专题03 三角形常考解答题题型-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（湖南专用）

专题03 三角形常考解答题题型 三角形的三条线段有关问题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知平分，是的高，若，，求的度数． 4．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）如图所示，已知长方形长为，宽为，在上，在上，其中三块空白面积分别为、、，那么阴影部分的面积为多少？    三角形角度的有关应用 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，和的平分线相交于点E，的延长线交于点F,且． (1)试说明； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知平分，是的高，若，，求的度数． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，， 与交于点，求的度数． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 6．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，．    (1)求证：； (2)如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； (3)如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，已知是等边三角形，点分别在上，求的度数． 2．（23-24八年级上·湖南常德·期中）如图，已知等边三角形和正方形，试求的度数． 3．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 5．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 6．（23-24八年级上·湖南永州·期中）中，，点D是直线上一个动点，点E是射线上的点，，设，．    (1)如图（2）当D线段上，E在线段上，，，则______，______； (2)如图（1）当D在线段上，E在线段上求x和y之间的关系式； (3)当点D在直线上，点E在射线上，（2）中x和y之间的关系还成立吗？说明你的理由． 7．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）若分别为三边的长． (1)若满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若满足，试判断的形状，并说明理由． 全等三角形综合问题 1．（2023·湖南岳阳·一模）如图，在中，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．有以下三个条件：①；②；③．请从中选择一个合适的作为已知条件，使． (1)你添加的条件是_________（填写序号）； (2)添加了条件后，请证明． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，点分别在线段上，，不添加新的线段和字母，从下列条件①，②，③，④中选择一个使得． (1)你选择的一个条件是_____________（填写序号） (2)根据你的选择，请写出证明过程． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在和中，． (1)如图1，当点D在上时，，则_______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段AE绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形常考解答题题型 三角形的三条线段有关问题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)点到边的距离为 【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知平分，是的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高，熟练掌握三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高是解题的关键；由题意易得，然后根据角平分线的定义及三角形外角的性质可进行求解 【详解】解：，， ． 平分， ． 为边上的高， ， ． 4．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）如图所示，已知长方形长为，宽为，在上，在上，其中三块空白面积分别为、、，那么阴影部分的面积为多少？    【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查了三角形面积以及矩形的性质，知道同底等高的长方形面积是三角形面积的2倍是解本题的关键． 的面积等于长方形面积的一半，的面积与的面积和等于的面积．同理的面积与的面积和等于的面积．据此列出等量关系式解答即可． 【详解】解：设四个阴影三角形面积分别为①、②、③、④，中间四边形面积为⑤，如图所示．    则的面积与的面积和等于的面积． 即：， （1）， 的面积与的面积和等于的面积， 则：， 即：（2）， 式得：， ， 阴影面积 ， ， 答：阴影部分的面积为． 三角形角度的有关应用 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和为180度，角平分线平分角，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理，求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）同法（1）即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果； （4）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：； （4）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：． 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，和的平分线相交于点E，的延长线交于点F,且． (1)试说明； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由和的平分线相交于点E，可得，，由，可得，进而可证； （2）由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：∵和的平分线相交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知平分，是的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高，熟练掌握三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高是解题的关键；由题意易得，然后根据角平分线的定义及三角形外角的性质可进行求解 【详解】解：，， ． 平分， ． 为边上的高， ， ． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，， 与交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和及四边形的内角和，熟练掌握三角形内角和是，四边形内角和是是解题的关键．根据三角形内角和是，求出的度数，再根据四边形内角和是求出的度数即可． 【详解】解：在中，，且三角形内角和是， ， ∵于点，于点， ∴在四边形中，，，， ， 故的度数为． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 6．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，．    (1)求证：； (2)如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； (3)如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和是，三角形的外角的性质，掌握性质及定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，，进而可得出结论． （2）过点F作，设，，可证，，即可求解． （3）设，，可证出，再证出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图：过点F作， ∵平分，， ∴设，， ∵，∴， ∵，∴， 即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，∴． 故答案为：． （3）解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，已知是等边三角形，点分别在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质与判定，过点M作，则，，再由等边三角形的性质得到，再由角的和差关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·湖南常德·期中）如图，已知等边三角形和正方形，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰和等边三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵已知等边与正方形， ∴， 从而， ∴ 同理 ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和可得，得到，再由可得，即可证明； （2）根据等边三角形的性质和三角形外角的定义即可求解． 【详解】（1） ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． （2） 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识， （1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，即可求解； （2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题； （3）根据的周长可得，利用平分的周长，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 5．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或； 【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图2，时，， ∴， 当是等腰三角形， 如图3，时，， ， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图4，时， ， ∴， 当是等腰三角形， 如图5，时， ， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ACB的度数为或或或． 6．（23-24八年级上·湖南永州·期中）中，，点D是直线上一个动点，点E是射线上的点，，设，．    (1)如图（2）当D线段上，E在线段上，，，则______，______； (2)如图（1）当D在线段上，E在线段上求x和y之间的关系式； (3)当点D在直线上，点E在射线上，（2）中x和y之间的关系还成立吗？说明你的理由． 【答案】(1)20；10 (2) (3)当点D在的延长线上或点D在的延长线上，点E在射线上时，（2）中的结论仍然成立，即．理由见解析 【分析】（1）根据题意利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据题意利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质即可得出结论； （3）根据题意分①当点D在的延长线上，点E在射线上时，②点D在的延长线上，点E在射线上时，结合等腰三角形性质进行等量替换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：20，10； （2）解：如图（1），    ∵， ∴， ∵和分别是和的外角， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在的延长线上或点D在的延长线上，点E在射线上时，（2）中的结论仍然成立，即．理由如下： ①如图3，当点D在的延长线上，点E在射线上时，    ∵， ∴， ∵和分别是和的外角， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点D在的延长线上，点E在射线上时， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式． 7．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）若分别为三边的长． (1)若满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）将所给式子等号左边因式分解，得到，即可判断； （2）根据题中要求配成完全平方式，利用非负性可推出，即可推出为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，即是等腰三角形； （2）， ∴， ∴， ∴且， ∴，即为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的应用，等腰三角形和等边三角形的定义，解题关键是熟练将式子变形． 全等三角形综合问题 1．（2023·湖南岳阳·一模）如图，在中，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．有以下三个条件：①；②；③．请从中选择一个合适的作为已知条件，使． (1)你添加的条件是_________（填写序号）； (2)添加了条件后，请证明． 【答案】(1)① ，证明见（2） (2)证明见解析 【分析】（1）添加条件①③，可以通过证明，得到进而证明． （2）先证明，，可以通过证明，得到进而证明． 【详解】（1）解：添加条件①，证明见（2）； 故答案为：① （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，                      又∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，点分别在线段上，，不添加新的线段和字母，从下列条件①，②，③，④中选择一个使得． (1)你选择的一个条件是_____________（填写序号） (2)根据你的选择，请写出证明过程． 【答案】(1)①或③或④ (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法选择一个条件即可； （2）根据所选条件，利用相应的判定方法证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：∵，，可以利用三种方法证明； 故可以选择的条件可以是：①或③或④ （2）选择①： 在和中 ， ∴； 选择③ 在和中 ， ∴； 选择④ 在和中 ， ∴． 【点睛】本题考查了添加一个条件证明三角形 ，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【答案】(1)边角边 (2) (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的判定方法即可求解； （2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在和中，． (1)如图1，当点D在上时，，则_______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段AE绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)42 (2)见解析 (3)t的值为或或 【分析】（1）根据，解答即可； （2）延长交于T点，证明，推出，推出，证明，推出，利用平行线的性质即可得结论； （3）根据题意，分四种情况讨论，分别作出图象，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴； 故答案为：42； （2）解：延长交于T点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由（2）得：， ∴， 第一次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置， ∴， 即，解得； 第二次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置， 此时， ∴， 即， 解得：； 第三次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置， 此时， ∴， 即， 解得：； 第四次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置， 此时， ∴， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论、图形结合的思想思考问题． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 【答案】(1)①，② (2)①，②2 (3)6 【分析】（1）①由角的数量关系可求解；由“”可证，可得； （2）①由全等三角形的性质可得，即可求解；由等腰直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①和互为“兄弟三角形”， ， 又，， ， 故答案为：； 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 由（1）②知，， ， ； 过作于，过作于，如图： ， 由知，， ， ， 又是中点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：； （3）解：连接，如图所示： ， 且， ， 在和中， ， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ， 设的长度为， 则， 解得：负值已舍去， 故的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$