 详解】， 由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 故选：A 2. 等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（ ） A. 15 B. －15 C. －13 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，， 因为，，成等比数列， 所以有，或舍去， ， 故选：C 3. 如果数列的前n项和满足：，那么的值为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据与之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果. 【详解】∵，∴，∴ ∴ 故选：C 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 6. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意按等差数列的通项公式及求和公式列出含和的方程组，解出和，再利用求和公式写出，进而求出取最小值时的值即可. 详解】由题意知：，则， 解得，所以， 所以当或时，取最小值. 故选：D. 7. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】当时，由可得，进一步可得数列是等差数列，并求得其通项公式，即可求出； 【详解】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 8. 设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（ ） A. 32 B. 16 C. 128 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式，结合 【详解】设该等比数列的公比为， 因为，所以， 由， ， 即， 显然当，或时，最大，最大值为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 经过点，的直线方程均可用表示 D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：将直线方程化为点斜式方程即可判断；对于B：首先求出斜率范围，进而得到倾斜角范围；对于C：利用两点式即可判断；对于D：将点代入两个方程分析两个方程的即可判断. 【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确； 对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误； 对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确； 对于D，直线和都经过点，则 所以点，的直线方程为上，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 11. 数列前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【详解】对于A：，正确； 对于B: ，有， 两式相加，得，又， 所以，为偶数 由，得：，也即，为奇数， 所以，正确； 对于C:由B可知： ， 则，错误. 对于D：数列的前项和记为， ，正确 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若平面内三点，，共线，则实数______． 【答案】-1或0或3 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】，， 因为三点，，共线，所以, 解得：，或，或 故答案为：-1或0或3 13. 已知是等差数列，是其前n项和，若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列式求解首项和公差，然后代入通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题意可得， 解得，则 故答案为： 14. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等边三角形的面积公式，结合等比数列的通项公式及前n项和公式进行求解即可. 【详解】设第个图形的边长为 由题意知，从第2个图形开始，每一个图形边长均为上一图形边长的，即， 是一个以1为首项，为公比的等比数列 从第2个图形开始，每一个图形的边数都是上一个图形边数的4倍， 第个图形边数为：，设 第个图形的周长为：； （2）设第个图形的面积为，则 故第个图形的面积为：. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题的关键是从边数的关系，结合等比数列的前项和公式进行求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由， 由题意可知：， 因为，所以点A的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，所以有直线， 设直线倾斜角为，则有， 所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为， 则有， 所以直线直线的方程为：. 16. 已知等差数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 17. 设正项数列的前n项和为，且，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先由题中条件，得到，推出数列是等差数列，得出，进而可求出数列的通项公式； （2）先由（1）的结果，结合（2）中条件，得到，利用等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）当时，，则， 因为为正项数列的前n项和，且，所以，， 因此，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，则有， 当时，， 又也适合， 故数列的通项公式为； （2）当时，得，所以； 当时，由①， 得②， ①②得，则有， 可得数列的通项公式为 所以当时，； 当时，， 当时，(符合上式)，故. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于利用题中条件，确定是等差数列，求出，利用与之间关系，即可求解.（求解时，要注意的范围）. 18. 已知函数，数列满足，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可； （3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有； 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以 【小问3详解】 由（2）可知：， 所以由， 因为， 所以由， 设， 由， 由二次函数性质可知：当时，函数减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存，使得成立，则有， 因此实数k的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用作差法判断函数的单调性进行求解. 19. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行证明即可； （3）运用裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为是公差为的等差数列， 所以， 则有， 当时，，两式相减，得， ，显然也适合， 即； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 于是有 ； 【小问3详解】 由（1）可知：， 所以， 于是有， ， 当时，显然上述不等式的没有正整数解，即， 当时，显然上述不等式正整数解为即， 当时，显然上述不等式的正整数解为，即， 于是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据数列的通项公式的形式运用裂项相法进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期十月学情调查 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（ ） A. 15 B. －15 C. －13 D. 13 3. 如果数列的前n项和满足：，那么的值为（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 9 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 记为数列的前n项积，已知，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 8. 设等比数列前n项和为，且，，则最大值为（ ） A. 32 B. 16 C. 128 D. 64 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 经过点，的直线方程均可用表示 D. 直线和都经过点，则过两点，的直线方程为 10. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 11. 数列前n项和，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 数列前项和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若平面内三点，，共线，则实数______． 13. 已知是等差数列，是其前n项和，若，，则的值是______． 14. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则______，______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 16. 已知等差数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 设正项数列的前n项和为，且，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前n项和. 18. 已知函数，数列满足，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$