专题06 基本不等式最值与恒成立问题（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略(人教B版2019必修第一册)

专题06 基本不等式最值与恒成立问题 目录 1 2 类型一 基本不等式“1”的妙用求最值 2 类型二 基本不等式的恒成立问题 7 类型三 对勾函数求最值 10 类型四 条件等式求最值 14 类型五 基本不等式求积的最大值 17 类型六 基本不等式求和的最小值 20 类型七 二次与二次（或一次）的商式的最值 24 类型八 基本不等式最值问题的应用 27 32 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)； (4)≥2(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b＞0)逆用就是ab≤2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； (2) ≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 类型一 基本不等式“1”的妙用求最值 “1”的代换 若题中不存在满足基本不等式的条件,则需要根据条件对式子进行恒等变形,灵活运用“1”的代换.在解题过程中,常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替. 例1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）下列选项中正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为2 D．若，且，则的最大值为7 【变式训练1】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的最大值是 ． 【变式训练2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知，. (1)若，证明； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 【变式训练3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值． 类型二 基本不等式的恒成立问题 将恒成立问题分离参数转化为最值问题，分离后，利用基本不等式求最值. 例2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）对任意的正实数x，y，恒成立，则k的最小值为 ． 【变式训练2】（19-20高二上·江西新余·期末）设正实数x，y满足，，不等式恒成立，则的最大值为 . 【变式训练3】（21-22高一上·河南·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 类型三 对勾函数求最值 当时，（当且仅当，即时取等号）． 当时，（当且仅当，即时取等号）． 例3．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【变式训练1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 【变式训练2】（23-24高一上·浙江·期中）已知正实数、满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写） 类型四 条件等式求最值 要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 例4．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【变式训练3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 类型五 基本不等式求积的最大值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例5．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【变式训练3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知正实数，则的最大值为 ，的最小值为 ． 类型六 基本不等式求和的最小值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例6．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若、、、均为正实数，则的最小值为 ． 【变式训练3】（23-24高一上·山东·期中）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明； (2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（） 类型七 二次与二次（或一次）的商式的最值 1.配凑法是指根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 2.裂项法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离，分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值. 3.分离常数法对于分子和分母都是二次式的分式，可将分子按照分母的形式进行配凑，通过分拆转化为一个常数和一个分式,再将分式的分子化为常数,然后利用基本不等式求最值. 例7．（20-21高二上·江苏淮安·期中）下列结论中，正确的结论有． A．如果，那么取得最大值时的值为 B．如果，，，那么的最小值为6 C．函数的最小值为2 D．如果，，且，那么的最小值为2 【变式训练1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【变式训练2】（21-22高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，，则的最小值为 . 【变式训练3】（2023·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 类型八 基本不等式最值问题的应用 在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点： (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量;(2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题;(3)确定变量的范围,利用基本不等式求出代数式的最值;(4)写出正确答案,回答实际问题. 例8．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【变式训练1】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（    ）    A．若，则. B．，使得 C． D．，. 【变式训练2】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【变式训练3】（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 2．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 4．（2011高一·全国·竞赛）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值是2 C．的最小值是18 D．的最小值是 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为__ 7．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 8．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 基本不等式最值与恒成立问题 目录 1 2 类型一 基本不等式“1”的妙用求最值 2 类型二 基本不等式的恒成立问题 7 类型三 对勾函数求最值 10 类型四 条件等式求最值 14 类型五 基本不等式求积的最大值 17 类型六 基本不等式求和的最小值 20 类型七 二次与二次（或一次）的商式的最值 24 类型八 基本不等式最值问题的应用 27 32 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)； (4)≥2(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b＞0)逆用就是ab≤2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； (2) ≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 类型一 基本不等式“1”的妙用求最值 “1”的代换 若题中不存在满足基本不等式的条件,则需要根据条件对式子进行恒等变形,灵活运用“1”的代换.在解题过程中,常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替. 例1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）下列选项中正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为2 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ABD 【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设，则，，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】A选项，若，则， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，若，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 但无解，故最小值取不到，C错误； D选项，设，则，， 则， 因为，所以， 其中 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故，D正确. 故选：ABD 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 【变式训练1】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 【变式训练2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知，. (1)若，证明； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）减少变量化为即可证明； （2）构造得，再利用乘“1”法即可得到答案； （3）利用，即可得到答案. 【详解】（1）由得，， 所以， 当且仅当时，取得等号. （2）由得，， 即， 所以 ，当且仅当时等号成立， 由题意可知，， 整理得， 解得或(舍去)，所以， 故实数的取值范围为. （3）因为，所以， ， 故， 当且仅当时，取得等号，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用乘“1”法得到，最后解出即可. 【变式训练3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【分析】（1）把转化为，利用题设给出的方法求和的最小值. （2）借助“1”的代换，利用，再利用不等式可判断和的大小. （3）取，，构造，利用（2）的结论，可求的最小值，再分析“”成立的条件，可得的值. 【详解】（1）由（，）可得：（，）， 所以（当且仅当即时取“”）. 所以的最小值为：. （2）因为， 所以， 因为（当且仅当时取“”）. 所以（当时取“”） 所以：（当且仅当即时取“”）. （3）取，， 由，此时，所以. 同时：，取，. 由（2）可知：，所以， 当且仅当，结合，得即时取“”. 【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用. 类型二 基本不等式的恒成立问题 将恒成立问题分离参数转化为最值问题，分离后，利用基本不等式求最值. 例2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 【变式训练1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）对任意的正实数x，y，恒成立，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】将恒成立问题分离参数转化为最值问题，分离后，利用基本不等式求最值可得. 【详解】依题意x，y为正实数，则， 则恒成立， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，且当取满足的任意正实数时等号成立. 所以. 所以，即k的最小值为． 故答案为：. 【变式训练2】（19-20高二上·江西新余·期末）设正实数x，y满足，，不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】16 【解析】由题意得，，又，多次使用基本不等式即可求出结论． 【详解】解：∵，，∴，， ∴ ， 当且仅当且且且， 即即，时，等号成立； 又不等式恒成立， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查应用基本不等式求最值，要注意等号成立的条件，考查推理能力与计算能力，属于难题． 【变式训练3】（21-22高一上·河南·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）最小值是；（2）. 【分析】（1）根据题意，将式子化为，进而通过基本不等式求得答案； （2）对式子进行参变分离，转化为求最值问题，进而求得答案. 【详解】（1）由题意可得， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 由题意可得恒成立， 令，得，则， 当且仅当，即时，等号成立. 由（1）可知，的最小值是， 故的取值范围是. 类型三 对勾函数求最值 当时，（当且仅当，即时取等号）． 当时，（当且仅当，即时取等号）． 例3．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 【变式训练1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式对选项逐个判断即可得. 【详解】对A：当时，，所以最小值不是2，故A错误； 对B：由已知可得，解得，所以， 当且仅当时成立，此时的最大值为3，故B正确； 对C：函数，设，， 在上单调递增，所以时，取最大值，故C正确； 对D： , 当且仅当时取得最小值为2，故D正确． 故选：BCD． 【变式训练2】（23-24高一上·浙江·期中）已知正实数、满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；对于D选项，由已知可得出，可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足. 对于A选项，当，时，，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，若，，则，所以，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，若，，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，，则，可得， 即，则， 又因为，则，令， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即，D对. 故选：ACD. 【变式训练3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写） 【答案】必要且不充分 【分析】根据对勾函数的性质得到，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以，又对勾函数在上单调递增， 所以， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要且不充分条件. 故答案为：必要且不充分 类型四 条件等式求最值 要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 例4．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 【变式训练1】（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【变式训练2】（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 【变式训练3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 类型五 基本不等式求积的最大值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例5．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由重要不等式可得出，可判断A选项；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性质可判断B选项；分析可知，关于的二次方程有实根，由可判断C选项；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判断D选项. 【详解】因为，，且， 对于A选项，由重要不等式可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，当且仅当时，等号成立，B对； 对于C选项，由题意可知，关于的二次方程有实根， 则，即，解得， 又因为，所以，，C对； 对于D选项，由可得， 由基本不等式可得， 可得，即， 因为，，则，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，，D对. 故选：BCD. 【变式训练1】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【变式训练2】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【变式训练3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知正实数，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】第一空直接利用基本不等式求解即可；第二空先提公因式，再利用，使得分式其次得，然后化简，利用基本不等式得，然后再构造，利用基本不等式求解即可； 【详解】由题可知，得，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 因为，得 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：对于分式型的双变量求最值问题，我们经常利用题中条件进行齐次化构造，然后再利用基本不等式求解；多次利用基本不等式求最值，我们一定要判断两个等号需要同时成立才可以取到最值. 类型六 基本不等式求和的最小值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例6．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 【变式训练1】（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 【变式训练2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若、、、均为正实数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，从后两项着手依次使用基本不等式，经过2025次计算，即可求解. 【详解】 , 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是从后两项着手依次使用基本不等式，经过2025次计算，求得所求代数式的最小值. 【变式训练3】（23-24高一上·山东·期中）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明； (2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（） 【答案】(1)不等式：已知，，则，证明见解析 (2)小明同学判断正确，理由见解析 【分析】（1）作差法比较两式的大小. （2）根据已知条件列式，代入，利用换元法构造函数，根据基本不等式求函数的最值，注意基本不等式成立的条件. 【详解】（1）不等式：已知，，则. 证明：， 因为，则，所以，即. （2）答：小明同学判断正确，理由如下： 两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值， 不妨设（），记（）， 化简得，又， 则， 当且仅当，即时，的最大值小于， 综上：添加克糖前后的两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于. 类型七 二次与二次（或一次）的商式的最值 1.配凑法是指根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 2.裂项法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离，分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值. 3.分离常数法对于分子和分母都是二次式的分式，可将分子按照分母的形式进行配凑，通过分拆转化为一个常数和一个分式,再将分式的分子化为常数,然后利用基本不等式求最值. 例7．（20-21高二上·江苏淮安·期中）下列结论中，正确的结论有． A．如果，那么取得最大值时的值为 B．如果，，，那么的最小值为6 C．函数的最小值为2 D．如果，，且，那么的最小值为2 【答案】AB 【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案； B.将其配成代入即可得其最小值； C. 函数，当且仅当此时无解 D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式. 【详解】解：对于A. 如果，那么，当时取得最大值，故正确； 对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确； 对于C. 函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误； 对于D. 如果，，且， 那么 当且仅当即时取得最小值，故错误. 故选：AB 【变式训练1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 【变式训练2】（21-22高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为且，则两边同除以，得， 又因为，当且仅当，即时等号成立，所以. 故答案为: 【变式训练3】（2023·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合立方和公式得出，由，解关于的不等式，再利用基本不等式，再解关于的不等式得出结果. 【详解】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 类型八 基本不等式最值问题的应用 在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点： (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量;(2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题;(3)确定变量的范围,利用基本不等式求出代数式的最值;(4)写出正确答案,回答实际问题. 例8．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 【变式训练1】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（    ）    A．若，则. B．，使得 C． D．，. 【答案】ACD 【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可. 【详解】因为是梯形的中位线， 所以， 因为梯形与梯形相似， 所以， 所以， 若，则，故A正确； 因为， 所以， 所以，① 因为， 所以， 所以，② 由①②得， 所以， 设梯形，，的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 所以， 所以， 解得，故C正确； 因为，由基本不等式得，，， 则，所以， 所以， 即，，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据平行线分线段成比例定理，相似，面积求出是解决本题的关键. 【变式训练2】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【分析】先用边长通过几何关系表示出所求面积，再用基本不等式即可求解，注意检验等号是否能取得 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 【变式训练3】（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1)，； (2)时，面积最小，. 【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可． （2）设圆形铁片半径为R，面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式， 可得，整理得， 又由，所以， 即函数的定义域为， 即，． （2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2， 过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则， 所以=， 因为x2＞0，由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以圆形铁片的最小面积为（cm2），    答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）． 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，，即， 当且仅当，即，时等号成立，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，则， 所以， 当时，取最小值，故C错误； 对于D，由得，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：BD. 2．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 3．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BD 【分析】举反例判断A；变形后利用基本不等式判断B；结合对勾函数的单调性可判断C；将化为，结合“1”的巧用，即可判断D. 【详解】对于A，当时，，即的最小值为2错误； 对于B，时，，则， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为，正确； 对于C，， 令，则在上单调递增， 故的最小值为，C错误； 对于D，正数满足，即， 则，当且仅当时取等号，D正确， 故选：BD 4．（2011高一·全国·竞赛）定义：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超过x的最大整数．设a，b，c为正数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意和基本不等式得出：三数中至少有一个不小于2，可判断选项A；再利用反证法和不等式性质即可判断选项B、C；举例验证选项D. 【详解】因为a，b，c为正数， 所以由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立. 从而三数中至少有一个不小于2. 不妨设， 则，故选项A错误； 对于选项B：假设 则，，， 则，，， 即，；. 由可得：； 由可得：，两者矛盾， 所以假设错误，故选项B错误； 对于选项C：假设， ①若，，， 则，， 即（1）；（2）； （3）； 结合不等式的性质： 由（1）（2）得，即， 由（1）（3）得，两者矛盾； ②若，，， 则，，， 即（4）；（5）；（6）. 由（4）（5）得，即， 由（4）（6）得，两者矛盾． 综上所述，假设错误，即，故选项C错误； 若取， 则， 从而，故选项D正确. 故选：D． 5．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值是2 C．的最小值是18 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式. 【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确； 由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由，得， 对于，由，得， ， 当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误. 故选：AC. 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 7．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设，，都是正数，求证：； （ii）已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误； （2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下： 对于，， 当且仅当，即时取等号， 此时，不满足题意， 所以该解法错误； （2）（i）由已知，，都是正数， 则，，， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立； （ii）由已知，，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 8．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为. 【分析】（1）由，得，由题意得，再录 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解； （2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由为直径，得， 由已知得 又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为， 即，，代入上式得，解得 所以表示成的函数为： （2） 令 则 又，当且仅当，即，等号成立， 所以，当时，等号成立. 所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$