第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第14章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．（取正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（ ） A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 3．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．对于任意整数m，多项式都能被下列选项中的整除（　　） A．8 B．m C． D． 6．如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（  ） A．矩形ABCD的周长 B．矩形②的周长 C．AB的长 D．BC的长 7．若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 8．若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： ． 12．已知，则m的值为 13．近些年我国航天事业突飞猛进，先后发射了嫦娥一、二、三、四号卫星，取得了举世瞩目的成就．其中嫦娥一号主体形如一个长方体，它的长宽高依次约为毫米、毫米、毫米，那么它的体积约为 毫米． 14．定义，若，则 x 的值为 ． 15．的计算结果的个位数字是 ． 16．已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）分解因式 (1)； (2)； (3)． 18．（8分）已知，，．求： (1) (2) 19．（8分）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 20．（8分）在数学《合并同类项》的课堂上，数学老师在讲解“”时，采用了如图1的两个长方形面积求和的转化方法，即得“”． (1)请利用合并同类项的方法，表示出图2所示某校园的总面积：______（结果用含a，b的代数式表示）． (2)爱思考的莉莉联想到在卓越课堂上老师留下的问题：“如何速算”．她画出长方形ABCD，割下图形①放至图形②位置，如图3所示，则长方形ABCD的面积为“”；请用莉莉的方法通过画图说明“”的计算技巧，标出必要数据，并书写出此方法的计算过程（直接计算不得分）． (3)设有两个十位数字相同均为m，且个位数字和为10的两位数，其中一个数的个位数字为n，请学习（2）中莉莉的方法，用含m，n的代数式表示这两数之积的计算方法并化简． 21．（8分）（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： 上述解题运用了转化的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】请说明无论x取何值，多项式的值小于． 22．（10分）已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 23．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 25．（14分）阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．（取正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，根据取正整数，则为偶数，则，据此即可作答． 【详解】解：∵取正整数， 则为偶数， ∴， 故选：D． 2．下列运算中，正确的是（ ） A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 【答案】C 【分析】应用多项式的乘法法则分别进行计算，得出结论 【详解】A．（a+3）（a-3）=a2-9，故A错误； B．（3b+2）（3b-2）=9b2-4，故B错误； C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2，故C正确； D．（x+2）（x-3）=x2-x-6，故D错误． 故选C． 考点：多项式的乘法；乘法公式． 3．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式展开计算即可； 【详解】∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，首先把化成，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 故选：C． 5．对于任意整数m，多项式都能被下列选项中的整除（　　） A．8 B．m C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解因式，再提取公因式即得出，即得出对于任意整数m，多项式都能被8整除． 【详解】解：∵， ∴对于任意整数m，多项式都能被8整除． 故选A． 【点睛】本题考查因式分解的应用．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 6．如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（  ） A．矩形ABCD的周长 B．矩形②的周长 C．AB的长 D．BC的长 【答案】D 【详解】解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b， 由题意可得，①④两块矩形的周长之和是： 故选D． 7．若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【详解】∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8．若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为 故选B． 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，根据，可得，可得，再利用平方差公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，以及代数式求值，根据题意结合平方差公式，完全平方公式，推出，，再将变形为，代入，求解，即可解题． 【详解】解：实数a、b分别满足、， ， 整理得， ， ， 解得， ，即有， 又， 整理得， 解得， ． 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方和单项式乘单项式的计算．先算积的乘方，再进行单项式乘单项式的计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法和除法运算，根据相应运算法则，求解即可． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．近些年我国航天事业突飞猛进，先后发射了嫦娥一、二、三、四号卫星，取得了举世瞩目的成就．其中嫦娥一号主体形如一个长方体，它的长宽高依次约为毫米、毫米、毫米，那么它的体积约为 毫米． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、科学记数法等知识，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解题关键．根据长方体体积公式，结合同底数幂乘法运算法则求解即可． 【详解】解：毫米． 故答案为：． 14．定义，若，则 x 的值为 ． 【答案】2 【分析】根据和，可以得到相应的方程，从而可以得到x的值． 【详解】∵，， ∴（x−1）（x−1）−（x−3）（x＋7）＝10 ∴x2−2x＋1−x2−7x＋3x＋21＝10 ∴−6x＋22＝10， 解得，x＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查整式的混合运算、新定义、解方程，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法、会解答方程． 15．的计算结果的个位数字是 ． 【答案】0 【分析】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可． 【详解】解： ， ，，，，， 依此类推，个位数字以3，9，7，1循环， ， 的个位数字为1，即的个位数字为0． 故答案为：0． 16．已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【答案】2116 【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答． 【详解】解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）分解因式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键． （1）提公因式x，即可得出结果； （2）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果； （3）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（8分）已知，，．求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）代入代数式，去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）代入代数式，利用多项式乘多项式去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 20．（8分）在数学《合并同类项》的课堂上，数学老师在讲解“”时，采用了如图1的两个长方形面积求和的转化方法，即得“”． (1)请利用合并同类项的方法，表示出图2所示某校园的总面积：______（结果用含a，b的代数式表示）． (2)爱思考的莉莉联想到在卓越课堂上老师留下的问题：“如何速算”．她画出长方形ABCD，割下图形①放至图形②位置，如图3所示，则长方形ABCD的面积为“”；请用莉莉的方法通过画图说明“”的计算技巧，标出必要数据，并书写出此方法的计算过程（直接计算不得分）． (3)设有两个十位数字相同均为m，且个位数字和为10的两位数，其中一个数的个位数字为n，请学习（2）中莉莉的方法，用含m，n的代数式表示这两数之积的计算方法并化简． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查作图——应用与设计作图、列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别求出图书馆、操场、教学楼、活动中心的面积，再相加即可. （2）参照莉莉的方法作图即可，可得，即可得出答案. （3）由题意可得这两个数分别为，， 进而计算化简即可. 【详解】（1）总面积为 故答案为: . （2）作图如下: ； （3）由题意得，这两个数分别为， ∴ 21．（8分）（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： 上述解题运用了转化的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】请说明无论x取何值，多项式的值小于． 【答案】（1），过程见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， ∵， ∴， 故无论x取何值，多项式 的值小于． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 22．（10分）已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由，结合（1）中，得到，再得到将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由判定即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为； 将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为； （2）解：由（1）知，， ， ，即， 将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积为； （3）解：面积记为的新长方形长为、宽为；面积记为的新长方形长为、宽为， 用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为， 分两种情况拼接，如图所示： ①或②， 解①得；解②得； ， 满足题意，即，． 【点睛】本题考查整式的实际应用，涉及列代数式、整式混合运算、代数式化简求值、列方程组解决问题等知识，读懂题意，准确列出代数式、等式及方程组求解是解决问题的关键． 23．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析 (2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 【答案】问题呈现：；．或；数学思考：（1）；（2）；拓展运用： 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:； 故答案为：；； 数学思考： （1），， ， 的值为25； （2）设，， ， ， ， ， 的值为4050； 拓展运用：的面积， 理由：设，， ， ， ， ， 的面积 ． 25．（14分）阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$