第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 2．若，则锐角A的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 5．如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 7．如图，在等腰 中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，且经过点，O为坐标原点，则（　　）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，于，平分交于，，．则的值为（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 10．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．在中，，，，则的正切值为 ． 12．如图，在中，，，，则 ． 13．已知，均为锐角，且，则 ． 14．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为 ． 15．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ．    18．如图，在中，，于点D，E为AC边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．计算： (1)； (2) 20．在中，，求的长． 21．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0. (1)试判断△ABC的形状； (2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值． 22．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 23．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3； (2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹） 24．如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 25．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离； (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 26．如图1，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，直线交直线于点C，D是上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值； (3)在（2）条件下，P在直线上，且，求点P的坐标． 27．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 28．如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足． (1)①求证：； ② ； (2)如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)如图3，菱形中，交的延长线于点H ．若，对角线， P、Q分别是线段和上的点，， ，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解． 【解析】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都扩大5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：D． 2．若，则锐角A的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，A为锐角，由特殊角的三角函数值即可解答． 【解析】解：，A为锐角， 由特殊角的三角函数值知：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答关键． 3．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别写出、 、中，关于的比值． 【解析】， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，． 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的比值是解题的关键． 4．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值比较即可． 【解析】解：特殊角的三角函数值如下表所示： 角度三角函数名 由表格可知： 选项A错误，正确应为：； 选项B错误，正确应为：； 选项C错误，正确应为：； 选项D正确， 故选D． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．也可以利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小． 5．如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；等角对等边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比．根据三角形外角的性质和等角对等边易得．那么利用的正弦函数可求得长，也就是小岛到河岸的距离． 【解析】解：，， ， 米， 由题意得 米． 故选：A． 6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解． 【解析】解：过A作于D，    在直角中，，， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键． 7．如图，在等腰 中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，根据等腰三角形三线合一，求出，最后根据正切的定义即可求解． 【解析】解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，求角的正切值，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”，正确作出辅助线，构造直角三角形求解． 8．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，且经过点，O为坐标原点，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，根据点，得出，，求出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可． 【解析】解：过点B作轴于点C，如图所示：    则， ∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，求三角函数值，解题的关键是熟练掌握三角函数定义． 9．如图，在中，，于，平分交于，，．则的值为（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据正弦的定义得出，设，则，勾股定理求得，，，过点作，交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【解析】于， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ， 在中，， ，解得（不合题意，舍去）， ，，， 过点作，交的延长线于点，    平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握是解题的关键． 10．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，过点作，根据，不妨设，则，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，三角函数求出的长，再求出的长，利用正切的定义求解即可． 【解析】解：设交于点，过点作， 大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，，， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题 11．在中，，，，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理的含义，熟练掌握定义是解题的关键．利用勾股定理先求解，再根据计算即可． 【解析】解：如图， ∵，，， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【解析】解：在中， ． 故答案为：． 13．已知，均为锐角，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【解析】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 14．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为 ． 【答案】 【分析】作DE∥AC交AB于E，如图，根据平行线的性质得∠ADE＝90，由点D是BC的中点得到DE为△ABC的中位线，则DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根据正切的定义得tan∠EAD＝＝，设DE＝x，则AD＝2x，根据勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，则DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根据勾股定理计算出CD＝，再利用BC＝2CD计算即可． 【解析】作DE∥AC交AB于E，如图， ∵DA⊥AC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE＝90， ∵点D是BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2， 在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝， 设DE＝x，则AD＝2x， ∵AD2＋DE2＝AE2， ∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2， ∴DE＝2，AD＝4， ∴AC＝2DE=4， ∴CD＝， ∴BC＝2CD＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解． 15．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案． 【解析】解：由题意得：，，，， 在中， ， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴旗杆的高度为． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【解析】解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、直角三角形的性质，延长交轴于，由菱形的性质得到，轴，再由得到，根据含角的直角三角形的三边的关系得到，，计算出点的坐标，再代入解析式即可求出的值，熟练掌握菱形的性质以及含角的直角三角形的三边的关系是解此题的关键． 【解析】解：延长交轴于，如图，    ∵菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上， ， 轴， ， ， 顶点的坐标为， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 在中，， 点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 18．如图，在中，，于点D，E为AC边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则 ． 【答案】 【分析】过点G作，交延长线于H，设，则，证明四边形为菱形，得到和，求出，，，然后由菱形性质得，证，求出，，最后由锐角三角函数定义即可得出结果． 【解析】解：过点作， 交延长线于，如图所示： 设，则， 由翻折可得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 又∵ ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，作辅助线并证明是解题的关键． 三、解答题 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； 【解析】（1）解： （2） 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟练的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键. 20．在中，，求的长． 【答案】 【分析】由，求解 再利用勾股定理求解即可得到答案． 【解析】解： ， 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 21．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0. (1)试判断△ABC的形状； (2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值． 【答案】(1)△ABC是锐角三角形；(2). 【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解析】（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0， ∴tanA=1，sinB=， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形； （2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°， ∴原式=（1+）2-2-1 =． 22．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 23．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3； (2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作； （2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解． 【解析】（1）如图，点C即为所求作． 理由，,， ， ， （2）如图，∠DAB即为所求作． 理由，， ，， , 是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键． 24．如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形与正切．熟练掌握相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角 三角形，正切定义，是解决问题的关键． （1）根据中点性质得到，根据，得到，根据，即得； （2）根据相似三角形性质，得到，得到，得到，根据勾股定理得到，，即得． 【解析】（1）∵，  E为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 25．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离； (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 【答案】(1)点P到海岸线l的距离为（-1）km； (2)点C与点B之间的距离为km． 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可； （2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=1km，再解Rt△BCF，得出BC即可． （1） 解：如图，过点P作PD⊥AB于点D． 设PD=xkm． 在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°， ∴BD=PD=xkm． 在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°， ∴AD=PD=xkm． ∵BD+AD=AB， ∴x+x=2， x=-1， ∴点P到海岸线l的距离为（-1）km； （2） 解：如图，过点B作BF⊥AC于点F． 根据题意得：∠ABC=105°， 在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°， ∴BF=AB=1km． 在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°． 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°， ∴BC=BF=km， ∴点C与点B之间的距离为km． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 26．如图1，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，直线交直线于点C，D是上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值； (3)在（2）条件下，P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是一次函数综合题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等． （1）由勾股定理可求，即点点用待定系数法可求直线解析式； （2）设，则可求出，进而得到，，据此可得答案； （3）过点作，过点作轴，设点，解直角三角形得到，设，则，用勾股定理建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【解析】（1）解：解：， ∴， ∴ 设直线解析式为：， ∴， ∴， ∴直线解析式为： ． （2）解：设， 在中，当时，，当时， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：过点作于H，过点作轴于T， 设点， 在中，， 在中，， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 解得：， ∵， ∴， 则 ∴． 27．已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2) 【分析】（1）①根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到； ②延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论； （2）根据条件推出，得到．由及．建立关于的方程，求解的值即可． 本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题． 【解析】（1）解：在矩形中， ． ． ， ． ， ， ． ， ， 即． ②如图，延长，交于点． 在矩形中，． ． 在和中， ， ． ． 中， ． ， ． ． （2）解：在矩形中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 且，， ， ． ， 设， 则． 解得或（舍． ． 28．如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足． (1)①求证：； ② ； (2)如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)如图3，菱形中，交的延长线于点H ．若，对角线， P、Q分别是线段和上的点，， ，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①利用正方形性质得到，进而利用等量代换得到，即可证明； ②利用正方形性质和勾股定理得到，再根据相似三角形性质求解，即可解题； （2）连接交于点，利用矩形的性质以及等腰三角形性质证明，利用勾股定理算出，最后利用相似三角形性质求解，即可解题； （3）连接交于点，利用勾股定理结合三角函数得到，再结合菱形的性质证明，利用等面积法，进而得到，最后利用相似三角形求解，即可解题． 【解析】（1）解：①四边形为正方形，，是对角线， ， ， ， ， ， ； ②四边形为正方形， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：连接交于点， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：连接交于点， 四边形为菱形，，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为菱形，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等腰三角形性质，三角函数运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$