精品解析：安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次素质拓展数学试题

合肥一中高三上学期数学素质拓展2 命题人、审题人：刘慧 王涣 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 4. 已知随机变量服从二项分布，且，，则（ ） A. 7 B. 3 C. 6 D. 2 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合要求． 9. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上是单调减函数 D. 函数仅有一个零点 10. 已知函数，，，则实数a的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. e 11. 已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 13. 若直线是曲线的切线，则_______． 14. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值为_______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求. 16. 在中，. （1）求； （2）若为边的中点，且，求的值. 17. 已知函数与，其中是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设为的两个不同零点，证明：． 19. 给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，．已知在处的阶帕德近似．注：，，， （1）求，，的值； （2）比较与1的大小，并说明理由； （3）求不等式的解集，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中高三上学期数学素质拓展2 命题人、审题人：刘慧 王涣 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，根据题意，列出方程求得，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】设复数， 因为，可得，可得， 解得，所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定直接写出否定命题即可. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D. 3. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和对称性，得到函数周期，再运用周期性解题即可. 【详解】函数是定义在R上的偶函数，则，由于， 则，故， 故，所以函数周期为2. 则. 故选：C. 4. 已知随机变量服从二项分布，且，，则（ ） A. 7 B. 3 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得. 【详解】由题意得，所以， 又，则，解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 所以，所以，所以． 故选：B 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 【详解】在区间上单调递增， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C. 6. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 7. 已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 又因为关于的方程至少有两个不同的实数根， 所以至少有两个不同的实数根， 即的图象与至少有两个不同的交点，所以， 又因为当时，，令，可得； 当时，，令，解得， 又因为，所以，解得． 故选:D． 8. 已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题设条件转化为，从而得到，进而得到，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】由变形得， 从而有，， 所以， 因为，所以，则， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，， 又，而， 所以， 综上，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用，由到得，是解决本题的关键. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合要求． 9. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上是单调减函数 D. 函数仅有一个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，求得，得到，求得的值，可得判定A正确；结合由，可得判定B不正确；结合和都是增函数，及为在上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合和函数的单调性，得到仅有一个零点，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，， 可得，解得，所以， 则，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，当时，， 因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数， 又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确； 对于D中，由，且和是单调递增函数， 所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，，，则实数a的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. e 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，结合导数的几何意义，求出曲线在时的切线或确定时无限接近的直线，数形结合，确定a的取值范围，结合选项，即可得答案. 【详解】时，,， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故结合指数函数以及时函数的单调性作出的图象： 因为时，，， 故设过点的切线的切点坐标为，则， 即，则该切线斜率为， 过点的切线方程为； 对于时，时，当取无限大时，趋近于0， 即无限接近于，且， 故要使得，成立， 结合图象，可得且，即， 结合选项可知，符合题意， 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由点关于的对称点在函数的图象上可得；对于B，由奇函数有，将替换为，结合的图象关于对称可得；对于C，在中将替换为，结合可判断C；对于D，利用奇偶性和对称性，结合可得. 【详解】对于A，点关于的对称点是， 因为的图象关于对称，该点在函数的图象上，所以，故A正确. 对于B，因为为奇函数，所以， 将替换为有，则. 又的图象关于对称，所以， 则，故B正确. 对于C，在中将替换为有， 由B知，，两式相减得到，故C错误. 因为为奇函数，所以， 又的图象关于对称，从而，故由C得 ，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：抽象函数性质的综合性问题，主要采取代换、迭代的方法研究性质或求值.本题关键在于灵活运用的图象关于对称，以及奇函数的对称性进行灵活代换. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】44 【解析】 【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出，再利用前n项和公式和性质求出. 【详解】设公差为，有，可得， 有，. 故答案为：44 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换． 13. 若直线是曲线的切线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义得到方程组，解得即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则，即， 当时，则，，所以，， 所以在处的切线为，符合题意； 当，则，则，所以，则， 则，此时无解，不符合题意，故舍去； 综上可得. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由函数奇偶性可得方程组，从而解出解析式，即可得出结果. 【详解】∵是偶函数， ∴① ∵是奇函数， ∴② ①②得： ∴ 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式； （2）根据（1）的结果可知，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得：，即， 所以， 且符合， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以 . 16. 在中，. （1）求； （2）若为边的中点，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案； （2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 即，， 又因为， 所以， 解得，又因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为为边的中点，， 所以, 设, 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即. 17. 已知函数与，其中是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义进行求解即可； （2）根据零点的定义转化为方程只有一个实根，利用换元法转化为整式方程有实根问题进行求解即可. 【详解】（1）∵是偶函数，∴，∴， ∴∴，即对恒成立，∴； （2）∵只有一个零点， ∴方程有且只有一个实根， ， 即方程有且只有一个实根， 令，则方程有且只有一个正根， ①当时，，不合题意； ②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根． 由，得或， 若，则不合题意，舍去；若，则满足条件． 若方程有两根异号，则，∴． 综上所述，实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设为的两个不同零点，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：要证明， 即证， 只需证和． 由（1）知，当，时，，即， 所以． 要证，即证． 因为为的两个不同零点，不妨设， 所以，， 则， 两边同时乘以，可得， 即． 令，则． 即证，即证， 即证． 令函数，，则， 所以在上单调递增，所以． 所以．故． 【解析】 【分析】（1）分离参数求解参数的取值范围，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可； （2），将证明不等式转化为证明和，根据（1）的结果可证，代入零点，得，，两式相减，化简得，令，即证明，通过构造函数，利用导数求解函数在区间上的最值，即可证明. 【小问1详解】 解：当时，， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，即在上恒成立，则， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减. 故， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 19. 给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，．已知在处的阶帕德近似．注：，，， （1）求，，的值； （2）比较与1的大小，并说明理由； （3）求不等式的解集，其中． 【答案】（1），， （2），理由如下： 由（1）知，即证， 令，则且， 即证时，记， 则， ∴在上单调递增，上单调递增， 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时，， ∴成立，即成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解； （2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式； （3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式. 【小问1详解】 ∵，∴，， ∵，则， 由题意得：，，， ∴，解得； 【小问2详解】 ，理由略； 【小问3详解】 由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或， 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是， 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，即，， ∴，， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是， 综上可得：不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $