精品解析：江苏省泰州市泰州医药高新技术产业开发区省附中、周山河中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年秋季期九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟满分150分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正九边形 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 6. 已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 8. 已知是一元二次方程的两个根，则__________. 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 10. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 11. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为___________． 12. 如图，点是上一点，连接．弦于点．若，则的长为____． 13. 如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF＝DG，则∠BHG＝________°． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，且点C在上，与交于点，则的长为______． 15. 如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为______． 16. 如图，已知等腰直角中，，．现有两动点和，动点从到运动，从到运动，并且两动点速度相同，则在运动的过程中的最小值为______． 三、解答题（本大题共102分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 化简求值，其中． 19. 关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根． 20. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是 ； （3）该圆圆心到弦的距离为 ； （4）最小覆盖圆的半径为 ． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 22. 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③ （2）如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，则满足的关系式为____________（直接写答案）． 25. （1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 26. （1）如图1，是的弦，，点是圆上不与重合的点，则____； （2）如图2，已知线段，点在所在直线的下方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，已知中，，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟满分150分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴‌‌）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合意义； D、正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 4. 如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 6. 已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，线段垂直平分线的判定定理，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；连接、，，连接交于，由旋转的性质得，，与是等圆，由三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得求出，由勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接、，，连接交于， 半径是5，， ， ， ， 由旋转得：， ， 与是等圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 8. 已知是一元二次方程的两个根，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】分析：根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出，，即可代入求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系，，. 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零有两个不相等实数根，即可解出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得 故答案：且． 【点睛】本题主要考查了根的判别式知识点，准确记住判别式的公式是解题关键． 10. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 11. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径；设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为，依题意，可得，解得， 故答案为：． 12. 如图，点是上一点，连接．弦于点．若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，如图，连接，则，由弦，可得，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，则， ∵弦， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF＝DG，则∠BHG＝________°． 【答案】108° 【解析】 【详解】分析：根据正多边形的性质及已知条件可证得△BCF≌△CDG，根据全等三角形的性质可得∠CBF=∠GCD，由三角形的外角的性质可得∠BHG＝∠CBF+∠BCH=∠DCG+∠BCH=∠BCD，即可求得∠BHG的度数. 详解： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC=CD，∠BCF=∠CDG=108°， 在△BCF和△CDG中， , ∴△BCF≌△CDG， ∴∠CBF=∠GCD， ∴∠BHG＝∠CBF+∠BCH=∠DCG+∠BCH=∠BCD=108°. 故答案为108. 点睛：本题主要考查了正五边形的性质，证明△BCF≌△CDG是解决本题的关键. 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，且点C在上，与交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC、BC、AB、BD、取AB的中点O，连接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=45°，结合△OAH求出圆心角的度数和半径长，再求出∠BOH=90°，继而利用弧长公式即可求出弧长． 【详解】解：连接AC、BC、AB、BD、取AB的中点O，连接OH， ∵∠ACB=90°， ∴AB为圆O的直径，O是圆心， ∵AB= , 同理BD=5， AD= ， ∴AB2+BD2=AD2， ∴∠ABD=90°， 又∵AB=BD， ∴∠BAD=45°， 又∵OA=OH， ∴∠AOH=90°， ∴∠BOH=90°， ∴的长为 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查弧长公式、圆周角定理以及勾股定理以及逆定理，解决问题的关键是求出圆心角和半径． 15. 如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】作直径，连接，设的半径是，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案． 【详解】解：作直径，连接，设的半径是， ， ，， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 当长最大时，有最大值， 当是圆直径时，最大． 最大值是． 解得， 故答案为：6． 16. 如图，已知等腰直角中，，．现有两动点和，动点从到运动，从到运动，并且两动点速度相同，则在运动的过程中的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．作，在上截取，证明，求得，当共线时，有最小值，再证明，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作，在上截取，连接， 由题意得，， ∴， ∴， 当共线时，有最小值，最小值为线段的长； 如图， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共102分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 化简求值，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解．熟练掌握分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 先通分计算括号，然后进行因式分解，计算除法，可得化简结果，最后整体代入计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 关于的方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．配方法解一元二次方程等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式．配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）由题意知，，进而结论得证； （2）由方程有两个相等的实数根，可得，可求，则，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，， ∴方程的根为． 20. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是 ； （3）该圆圆心到弦的距离为 ； （4）最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】（1） 如图即为所求： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． 【小问3详解】 解：取的中点，连接，如图， 则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． 【小问4详解】 解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格 故答案为：． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】（1）经过时，的面积等于； （2）解：不会，理由： 在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【小问1详解】 解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； 【小问2详解】 略 22. 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 【答案】 证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分． 【解析】 【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论； 利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案． 【详解】略 略 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 23. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③ （2）如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，则满足的关系式为____________（直接写答案）． 【答案】（1）③ （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系进行求解； （3）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； 【小问3详解】 解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 25. （1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 【答案】 （1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； （3）证明：作直径，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，由，可得，从而得到，即可求证； （2）先证明是的中位线，据此即可证明结论成立； （3）作直径，连接，证明是的中位线，推出，再证明，得到，再根据圆周角定理即可得到，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26. （1）如图1，是的弦，，点是圆上不与重合的点，则____； （2）如图2，已知线段，点在所在直线的下方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，已知中，，且，求的最大值． 【答案】（1）或； （2）以为边作等边， 以O为圆心，长为半径作， 在劣弧上任取点C（不包含端点），连接， 即为所求作； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，，得到，或； （2）根据等边三角形性质和圆周角定理可得,根据圆内接四边形性质得到； （3）以为边向上作等边，延长交于点D，可得 ，得到，得到，点D在以为圆周角的圆上运动，设圆心为O，得到 ，得到为等边三角形，根据，，得到最大值为，即得的最大值为． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，， 故答案为：或； （2）理由：∵， ∴， ∴； （3）以为边向上作等边，延长交于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点D在以为圆周角的圆上运动， 设圆心为O，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∵， ∴, ∵， ∴当过点O时， 取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握勾股定理的逆定理，圆周角定理，圆内接四边形性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形判定和性质，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $