专题05 一元二次不等式（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略(人教B版2019必修第一册)

专题05 一元二次不等式 目录 1 2 类型一 解含有参数的一元二次不等式 2 类型二 由一元二次不等式的解确定参数 8 类型三 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 13 类型四 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19 类型五 一元二次不等式在某区间上有解问题 25 类型六 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 29 32 一、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 二、3个常用结论 1．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2； (2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； (3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)． 3．(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 三、解一元二次不等式的4个步骤 类型一 解含有参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 例1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数. (1)若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值； (2)若，，，是关于x的的根，求的最小值； (3)若，解关于x的不等式. 【变式训练1】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，函数． (1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式训练2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）回答下列问题： (1)已知不等式的解集是，求，的值； (2)对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值. 【变式训练3】（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 类型二 由一元二次不等式的解确定参数 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按x2项的系数a的符号分类，即a＞0,a＝0,a＜0; 二、按判别式△的符号分类，即△＞0,△＝0,△＜0; 三、按方程ax2＋bx＋c=0的根x1，x2的大小来分类，即x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2; 例2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【变式训练1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式训练2】（24-25高一上·天津·阶段练习）设函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若，，求的最小值. 【变式训练3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知不等式的解集为，求的最小值． （2）设不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 类型三 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 例3（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）（1）若命题：，是假命题，求的取值范围； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【变式训练1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)若，成立，求的取值范围． 【变式训练2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求x的取值范围； (2)若，求实数k的取值范围. 【变式训练3】（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【变式训练4】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 类型四 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 1.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一:若在集合 A中恒成立,即集合A是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围); 方法二:转化为函数值域问题,即己知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即 m≤a. 2.一元二次不等式在区间上恒成立的条件 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒ 或或 (2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒ 或 或 例4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知 (1)当时，不等式的解为，试求 (2)若，当时，有恒成立，试求的最小值 (3)设，当时，恒成立，试求的取值范围 【变式训练2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【变式训练3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 类型五 一元二次不等式在某区间上有解问题 常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理,具体如下: 1、 对任意的,恒成立; 若存在,有解; 若对任意,无解. 2、 对任意的,恒成立; 若存在,有解; 若对任意,无解. 例5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【变式训练1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题，成立.命题，不等式恒成立 (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围. 【变式训练2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 【变式训练3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 类型六 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 例6．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式训练1】（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【变式训练3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 1．（22-23高一上·湖南永州·期末）已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为 . 3．（22-23高一下·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 4．（22-23高一上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围； (2)若，，解关于x的不等式． 5．已知，为常数，函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根. 6．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知二次函数（） (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 7．（22-23高一上·广东清远·阶段练习）函数． (1)若的最小值为0，求a的值； (2)对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次不等式 目录 1 2 类型一 解含有参数的一元二次不等式 2 类型二 由一元二次不等式的解确定参数 8 类型三 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 13 类型四 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19 类型五 一元二次不等式在某区间上有解问题 25 类型六 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 29 32 一、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 二、3个常用结论 1．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2； (2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； (3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)． 3．(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 三、解一元二次不等式的4个步骤 类型一 解含有参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 例1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数. (1)若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值； (2)若，，，是关于x的的根，求的最小值； (3)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)，. (2)4 (3)答案见解析. 【分析】（1）问题转化为方程的两根为，利用韦达定理求. （2）利用韦达定理，表示出，利用基本（均值）不等式求最小值，需要分析等号成立的条件. （3）根据参数的不同取值，分情况讨论一元二次不等式解集的形式. 【详解】（1）由题意：方程的两根为，且 所以；. 所以，. （2）由韦达定理可得：，， 所以. 因为，所以，（当且仅当时取“”）. 又当时，方程为，因为，所以方程由两个根. 所以的最小值为4. （3）当时，原不等式为：. 若，则原不等式可化为：； 若，则原不等式可化为：. 当时，，因为，所以不等式的解为：或. 当时，原不等式可化为：. 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式的解为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解含参数的一元二次不等式的问题，要注意： （1）二次项系数是否可以为0； （2）二次想系数不为0时，不等式解集的形式及两根大小的比较. 【变式训练1】（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，函数． (1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意结合根与系数的关系可得，然后利用完全平方公式与立方和公式可求得结果； （2）分，，，和五种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为的图象与x轴交于，两点， 所以， 所以， 所以； （2）由，得， 即， 当时，，解得， 当时，由，得， 解得或， 当时，，则由得或， 当时，当，即时， 由，得， 当，即， 由，得，解得， 当，即时，由，得， 综上，当时，解集为，当时，解集为或， 当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是通过分类讨论方程根的大小，结合一元二次不等式的解法求解，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 【变式训练2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）回答下列问题： (1)已知不等式的解集是，求，的值； (2)对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）构造函数并作出其图象，得，从而分类讨论和两种情况，得到是方程的两根，利用韦达定理即可得解； （2）分类讨论在上的单调情况，结合条件得到关于的方程组，或分析得，进而得到，从而得解. 【详解】（1）令， 作出函数的图象，如图， 因为，的解集是， 若，则不等式的解集是两段区域，不合题意， 若，由可知此时恒成立， 又因为不等式的解集为， 所以是方程，即的两根， 则，解得或（舍去）， 综上，，. （2）令， 因为当时，的最小值是，最大值是， 若在上单调递减，则有， 两式相减，得，由于， 整理得，则，解得，则，不符合题意； 若在上单调递增，则，且， 又，解得，与矛盾，舍去； 若在上不单调，则由（1）中图象可知， 又，从而有， 所以满足，即，解得或（舍去）； 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，将问题分析转化得是方程的两根，从而得解. 【变式训练3】（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 类型二 由一元二次不等式的解确定参数 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按x2项的系数a的符号分类，即a＞0,a＝0,a＜0; 二、按判别式△的符号分类，即△＞0,△＝0,△＜0; 三、按方程ax2＋bx＋c=0的根x1，x2的大小来分类，即x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2; 例2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三个二次的关系，将不等式问题转化成方程根的问题，借助于韦达定理即可求得； （2）由（1）的结论消去，求出方程的两根，根据的取值范围分类求解不等式即得. 【详解】（1）依题意，方程有两根为和，且， 由韦达定理，解得，故； （2）由（1）已得，故由，可得， 即，因，故有. 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，，不等式的解集为. 【变式训练1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为, 综上：，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围 【变式训练2】（24-25高一上·天津·阶段练习）设函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系，结合韦达定理即可得解； （2）将不等式转化为，对的取值进行分类讨论，从而得解； （3）先由条件得到，再将不等式进行变形，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 且不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以. （2）因为， 若，则由，得， 整理得，因为，所以，， 当时，，不等式可化为，解得； 当时，，不等式可化为，解得或； 当时，，不等式可化为，解得； 当时，，不等式可化为，解得或； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）因为， 所以，即，所以， 因为，，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，时，等号成立 当时，，当且仅当，时，等号成立 因为，所以的最小值为. 【变式训练3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知不等式的解集为，求的最小值． （2）设不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）为方程的两个根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用基本不等式求出最小值； （2）分与两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）由题意得为方程的两个根， 由韦达定理得， 则， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4； （2），当时，， 解得， 当时，要满足，则， 解得， 故实数a的取值范围是. 类型三 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 例3（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）（1）若命题：，是假命题，求的取值范围； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依题意可得，是真命题，再分、两种情况讨论，当时，解得即可； （2）参变分离可得，成立，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】（1）若命题：，是假命题， 则命题：，是真命题， 当时恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，即的取值范围为； （2）因为，成立， 即，成立， 所以，成立， 又，当且仅当，即时取等号，即，所以， 即实数的取值范围为. 【变式训练1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象得出其对称轴和经过的点，联立方程即可求得； （2）代入整理成恒成立，结合图象可得，解之即得； （3）代入整理成，将其转化成求在上的最大值即得. 【详解】（1）由图象知，函数的对称轴为，且图象经过点， 故可解得，则函数的解析式为； （2）由，可得，依题意，恒成立， 故，解得，即的取值范围为； （3）由可得， 因，依题意，，使成立. 而，不妨设，因，则， ，设， 因则，当且仅当时等号成立， 即当时，，故的最大值为， 依题意，，即的取值范围为. 【变式训练2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求x的取值范围； (2)若，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式得解； （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. 【详解】（1）（1）当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. （2）当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. 【变式训练3】（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析． 【变式训练4】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）解法1：由求得. 解法2：在中令得结果. （2）根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性． （3）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值. 【详解】（1）解法1：， 由得， 故. 解法2：在中令得. （2）证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为， ∴，且，∴. 充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， ∴方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得：恒成立，因为a不为0， 所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 【点睛】关键点睛：求的最大值时，利用将代换为，从而由三个量化为两个量， 再将化为，将视为一个量，从而最终化为只有一个量的函数，对多元变量求最值问题时关键是转化变量减少变量的个数，最终化为只有一个量的函数求最值. 类型四 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 1.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一:若在集合 A中恒成立,即集合A是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围); 方法二:转化为函数值域问题,即己知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即 m≤a. 2.一元二次不等式在区间上恒成立的条件 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒ 或或 (2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒ 或 或 例4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 【变式训练1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知 (1)当时，不等式的解为，试求 (2)若，当时，有恒成立，试求的最小值 (3)设，当时，恒成立，试求的取值范围 【答案】(1) (2)时，无最小值；时，最小值为2， (3) 【分析】（1）由题设的解集为，列方程组求参数即可； （2）讨论与零的大小，结合不等式恒成立，分别得到、在上恒成立、在上恒成立，进而分别求出在对应情况下的最小值； （3）讨论与零的大小，问题转化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应的参数范围即可； 【详解】（1）当时，的解集为， 所以，解得， （2）由时，有恒成立，且， 当，则恒成立，满足题意，此时，无最小值； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，当且仅当时等号成立， 此时的最小值为2； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，同上分析可知，，故无最小值， 综上，时，无最小值；时，最小值为2. （3）由题设，， 当时，，对任意，恒成立； 当时，对任意，，即恒成立， 所以，解得，故； 当时， 若，则，，则，即， 因为在上单调递减，所以，又，所以； 若，则，，则，即， 因为在上单调递减，所以，又，所以； 若，则时，，即时，即，无解； 综上. 【变式训练2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 【变式训练3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可； （2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）关于的方程有两个实数根，， 则，解得， 又， 则，即， 综上所述，实数的取值范围为； （2）方法一：不等式可化为（*）， 令， 由题知对恒成立 则有， 得， 得或， 综上得的取值范围是； 方法二：不等式可化为（*）. 由题知不等式（*）对恒成立. ①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）； ②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意； ③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍）， 综上得的取值范围是. 类型五 一元二次不等式在某区间上有解问题 常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理,具体如下: 1、 对任意的,恒成立; 若存在,有解; 若对任意,无解. 2、 对任意的,恒成立; 若存在,有解; 若对任意,无解. 例5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 【变式训练1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题，成立.命题，不等式恒成立 (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由，运算求得答案； （2）求出的值域，若为真命题求出的范围，分真，假和假，真两种情况讨论求出答案. 【详解】（1）若为真命题，则， 解得或. 