第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第14章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面的计算正确的是（    ） A．x3•x3＝2x3 B．（x3）2＝x5 C．（6xy）2＝12x2y2 D．（﹣x）4÷（﹣x）2＝x2 2．若x2+ax+16＝(x﹣4)2，则a的值为(   ) A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．4 3．下列各式中，从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个矩形如图2所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 5．若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 7．利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 8．已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 9．设n为任意整数，关于 的说法正确的是（   ） A．它一定是3的倍数 B．它一定是4的倍数 C．它一定是5的倍数 D．它一定是6的倍数 10．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在实数范围内分解因式：m2﹣2＝ ． 12．分解因式x3+6x2-27x= 13．已知 ，代数式 ，则的值是 ． 14．计算： ． 15．已知，则 ． 16．若（为一切实数），则的最小值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)； 18．（8分）分解因式： (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）在中，角、、所对的边的长分别为、、，若且．试证明是等边三角形． 21．（8分）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 22．（10分）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解： ； (2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； (3)已知，求的值． 23．（10分）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍； 【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 24．（12分）（阅读理解） “若满足，求的值” 解：设，，则，， 所以 （解决问题） (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    25．（14分）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面的计算正确的是（    ） A．x3•x3＝2x3 B．（x3）2＝x5 C．（6xy）2＝12x2y2 D．（﹣x）4÷（﹣x）2＝x2 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. x3•x3＝x6，原选项不正确，不符合题意； B. （x3）2＝x6，原选项不正确，不符合题意； C. （6xy）2＝36x2y2，原选项不正确，不符合题意； D. （﹣x）4÷（﹣x）2＝x2，原选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算． 2．若x2+ax+16＝(x﹣4)2，则a的值为(   ) A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．4 【答案】A 【分析】利用完全平方公式计算即可求出a的值． 【详解】已知等式整理得：x2+ax+16=（x-4）2=x2-8x+16， 则a的值为-8， 故选A． 【点睛】考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．下列各式中，从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【详解】解：A、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故A选项错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误； C、是整式的乘法，不是因式分解，故C选项错误； D、把多项式化成几个整式积的形式，是因式分解，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的意义，熟记因式分解的定义是解题的关键． 4．如图1所示，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个矩形如图2所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积，根据二者相等，即可解答． 【详解】解：左图中阴影部分的面积，右图中矩形面积， ∴ 故选：A． 5．若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．根据题意，先将代数式通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x的一次项的条件列出关于k的方程即可解得． 【详解】解： ∵计算的结果中不含关于字母的一次项 ∴ ∴ 故选：A． 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可． 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键． 7．利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 8．已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算．根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四个选项中只有A选项的关系式错误，符合题意； 故选：A． 9．设n为任意整数，关于 的说法正确的是（   ） A．它一定是3的倍数 B．它一定是4的倍数 C．它一定是5的倍数 D．它一定是6的倍数 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，解题关键是掌握相关知识．先化简，再提公因式因式分解，即可得解． 【详解】解：， 能被4整除． 故选：B． 10．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在实数范围内分解因式：m2﹣2＝ ． 【答案】（m＋）（m﹣） 【分析】在实数范围内把2写作（）2，原式满足平方差公式的特点，利用平方差公式即可把原式分解因式． 【详解】解：m2﹣2 ＝m2﹣（）2 ＝（m＋）（m﹣）． 故答案为：（m＋）（m﹣） 【点睛】考核知识点：在实数范围内分解因式．运用二次根式性质ａ=（）2（a≥0）是解题关键． 12．分解因式x3+6x2-27x= 【答案】x(x-3)(x+9) 【分析】先提公因式，再按十字相乘法分解因式． 【详解】解：x3+6x2-27x， =x（x2+6x-27）， =x（x-3）（x+9）． 【点睛】本题重点考查了整式的分解因式这个知识点，分解因式要注意有公因式，应先提取公因式，然后再考虑利用其他方法，若是有二项，一般考虑平方差公式，三项则考虑完全平方公式或十字相乘法，四项或四项以上应利用分组分解法，本题较简单． 13．已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 14．计算： ． 【答案】2 【分析】根据乘方的意义以及积的乘方公式的逆运用，即可求解． 【详解】原式= = = =2． 故答案为： 【点睛】本题主要考查乘方的意义以及积的乘方公式的逆运用，熟练掌握积的乘方公式，是解题的关键． 15．已知，则 ． 【答案】4 【分析】根据算术平方根和偶次乘方的非负性得出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查非负数的性质和完全平方式．了解两个非负数相加等于0，则这两个非负数都为0是解答本题的关键． 16．若（为一切实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把化为，通过配方得，最后根据，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方、单项式乘单项式，然后再合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式等于多项式的每一项与单项式相除的商相加即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；11 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式，完全平方公式，结合整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 20．（8分）在中，角、、所对的边的长分别为、、，若且．试证明是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】先分别将等式的两边进行因式分解，可得，再由，可得，然后根据，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，等边三角形的判定，熟练掌握多项式的因式分解方法，等边三角形的判定定理是解题的关键． 21．（8分）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22．（10分）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解： ； (2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)是等边三角形， 理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定： （1）仿照题意分为两组，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解； （3）把原式分组得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：是等边三角形， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵， ∴ ． 23．（10分）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍； 【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 【答案】验证：9；证明：见解析；延伸：不是，理由见解析，加上正整数的最小值为4 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． 验证：通过计算即可得出答案； 证明：应用因式分解的方法计算，据此可得出结论； 延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案． 【详解】验证：∵ ∴是8的9倍； 证明： ， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数； 延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下： 设两个连续的偶数分别为：，， ∵ ， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数 ∵ ∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4． 24．（12分）（阅读理解） “若满足，求的值” 解：设，，则，， 所以 （解决问题） (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    【答案】(1)120 (2) (3)图中阴影部分的面积为44． 【分析】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用． （1）设，，则，，根据举例进行解答即可； （2）设，，则，，根据举例进行解答即可； （3）根据题意可得， ，，得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， 则，， 所以； （2）解：设，， 则，， 所以 ； （3）解：根据题意可得， ，， ， 设，， 则，， ． 所以图中阴影部分的面积为44． 25．（14分）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【详解】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 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