精品解析：浙江省海宁市静安高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考考试数学试题

2024学年第一学期海宁市静安高级中学10月月考测试 高—数学试题卷 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上. 3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式解集为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若不等式与(，为实数)同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B C. 不等式的解集为或 D. 的最小值为6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 对于任意两集合，定义且， 记，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数满足. （1）求的解析式； （2）集合，写出集合的所有子集. 16. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数取值范围． 17 已知命题方程没有实数根. （1）若是假命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 18. 志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. （1）设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； （2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 19. 已知二次函数. （1）若存在使成立，求k的取值范围； （2）当时，求在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期海宁市静安高级中学10月月考测试 高—数学试题卷 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上. 3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得，再由即可求得结果. 详解】易知. 故选：B 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为，即可求解. 【详解】由可得，解得， 故不等式解集为. 故选：C 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 4. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域进行判断即可. 【详解】对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数； 对B：因为两个函数只是表示自变量字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数； 对C：因为，所以它们表示相同函数； 对D：由或，所以函数的定义域为， 由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数. 故选：D 5. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简可得，根据基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得： 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 8. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式恒成立得到，由此求解出的取值范围. 【详解】，，即 即，解得：或（舍去） 即，当且仅当时，等号成立，所以， 因为不等式恒成立，， 即，解得：， 所以实数的取值范围是 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若不等式与(，为实数)同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，得到，进而逐项分析，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得，所以，所以C不正确，D正确； 当时，可得，所以B正确； 当时，可得，所以A正确； 故选：ABD. 10. “关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用判别式求得的取值范围，从而确定正确选项. 【详解】关于x的不等式对恒成立， 则，即， 因此BD是必要不充分条件． 故选：BD 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为或 D. 的最小值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误； B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确； C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3， 所以，即，且， 所以不等式可化为，即， 解集为或，故C正确； D选项，， 当且仅当时，即时取等，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】25 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式求解即可. 【详解】由得： ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：25 14. 对于任意两集合，定义且， 记，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 ， ，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数满足. （1）求的解析式； （2）集合，写出集合的所有子集. 【答案】（1） （2），，和 【解析】 【分析】（1）利用换元法：，求出，即可求出的解析式； （2）根据求出集合的元素，根据元素即可写出集合的所有子集. 【小问1详解】 令，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为， ， 因为，解得或，所以， 所以集合所有子集为：，，和. 16. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 17. 已知命题方程没有实数根. （1）若是假命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）选择条件，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合. （2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. 【小问2详解】 由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. 18. 志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. （1）设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； （2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 【答案】（1） （2）队徽的长和宽分别为 【解析】 【分析】（1）在直角三角形ADE中，由勾股定理得出DE的长度； （2）由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意可得，且，可得，由， 在直角三角形ADE中，可得， 即，化简可得； 【小问2详解】 ， 当且仅当时，即队徽的长和宽分别为，可得△ADE的面积取得最大值. 19. 已知二次函数. （1）若存在使成立，求k的取值范围； （2）当时，求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 若存在使成立， 则， 解得或， 所以k的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时， ； 当即时， ； 当即时， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$