所以实数的取值范围为. （2）当时，， 若为真命题，则，解得或， 当真，假时，则，可得或， 当假，真时，则，可得， 综上，实数的取值范围是. 【变式训练2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：求解含参数的不等式恒成立、能成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解，分离参数后，可以利用函数的最值来求得参数的取值范围，在求解的过程中，要注意恒成立问题和能成立问题的区别. 【变式训练3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出的取值范围. （2）令，，依题意存在，使不等式成立，分、、三种情况讨论，求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于的函数，， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即的取值范围为． （2）令，， 因为存在，使不等式成立， 所以存在，使不等式成立， 函数开口向上，对称轴为， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，，解得或， 所以， 综上可得，即的取值范围为. 类型六 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 例6．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 【变式训练1】（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 【变式训练2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】(1)不动点为和； (2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式训练3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先利用一元二次方程的性质，得到，利用绝对值的几何意义求得的最小值为，根据题意，转化为，即可求解； （2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，方程的两根分别为， 则，，所以， 因为，所以， 根据绝对值的几何意义，可得， 当且仅当时，等号成立， 又因为存在，使成立，可得，解得， 所以m的取值范围为. （2）解：若，不等式等价于， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为或. 1．（22-23高一上·湖南永州·期末）已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】令，易得， 又因为的解集中恰有2个整数， 所以的解集中要么恰有两个整数，要么恰有两个整数， 当的解集中恰有两个整数时， 有，即，解得； 当的解集中恰有两个整数时， 有，即，解得； 综上：或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到，从而将问题转化为的解集中要么恰有两个整数，要么恰有两个整数，由此得解. 3．（22-23高一下·浙江·期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 . 【答案】/0.25 【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】由题设，有，又，则， 又，则， 故存在使成立，则， 所以，令，故， 所以，且， 而，仅当，即等号成立， 所以，仅当且时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值. 4．（22-23高一上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围； (2)若，，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）将，代入函数，并结合题意可转化成方程在上有解，分和两种情况进行讨论即可得到答案； （2）将，代入函数，分，，，，五种情况进行讨论，即可得到对应解集. 【详解】（1）当，时，， 因为“，使得”为真命题，即方程在上有解， 当时，，即，符合题意； 当时，解得，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. （2）当，时， 原不等式即为， ①当时，则，解得， 故不等式的解集为； ②当时，，解原不等式可得， 此时原不等式的解集为； ③当时，，解原不等式可得或， 此时，原不等式的解集为或； ④当时，原不等式即为，解得， 此时，原不等式的解集为； ⑤当时，，解原不等式可得或， 此时，原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【点睛】方法点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的 5．（19-20高一下·湖北宜昌·期中）已知，为常数，函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集； （2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围； （3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根. 【详解】（1）当时，. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 当，即时，恒成立，不等式的解集为. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）当时，，其图象的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 在上存在零点，，即得. . 当，即时，在上存在零点， 或或或， 解得或或或或. . 当，即时，在上单调递减， 在上存在零点，，即得. . 综上，. 实数的取值范围为. （3）设. 当给定时，为定值. , . 又对于给定的，且，， 在区间上单调，即在区间上单调， 在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内有一个实数根. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题. 6．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知二次函数（） (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意易得，再分离参数，结合基本不等式即可得解； （2）令，根据题意可得得解集为，则有时方程的一个解，从而可求出，再根据和即可得出答案. 【详解】（1）由，， 得，则， 则， 故对，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 因为，所以， 所以， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以 即实数a的取值范围为； （2）若，则， 令， 因为的解集为A，的解集为B，且， 所以得解集为， 所以时方程的一个解，所以， 故，， 由，得，即， 因为，所以恒成立， 即恒成立， 则，解得， 由，得不等式有解， 则，解得或， 综上所述，实数b的取值范围为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 7．（22-23高一上·广东清远·阶段练习）函数． (1)若的最小值为0，求a的值； (2)对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最小值，知函数的判别式，求解即可； （2）由题意可知，函数对称轴为直线，分类讨论当，，和时，求函数的最值列不等式组，求解即可. 【详解】（1）∵函数的值域， 所以，解得． （2）由题意可知 函数图象开口向上，对称轴为直线． ①当时，函数在上为增函数， 则，， 故，此时； ②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数， ，， 故，此时； ③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数， ，， 故，此时； ④当时，在上减函数， ∴，， 故，此时． 综上所述，实数a的取值范围是． 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$