第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型突破（十类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 要点： （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点： 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. （3）图像法解二元一次方程组的一般过程： ①把二元一次方程化成一次函数的形式．  ②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点． ③交点坐标就是方程组的解． 要点： 二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解. 三、实际问题与二元一次方程组 要点： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 四、二元一次方程（组）与一次函数 1.二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. （2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程. 要点： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 2. 二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3.用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 五、三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 要点：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 03 题型归纳 题型一 二元一次方程组的有关概念及应用 例题 1．下列方程组是二元一次方程组的有(     )个 (1) (2) (3) (4) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的概念求解即可． 【解析】（1）、（3）是二元一次方程组； （2）是三元一次方程组； （4）是二元二次方程组． 故选∶B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的概念，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的概念． 巩固训练 2．已知方程是二元一次方程，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据二元一次方程的定义得出，继而求出m、n的值，即可求解． 【解析】∵方程是二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程和求代数式的值，熟练掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程是解题的关键． 3．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程逐一判断即可． 【解析】解：①；⑥是二元一次方程，故符合题意； ②，不是整式方程，不合题意； ③，④，⑤；次数不为1，不是二元一次方程，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键． 4．方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可． 【解析】解：符合二元一次方程组的定义； 中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组； 符合二元一次方程组的定义； 中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组； 综上，是二元一次方程组的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组． 5．若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【解析】解：∵方程是二元一次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键． 题型二 解二元一次方程组 例题 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题干思路直接作答即可． 【解析】， 方程①代入②中，得：， 去括号为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号． 巩固训练 7．在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【解析】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 8．解二元一次方程组，下列能消元的是（    ） A．①+②×2 B．①-②×2 C．①×2+② D．①×2-② 【答案】A 【分析】分别将方程组代入各选项的式子中，计算即可求解． 【解析】解：A.由①+②×2可得：，消去了y，故符合题意； B.由①-②×2可得：，没有消去未知数，不合题意； C.由①×2+②可得：，没有消去未知数，不合题意； D.由①×2-②可得：，没有消去未知数，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的解题步骤是解决问题的关键． 9．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把与的值代入已知方程计算即可求出的值． 【解析】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟记方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 10．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【解析】（1）解： 把代入得， 解得， 把代入得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 把代入得， ， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查利用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，能够根据所给方程组的特点选择合适的方法是快速解题的关键． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程化简为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将方程化简为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解析】（1）解：整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 原方程的解为； （2）解：整理得：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 原方程的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组—加减消元法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 12．小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】(1)等式性质2，等式性质1 (2)不正确，第②步错误，见解析 【分析】（1）根据等式性质即可得出答案； （2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可． 【解析】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2； ，得，该步骤利用的是等式性质1； 故答案为：等式性质2；等式性质1； （2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型三 二元一次方程组的代数应用 例题 13．若是关于、的方程组的解，则、的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【解析】解：将代入方程组，可得： 解得 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，二元一次方程组的解，解题的关键是理解方程解的含义，正确得到关于的方程组． 巩固训练 14．已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 【答案】． 【分析】根据方程组的解相同，得到新的二元一次方程组，进而求得，再代入含的方程，即可求出m的值． 【解析】解：两个方程组的解相同， 可得方程组， 解得：， 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是根据已知条件得到新的方程组并求解． 15．已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【解析】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 16．已知 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，由题意得，求解即可，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 题型四 抄错、遮住问题 例题 17．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入方程中求出c的值，再把和分别代入方程中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【解析】解：把代入方程中得，解得， 把和分别代入方程得， 解得， 故选:C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组． 巩固训练 18．解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　） A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和 【答案】D 【分析】根据解的定义，代入确定y，得到方程组的解，再代入覆盖的方程计算即可． 【解析】把代入中得：， 故方程组的解为， 故★表示的数为； 把代入中得：， 故选D． 【点睛】本题考查了方程组的解即满足方程组中每一个方程的一组未知数的值，正确理解定义应用定义是解题的关键． 题型五 二元一次方程组的实际应用 例题 19．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数；茶壶量茶杯量，据此求解即可． 【解析】解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人． ， 故选：C． 巩固训练 20．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 【答案】 【分析】本题考查路程，时间与速度的关系，二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立二元一次方程组； 根据速度时间路程，设上山路为，下山路为，列方程求解即可； 【解析】解：设上山路为，下山路为 得； 解得： 故 故答案为： 21．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【解析】解：由题意得 故选A． 22．小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，解题关键是根据题意找出等量关系，列出正确的二元一次方程．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据“两人一共投中了20次，爸爸的得分比小华的得分多4分”列方程组即可． 【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 题型六 二元一次方程组的几何应用 例题 23．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ． 【答案】120厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长（厘米）， 故答案为：120厘米． 巩固训练 24．用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和平面直角坐标系，能用含有未知数的代数式表示出等量关系得到二元一次方程组是解题的关键． 设长方形纸片的长为，宽为，点到轴的距离为5，到轴的距离为1，可得关于和的二元一次方程组，求得和的数值，结合点在平面直角坐标系中的位置，即可求得点的坐标． 【解析】解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意，得， 解得， ， 又点在第二象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 25．如图，在三角形中，D，E分别为边上的点，且，连接，使得交于点F，已知三角形的面积为，那么三角形的面积为 ．    【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，连接，先根据题意得到，，，设，根据图形面积之间的关系得到，解方程组即可得到答案． 【解析】解；如图所示，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60．    题型七 二元一次方程组与一次函数 例题 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【解析】解：∵直线与直线交于点， ∴将代入， 得：， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为， 故选：C． 巩固训练 27．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式求出点C坐标，根据两函数交点坐标与方程组的解得关系即可求解． 【解析】将代入得：， 解得：， ∴方程组的解是， 故选B． 【点睛】本题考查两函数的交点坐标与方程组的解的关系，掌握两函数的交点坐标与方程组的解是解题关键． 28．已知直线：经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点P的坐标代入直线的解析式求解即可． 【解析】（1）把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式是； （2）把点代入直线，得， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和图象上点的坐标特点，熟练掌握函数图象上的点的坐标符合函数解析式是关键． 29．已知直线和直线， (1)当 时，与相交于一点，这个点的坐标是 ； (2)当 时，，此时方程组的解的情况是 ； (3)当 时，与重合，此时方程组的解的情况是 ． 【答案】(1)；， (2)，；无解 (3)，；方程有无数个解 【分析】（1）若两条直线有交点，那么它们的倾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，从而也可以求出的值； （2）若两条直线平行，那么它们的倾斜程度必然是相等的，且，此时这两条直线是没有交点的，相信你能得出方程组解的个数； （3）若两条直线是重合的，则它们的倾斜程度相等，且，此时这两条直线有无数个交点，方程组解的个数也就明确了． 【解析】（1）解：当时，两直线相交得： ． 移项、合并同类项得： ， 两边同时除以得： ， 将代入直线中， 解得：， 故与的交点坐标是，； 故答案为：、，； （2）解：当且时，，此时这两条直线没有交点，即方程组无解； 故答案为：，；无解； （3）解：当且时，这两条直线是重合的，故方程组有无数个解． 故答案为：，；方程有无数个解． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 30．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．    (1)求点A的坐标． (2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【解析】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． 题型八 三元一次方程组 例题 31．解方程组. 【答案】 【分析】首先将方程组中的①-②消去得, 然后可以通过②和③消去，最后转化为二元一次方程组，解这个二元一次方程组即可得到x和y的值，把和的值代入①中即可算出的值. 【解析】 得,④, 得, ⑤， 得, , 即: ， 得, , , 得, , , 把代入①得, , , ∴原方程组的解为 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握消元法解三元一次方程组是解题的关键. 巩固训练 32．解方程组：． 【答案】 【分析】①②得出④，①③得出⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再求出即可． 【解析】解：， ①②，得④， ①③，得⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组： ，解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 33．已知满足，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组即可解答． 【解析】解：由题意得： 解得： 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解三元一次方程组，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负性分别为0；以及解三元一次方程组的方法和步骤． 34．如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】根据题意得出与相等，与相等，与相等，进而组成方程组求出答案． 【解析】解：由题意可得：， 解得：． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，三元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 题型九 含参数问题难点分享 例题 35．已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【解析】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 巩固训练 36．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【解析】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 37．设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【解析】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十 解答综合题 例题 38．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键． （1）利用加减消元法即可解决； （2）先将原式化为整式后利用加减消元即可． 【解析】（1）解：， ，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为； （2）解：原方程组整理，得， ，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 巩固训练 39．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 【答案】的立方根是1． 【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义．根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解． 【解析】解：根据题意得：， 解得：， 则，， 则， ∴的立方根是1． 40．已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，两点代入可得出和的值，进而可得出函数解析式； （2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积． 【解析】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 将，代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 该一次函数图像与轴交于点， 当时，， 该一次函数图像与轴交于点， 此函数图像与轴、轴围成的三角形的面积为． 41．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 【答案】， 【分析】抄错的将其解代入方程②，可以求出，得；抄错的将其解代入方程①，可以求出即可．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【解析】解：依题意，将，代入方程②， 得到， 即； 将，代入方程①， 得， 即． 42．为了庆祝国庆节的到来，某校举行“青春筑梦，强国有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．己知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元． 【答案】购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元． 43．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可． 【解析】解：小长方形的长为，宽为，由图可得： ， 两式相加得，， ∴， 则小长方形的周长为． 44．已知关于x，y的方程组 (1)当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； (2)当k，b为何值时，方程组有无数组解； (3)当k，b为何值时，方程组无解． 【答案】(1)，b为任意数 (2)， (3)， 【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当时，直线与只有一个交点，于是可得到的取值范围； （2）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与重合，于是可得到、的值； （3）利用两直线的位置关系得到当，时，直线与没有一个交点，于是可得到的值和的取值范围． 【解析】（1）解：当时，即， 直线与只有一个交点， 所以当，为任意数时，方程组有唯一一组解； （2）当，时，即，， 直线与重合， 所以，时，方程组有无数组解； （3）当，时，即，， 直线与没有交点， 所以，时，方程组无解． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标值．方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 45．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ∴． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．    (1)求点A、点B、点C的坐标，并求出的面积； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、，3 (2)①点N的坐标为或者；②存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ②分、、三种情况，分别求解即可． 【解析】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组：， 解得：， 故点； 则的面积； （2）解：①设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为或者； ②设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：   ，， ，，， ， ，， 即：， 解得：， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 要点： （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点： 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. （3）图像法解二元一次方程组的一般过程： ①把二元一次方程化成一次函数的形式．  ②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点． ③交点坐标就是方程组的解． 要点： 二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解. 三、实际问题与二元一次方程组 要点： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 四、二元一次方程（组）与一次函数 1.二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. （2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程. 要点： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 2. 二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3.用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 五、三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 要点：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 03 题型归纳 题型一 二元一次方程组的有关概念及应用 例题 1．下列方程组是二元一次方程组的有(     )个 (1) (2) (3) (4) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 2．已知方程是二元一次方程，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥ 4．方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若方程是二元一次方程，则 ， ． 题型二 解二元一次方程组 例题 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 7．在方程中用含的式子表示，则 ． 8．解二元一次方程组，下列能消元的是（    ） A．①+②×2 B．①-②×2 C．①×2+② D．①×2-② 9．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．解下列方程组． (1) (2) 11．解下列方程组： (1)； (2)． 12．小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 题型三 二元一次方程组的代数应用 例题 13．若是关于、的方程组的解，则、的值是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 14．已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 15．已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 16．已知 ，则的值为 ． 题型四 抄错、遮住问题 例题 17．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 18．解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　） A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和 题型五 二元一次方程组的实际应用 例题 19．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 20．某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米． 21．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 22．小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是 ． 题型六 二元一次方程组的几何应用 例题 23．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ． 巩固训练 24．用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为 ． 25．如图，在三角形中，D，E分别为边上的点，且，连接，使得交于点F，已知三角形的面积为，那么三角形的面积为 ．    题型七 二元一次方程组与一次函数 例题 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 27．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 28．已知直线：经过点，． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，求的值． 29．已知直线和直线， (1)当 时，与相交于一点，这个点的坐标是 ； (2)当 时，，此时方程组的解的情况是 ； (3)当 时，与重合，此时方程组的解的情况是 ． 30．已知：如图一次函数与的图象相交于点A．    (1)求点A的坐标． (2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 题型八 三元一次方程组 例题 31．解方程组. 巩固训练 32．解方程组：． 33．已知满足，求的值 34．如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，求，，的值． 题型九 含参数问题难点分享 例题 35．已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 巩固训练 36．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 37．设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 题型十 解答综合题 例题 38．解方程组 (1)； (2)． 巩固训练 39．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 40．已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 41．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 42．为了庆祝国庆节的到来，某校举行“青春筑梦，强国有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．己知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元． 43．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 44．已知关于x，y的方程组 (1)当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； (2)当k，b为何值时，方程组有无数组解； (3)当k，b为何值时，方程组无解． 45．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．    (1)求点A、点B、点C的坐标，并求出的面积； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$