精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

柘荣县第一中学2024-2025学年上学期高三年级月考二数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：金陈康 审题人：张梅 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求得. 【详解】由可得，，解得，，故, 因，故. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 【答案】B 【解析】 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 6. 已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断. 【详解】令，则， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为在上递增，且， 所以，即， 即，所以，所以B正确， 对于C，因为 ， 所以，所以C错误， 对于D，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确， 故选：C 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及单调性，去求解即可. 【详解】易知函数定义域为，，故函数为奇函数， 又都是上的减函数， 故在上单调递减， 所以， 等价于， 所以， 解得：或， 所以不等式的解集为：， 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图： 观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用复合函数的单调性与指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D. 【详解】已知函数（，且），则， 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以， 函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，则单调递减，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减； 当时，则单调递增，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减；故C错误； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图，如图所示： 当时，，显然不合题意； 当时，此时，即，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到，再利用二次函数的性质，即可求解；选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，利用函数单调性，即可求解；选项D，根据条件，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以， 当且仅当取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 由，得到，所以当时，取到最小值为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以，即， 又易知，则，又在区间上单调递增，所以， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 所以, 所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，即， 即， 令，易知在上单调递增， 所以成立，即成立， 令，所以在区间恒成立，所以，得到，所以选项D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，即可求解；选项D，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的单调递减区间为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】借助复合函数的单调性“同增异减”的性质，即可求解. 【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数, 因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间， 易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为， 故答案为：. 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期为4，再由解析式可求得一个周期内的函数值，即可得出答案. 【详解】由得， 所以函数是周期为4的周期函数， 又是奇函数，所以，，，， 所以， 可得. 故答案为：1 14. 已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可. 【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5. ，当时，令，解得或， ，当时，令，解得， 则作出的图象,如下图所示， 当时，有两个根，，，则有1个实数根， 当时，有3个根，时有两个根， 故共有3个或4个根，故舍去； 当时，此时有3个根，，，， 有1个根，有1个根， 时，有1个根，不合题意； 时，有2个根，不合题意； 时，有3个根， 此时满足题意共5个根的情况，而，则； 当时，有两个根，，， 有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去； 当时，有1个根，，此时共1个根，舍去. 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择． 四、解答题解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，奇函数 （2） 当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域. 【小问1详解】 由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 【小问2详解】 ，即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 16. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 【答案】（1）， （2） （3）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【小问1详解】 不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. 【小问2详解】 ， 得，. 【小问3详解】 ，， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （1）求证：BC⊥平面ACD； （2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 【答案】（1） 证明：在图1中，直角梯形中，因为，且，则， 所以，则，又因为，由余弦定理可得， ，也即，解得， 所以，从而，故， 取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC， 面ADC∩面ABC＝AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC， ∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD＝O，平面ACD， ∴BC⊥平面ACD. （2） 【解析】 【分析】（1）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示， 则，，所以， ， 设为面CDM的法向量， 则，即，解得， 令，可得 又为面ACD的一个法向量， ∴， ∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为． 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 【答案】（1）更适宜 （2） （3）选择方案1最佳，理由： 用，和分别表示选择三种方案的收益. 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万， 如果发生，则收益为万，即， 同样，采用第3种方案，有 所以，， ， . 显然，最大，所以选择方案1最佳. 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【小问1详解】 由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，，， 所以， 则， 所以z关于x的线性回归方程为， 故y关于x的回归方程为； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3） ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【小问1详解】 当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柘荣县第一中学2024-2025学年上学期高三年级月考二数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：金陈康 审题人：张梅 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 6. 已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 11. 已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的单调递减区间为_______ 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则________． 14. 已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 16. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （1）求证：BC⊥平面ACD； （2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $