精品解析：广东省广州市白云区2024-2025学年上学期八年级数学第一次月考试卷

2024－2025学年第一学期第一次综合训练试卷 八年级·数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 4 cm，6 cm，10 cm B. 4cm，5cm，6cm C. 3 cm，5 cm，9 cm D. 2cm，5 cm，8 cm 3. 如图，在中，，点在的延长线上，，则是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 B. 三角形的三条角平分线交于一点 C. 任意三角形的外角和都是360° D. 三角形一个外角大于任何一个内角 5. 如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ） A. ， B. ， C ，， D. ，， 7. 如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，于D，于P，且，则与全等的理由是　　 A. SSS B. ASA C. SSA D. HL 9. 如图，中，，，沿折叠后，点落在的内部点的位置，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 12. 如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为_____． 13. 如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为___________ 14. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、BF交于点O，则∠AOF＝_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________． 16. 如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 如图所示，已知是的边上的中线． （1）作出的边上的高． （2）若的面积为6，求的面积． 18. 如图，已知点E、C在线段上，，，．求证：． 19. 已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，与交于点G． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20. 如图，D是的边上一点．，交于点E，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）【观察发现】如图①与的数量关系是_________； （2）【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数． 23. 如图1，在中，平分，于E，于F，，， （1）求证：． （2）若面积为9，求的面积． （3）爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即． 小明的证明如下：请填空补全证明过程 如图2，过点A作于点G， 由（1）得：， ∴， ∵ ，又 ． ∴． 24. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． （1）如图1，当点在上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． （1）若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． （2）如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． （3）如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样数量关系?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期第一次综合训练试卷 八年级·数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 4 cm，6 cm，10 cm B. 4cm，5cm，6cm C. 3 cm，5 cm，9 cm D. 2cm，5 cm，8 cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A选项：4+6=10，不能组成三角形； B选项：4+5〉6，能组成三角形； C选项：3+5<9，不能组成三角形； D选项：2+5<8，不能组成三角形． 故选D． 【点睛】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 如图，在中，，点在的延长线上，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 B. 三角形的三条角平分线交于一点 C. 任意三角形的外角和都是360° D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线，角平分线，高的定义即可判断A、B，根据三角形内角和外角的定义即可判断C、D. 【详解】解：∵三角形的中线、角平分线、高都是线段， ∴选项A不符合题意； ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴选项B不符合题意； ∵任意三角形的外角和都是360°， ∴选项C不符合题意； ∵三角形的一个外角不一定大于任何一个内角， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了与三角形有关的性质与概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 5. 如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 6. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 7. 如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得：，根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，A选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，B选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，C选项正确，不符合题意； 通过、不能证明，D选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 8. 如图，于D，于P，且，则与全等的理由是　　 A. SSS B. ASA C. SSA D. HL 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意可得：OD=OP，OA=OA，则Rt△AOD≌Rt△AOP(HL定理)． 故选D． 9. 如图，中，，，沿折叠后，点落在的内部点的位置，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出，然后可得的度数，由折叠的性质得的度数，进而可得的度数，再根据平角的概念进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 10. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①和是等底同高的两个三角形，其面积相等；②注意区分中线与角平分线的性质；③由全等三角形的判定定理证得结论正确；④由③中的全等三角形的性质得到． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵点A到、的距离相等， ∴和的面积相等，故①正确； 若在中，当时，不是的平分线，即，故②不一定正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 无法证明，故④不一定正确； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 12. 如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，∵直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为___________ 【答案】50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据全等三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵∠A＝70°，∠ACB＝60°， ∴∠B＝50°， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠E＝∠B＝50°， 故选B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、BF交于点O，则∠AOF＝_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】由正六边形的性质得出∠BAF＝∠CBA＝120°，AF=BA=BC,由等腰三角形的性质得出∠AFB＝∠BAC＝30°，求出∠OAF =90°,即可求出∠AOF的度数． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝∠CBA=120°，AF=BA=BC， ∴∠AFB＝∠BAC＝30°， ∴∠OAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣∠AFB＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，明确正六边形的每条边相等，每个角相等是解答此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________． 【答案】(6，6) 【解析】 【详解】如图，过点C作CE⊥OA，CF⊥OB， ∵∠AOB=， ∴四边形OECF是矩形， ∴∠ECF=， ∵∠ACB=， ∴∠ACE=∠BCF 在△ACE和△BCF中, ∴△ACE≌△BCF， ∴CE=CF， ∵四边形OECF是矩形， ∴矩形OECF是正方形， ∴OE=OF， ∵AE=OE−OA=OE−3，BF=OB−OF=9−OF， ∴OE=OF=6， ∴C(6，6)， 故答案为：(6，6). 16. 如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是_________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 如图所示，已知是的边上的中线． （1）作出的边上的高． （2）若的面积为6，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质， （1）根据三角形中高的定义来作高线； （2）根据三角形的中线的性质求得即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：∵是的边上的中线， ∴． 18. 如图，已知点E、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】可证，，即可求证． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中 ， （）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 19. 已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，与交于点G． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据线段的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】证明：（1）， ，即， 在和中，， ； （2）由（1）已证：， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 20. 如图，D是边上一点．，交于点E，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长是3； 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ， ∴，即的长是3． 21. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）证明： 在与中 （2） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 22. 在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）【观察发现】如图①与的数量关系是_________； （2）【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数． 【答案】（1） （2）的大小不变， 【解析】 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 的大小不改变， 如图①，作交于点F，则， ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． 23. 如图1，在中，平分，于E，于F，，， （1）求证：． （2）若的面积为9，求的面积． （3）爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即． 小明的证明如下：请填空补全证明过程 如图2，过点A作于点G， 由（1）得：， ∴， ∵ ，又 ． ∴． 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的面积； （1）证明，，再证明即可； （2） 由，可得，由（1）知：，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）直接利用，结合同高的两个三角形的面积公式填空即可． 【小问1详解】 证明：∵ 平分， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，过点A作于点G， 由（1）得：， ∴， ∵ ，又 ， ∴． 24. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． （1）如图1，当点在上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点 ， 在和中， ， ， ， ， 【小问2详解】 根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． （1）若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． （2）如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． （3）如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】（1），， （2）是定值，为2 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【小问1详解】 解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． 【小问2详解】 解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． 【小问3详解】 解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$