精品解析：河南省新乡市原阳县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年上学期九年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A. x≥ B. x≤ C. x＝ D. x≠ 6. 对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点，，，均在横梁的端点处，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知，且，，则（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 5 D. ﹣5 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二、填空题．(每题3分，共计15分） 11. 使有意义的x的取值范围是__． 12. 设的小数部分为，则的值是________． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 14. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 15. △ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共计75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 化简求值：已知，，求的值． 18. 若实数m，n满足，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程有两根．若求m的值． 20. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 21. 如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 22. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 23. 【阅读理解题】阅读材料： 解方程： 解：当时，原方程为 解得：或 (舍去） 当时，原方程 解得：或 (舍去） 请参照例题解方程： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级第一次月考 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据被开方数不含能开方开的尽的因式和因数，被开方数不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 2. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．． 【详解】解： A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D. ，当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 5. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A. x≥ B. x≤ C. x＝ D. x≠ 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：，解得：x=， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 6. 对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点，，，均在横梁的端点处，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，作于，作于，由题意知，，，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，作于， 由题意知，，， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：C． 8. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得． 【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴一次函数表达式为， 有图像可知，一次函数不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像． 9. 已知，且，，则（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 5 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】由满足的条件及，可得出为一元二次方程的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出的值. 【详解】解：∵且， ∴为一元二次方程的两个不等实根， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键. 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 二、填空题．(每题3分，共计15分） 11. 使有意义的x的取值范围是__． 【答案】x≥7 【解析】 【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案． 【详解】解：有意义，则x﹣7≥0， 解得：x≥7． 故答案为：x≥7． 【点睛】]此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键． 12. 设的小数部分为，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据夹逼法得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3. 【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是根据夹逼法得到根数与相邻整数的大小． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零． 根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 故 故答案为： 14. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 15. △ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵2、x、5是三角形的三边， ∴3＜x＜7， ∴x-3＞0，x-7＜0， ∴原式=x-3+（7-x）=4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共计75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先利用乘法公式进行计算，再合并同类二次根式即可； （2）利用十字相乘法将多项式进行因式分解后，解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， 或， ∴． 17. 化简求值：已知，，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将，的值代入运算即可． 【详解】解：，， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键． 18. 若实数m，n满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关键． 由题可知平方后的式子与被开方的式子都为0，列式得，，求得m、n的值，再代入进行计算，即可解题． 【详解】∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程有两根．若求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，根据得到关于的一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两根， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：或， 当时，原方程为：，，不符合题意； ∴． 20. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出， ，，据此求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， ， ， 且． 21. 如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【解析】 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 22. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 23. 【阅读理解题】阅读材料： 解方程： 解：当时，原方程为 解得：或 (舍去） 当时，原方程 解得：或 (舍去） 请参照例题解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题干给定的方法，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当，即：时，原方程为：，即：， 解得：或（舍去）； 当，即：时，，即：， 解得：或（舍去）； ∴方程的解为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $