精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年上学期八年级数学9月月考试题

哈尔滨市第六十九中学校2024—2025学年度（上）学期八年级数学学科九月学科活动 一、选择题：（每题3分，共27分） 1. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆 4. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是 A. 19cm B. 23cm C. 19cm或23cm D. 18cm 6. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 7. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 50 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　　　） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 9. 如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　） A. 30° B. 15° C. 20° D. 35° 二、填空题：（每题3分，共27分） 10. 计算：_______． 11. 小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是 ，则电子表的实际读数是__________． 12. 若，，则＝_____． 13. 如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C _____海里． 14. 如图，中，平分，平分，过点O作交于点M交于点N，若周长为15，周长为24，则_____． 15. ，则_______． 16. 个底边长为，腰长为的等腰拼成如图所示，则图中的所有线段之和是_______． 17. 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点坐标为_______． 18. 如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为_______． 三、解答题（19、20、21题各6分、22、23题各7分，24、25、26题各8分，27题10分） 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作直线，画出点关于直线的对称点，并写出点的坐标． 21. 若，，求的值． 22. 如图，点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 阅读理解：规定两数，之间的一种运算，若，记作．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则______． （2）若，，，请推理，，三个量的数量关系． 24. 已知：和都是等腰直角三角形，，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N. (1)如图1，求证：AE=BD； (2)如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 25. 2025年亚冬会将于2月7日~14日在哈尔滨市举行，为了抓住这个商机，某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且用于购买这100件纪念品的资金不超过6670元，则该商场最多能购进甲种纪念品多少件？ 26. 数学课上，刘老师举了下面两个例题： 例1． 在等腰中，，求的度数．（只有一个：）； 例2． 在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）； 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下一题： （1）变式：已知：在等腰中，，求的度数．请你解答此变式题： （2）探索：在解（1）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题． 27. 我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？ 已知：如图1，中，，，为的中点，为上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2024—2025学年度（上）学期八年级数学学科九月学科活动 一、选择题：（每题3分，共27分） 1. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】前三个均是轴对称图形，第四个不是轴对称图形， 故选C. 【点睛】本题考查的是轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 3. 在下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A.等腰三角形有1条对称轴. B.等边三角形有3条对称轴. C.正方形有4条对称轴. D.圆有无数条对称轴. 故选D. 4. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点M（-5，3）关于x轴的对称点的坐标是（-5，-3）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题，比较简单． 5. 等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是 A. 19cm B. 23cm C. 19cm或23cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.） 【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论. 6. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 7. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可． 【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10． 故选：B 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　　　） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【详解】解：设∠A＝x°， ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x＋2x＋2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴∠DBC＝36°， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键． 9. 如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　） A. 30° B. 15° C. 20° D. 35° 【答案】A 【解析】 【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小． 【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值， 连接BD交MN于P， ∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴PA=PC， ∴ 【点睛】考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可. 二、填空题：（每题3分，共27分） 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是 ，则电子表的实际读数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数． 【详解】解：依题意，电子表的实际读数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键． 12. 若，，则＝_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C _____海里． 【答案】8. 【解析】 【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠ACD=42°，再利用三角形外角性质可求出∠ABC=42°，则∠ABC=∠A，于是可判断△BAC为等腰三角形，所以BC=BA=8. 【详解】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠ACD=42°， ∵∠NBC=∠A+∠ABC， ∴∠ABC=84°-42°=42°， ∴∠ABC=∠A， ∴BC=BA=8， 即船距离灯塔C8海里． 故答案为8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．也考查了方向角． 14. 如图，中，平分，平分，过点O作交于点M交于点N，若周长为15，周长为24，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平分，平分且，再结合等角对等边可证，得到的周长，根据△ABC的周长即可求得BC． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为24， ∴， ∵周长为15， ∴， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解答本题的关键． 15. ，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，逆用幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：4． 16. 个底边长为，腰长为的等腰拼成如图所示，则图中的所有线段之和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出1个等腰三角形，2个等腰三角形，3个等腰三角形的线段之和，进而得到规律进行求解即可． 【详解】解：由图可知：当有1个等腰三角形时，线段和为：， 当有2个等腰三角形时，线段和为：， 当有3个等腰三角形时，线段和为：， ∴当有n个等腰三角形时，线段和为：， 故答案为：． 17. 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定以及性质，正确作出图形是解题的关键．根据题意作出图形，点N和即为所求，过M作轴于A，过N作轴于B，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到，同理可得． 【详解】解∶根据题意画出图形，点N和即为所求， 过M作轴于A，过N作轴于B， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 故答案为∶ 或 18. 如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，则 设，则，，可证明；可设，则，，，根据三角形面积得到，或（舍去），即． 【详解】解：如图所示，过点D作交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴ 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴可设， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（19、20、21题各6分、22、23题各7分，24、25、26题各8分，27题10分） 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则，是解题的关键： （1）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）先进行幂的乘方的运算，再进行同底数幂的乘法运算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）作直线，画出点关于直线的对称点，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称： （1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所作图形，画出点关于直线的对称点，再根据图形写出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵与关于x轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：根据题意可得点C和点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 21. 若，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，有理数的乘方运算，代数式求值；根据有理数的乘方得出，解一元二次方程，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 22. 如图，点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据等边对等角，利用三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 阅读理解：规定两数，之间的一种运算，若，记作．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则______． （2）若，，，请推理，，三个量的数量关系． 【答案】（1）①27，② （2） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用： （1）根据新运算，得到，进行求解即可； （2）根据新运算，，根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用进行判断即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：27 ②∵， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 已知：和都是等腰直角三角形，，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N. (1)如图1，求证：AE=BD； (2)如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 【答案】 （1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE， 在△ACE与△BCD中， ∵ ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， （2）△ACB≌△DCE（SAS），△EMC≌△BCN（ASA），△AON≌△DOM（AAS），△AOB≌△DOE（HL） 【解析】 【详解】解：（1）略 （2）∵AC=DC， ∴AC=CD=EC=CB， ∵∠ACB=∠DCE， △ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC， ∴∠DOM=∠MCE=90°， ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，BC=EC，∠MCE=∠NCB， ∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM=CN， ∴DM=AN， ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD=∠CDB， ∴△AON≌△DOM（AAS）， ∴AO=DO， ∵DE=AB， ∴△AOB≌△DOE（HL） 25. 2025年亚冬会将于2月7日~14日在哈尔滨市举行，为了抓住这个商机，某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且用于购买这100件纪念品的资金不超过6670元，则该商场最多能购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元 （2）该商场最多能购进甲种纪念品62件 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元，根据购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元，列出方程组进行求解即可； （2）设商场购进甲种纪念品件，根据购买这100件纪念品的资金不超过6670元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元，由题意，得： ，解得：， 答：购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元； 【小问2详解】 解：设商场购进甲种纪念品件，由题意，得：， 解得：； 答：该商场最多能购进甲种纪念品62件． 26. 数学课上，刘老师举了下面两个例题： 例1． 在等腰中，，求的度数．（只有一个：）； 例2． 在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）； 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下一题： （1）变式：已知：在等腰中，，求的度数．请你解答此变式题： （2）探索：在解（1）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，分类讨论的思想，是解题的关键： （1）分为顶角和底角，2种情况进行讨论即可； （2）分，以及，两种情况作答即可． 【小问1详解】 解：当为顶角时，则：； 当为底角，为顶角时：， 当，为底角时，； 综上：； 【小问2详解】 ①当时，此时只能是顶角，为底角，度数唯一； ②当时，此时为等边三角形，，度数唯一； 综上：或． 27. 我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？ 已知：如图1，中，，，为的中点，为上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴都是直角三角形， ∵，为的中点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ （2） 证明：∵，， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质可得，等边对等角可得，证明，可得则； （2）根据（1）得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （3）连接，，过点分别作的垂线，证明平分，可得，进而证明，得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接，，过点分别作的垂线， ∵ ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ∴由（1）可得， ∴ ∴平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质与判定，平行线的性质，等边对等交，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $