精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期阶段练习一（10月）数学试题

北京师范大学附属实验中学 2027届高一上学期数学阶段练习一 2024.10.8 一､选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下： 按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果. 例如：集合的“交替和”为6-4+2-1=3,集合的“交替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为 6,则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每小题4分，共24分） 9. 集合可以用列举法表示为__________. 10. 方程组的解集是__________. 11. 若关于的不等式的解集为，则的值为______. 12. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 13. 已知集合，且中有2个子集，则实数的取值范围为_____________. 14. 设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________． 三､解答题（共44分） 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设，求证. 17. 已知是方程的两个不相等的实根，求值： （1） （2） （3） 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【附加题】 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学 2027届高一上学期数学阶段练习一 2024.10.8 一､选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：A. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】命题的否定是. 故选：B 3. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图知，阴影部分是两集合并集的补集，将此关系用符号表示出来，对照四个选项得出正确选项. 【详解】由题意如图，阴影部分是的补集，其对应的集合为, 由集合的运算性质可得 故选：C 【点睛】本题考查韦恩图在集合基本运算中的应用以及集合的运算性质，属于基础题. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式得到不等式的解，根据推出关系可得结论. 【详解】由得：，解得：； 由得：或； 或，或， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 7. 若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题，即在上有解， 即在上有解，记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小整数值是. 故选：A 8. 对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下： 按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果. 例如：集合的“交替和”为6-4+2-1=3,集合的“交替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为 6,则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义及子集的定义即可求解. 【详解】由题意得：集合的非空子集中,除去集合,还有个非空集合,将这个子集分成两类: 第一类：包含的子集；第二类： 不包含的子集； 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系： ，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射 设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 . 故选: C. 二､填空题（每小题4分，共24分） 9. 集合可以用列举法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 10. 方程组的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用消元法，准确计算，即可求解. 【详解】由方程，可得， 将代入方程，可得， 整理得，解得或， 当，可得；当时，可得 所以不等式的解集为. 故答案为：. 11. 若关于的不等式的解集为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 可得，解得，所以. 故答案为：. 12. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 【答案】50 【解析】 【分析】设，计算图书馆精品阅读区面积，然后计算图书馆精品阅读区面积最小时的值即可. 【详解】依题意，设，得， 图书馆精品阅读区面积为 ， 当且仅当时，等号成立，此时，，解得. 故答案为：50. 13. 已知集合，且中有2个子集，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的解法，求得集合，根据题意，得到中只有1个元素，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由分式不等式的解法得，不等式，解得，即， 又因为，且中有2个子集，即中只有1个元素， 可得或，此时，符合题意， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 14. 设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论. 【详解】因为，而，故， 所以， 若，则或（舍），此时， 故中的所有元素之积为. 若，则，这与或， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则或（舍），此时， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则，则， 即，无解. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论. 三､解答题（共44分） 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入集合，由补集、并集的定义求解即可； （2）若，分和两种情况求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 又， ，. 【小问2详解】 若， 当时，则，解得， 当，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 16. 设，求证. 【答案】 证明：由， 因为，可得， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证. 【详解】略 17. 已知是方程的两个不相等的实根，求值： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合一元二次方程的根与系数的关系，得到，由，即可求解； （2）由，即可求解； （3）由，即可求解. 【小问1详解】 解：因为是方程的两个不相等的实根， 可得，且， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 则. 【小问3详解】 解：由（1）知：， 则. 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【附加题】 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $