精品解析：江苏省南通市启东市长江中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

长江中学2024-2025学年度第一学期 八年级数学错题再练（一） （时间：120分钟 总分：150分 ） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分．） 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合． 2. 下面四个图形中，线段不是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形高的作法，掌握锐角三角形，钝角三角形高的作法是解题的关键． 根据三角形高的作法“过点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高”，由此即可求解． 【详解】解：、线段不是的高，符合题意； 、线段是的高，不符合题意； 、线段是的高，不符合题意； 、线段是高，不符合题意； 故选：． 3. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴． ∵AC为公共边， ∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键． 4. 从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A. 21：05 B. 21：15 C. 20：15 D. 20：12 【答案】A 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称. 【详解】由图分析可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A. 【点睛】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，解本题的要点在于应认真观察，注意技巧. 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 6. 如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，延长交于G，设交于H，连接，由三角形外角的性质得到，则可得，据此利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于G，设交于H，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7. 已知点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数先判断出点P在第一象限，然后根据第一象限的点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x轴的对称点在第四象限， ∴点P在第一象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集是， 故a的取值范围为． 故选：D． 8. 如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和：(2)三角形的内角和是180度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180度这一隐含的条件；根据即可求解． 【详解】∵把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部 ∴ 故选：B ． 9. 如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 10. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠BAC＝90°正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的性质得到DE＝DF， 则可判断Rt△CDE≌Rt△BDF，于是可对①进行判断； 再证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE＝AF，接着利用等线段代换可对②进行判断； 利用角度的计算可对③进行判断； 由于∠BAC的度数不能确定，则可对④进行判断． 【详解】解：①∵BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DB＝DC，DE＝DF， 在Rt△CDE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL）， 所以①正确； ②在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∵Rt△CDE≌Rt△BDF， ∴CE＝BF， ∴CA﹣AB＝CE+AE﹣（BF﹣AF）＝CE+AE﹣CE+AE＝2AE， 所以②正确； ③∵Rt△CDE≌Rt△BDF， ∴∠CDE＝∠BDF， ∵∠EAF+∠EDF＝180°， ∴∠EAF+∠BDF+∠BDE＝180°， 即∠EAF+∠CDE+∠BDE＝180°， ∴∠BDC+∠FAE＝180°， 所以③正确； ④∵∠BAC的度数不能确定， ∴④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 二．填空题（共8小题，11-12题每题3分，13-18题每题4分，共30分．） 11. 点与点关于y轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】关于y轴对称，y不变，x变号，根据这个知识，即可完成题目．本题主要考查了学生对点关于坐标轴对称问题认识：关于y轴对称，y不变，x变号，难度适中． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质．先由得出，，由等边对等角可知，进而三角形内角和等于即可求出． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：． 13. 在中，若，，则中线的最小整数值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC， ∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB， ∵AB=5，AC=7，CE=5， 设AD=x，则AE=2x， ∴2＜2x＜12， ∴1＜x＜6， ∴1＜AD＜6． 最小整数解为 故答案：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，倍长中线法证明三角形全等，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 14. 如图，点F坐标为，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上，且，则____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴交于，作轴交于，可得，，可证（），从而可得，即可求解． 【详解】解：过点作轴交于，作轴交于， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中 ， （）， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，点到坐标轴的距离，构建全等三角形，掌握判定方法及性质是解题的关键． 15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P．则的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，证明，得出，证明，，即可求出结果． 【详解】解：延长交于E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．延长至点，使，连接，，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 是的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD＝50°，则∠DCB=_______°． 【答案】60 【解析】 【分析】如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．想办法证明DE＝DF，推出DC平分∠QCB即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F． ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB＝40°＋60°＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠DBC＝∠DBH， ∵DF⊥BC，DH⊥BP， ∴DF＝DH， 又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ， ∴DE＝DH， ∴DE＝DF， ∴CD平分∠QCB， ∵∠QCB＝180°－60°＝120°， ∴∠DCB＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 18. 在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则_____ 【答案】或 【解析】 【分析】当为锐角时，如图1，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：，，再结合三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：当为锐角时，如图1，设，， ∵， ∴，，， ∵分别垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当为钝角时，如图2， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共90分．） 19. 如图，已知点是线段上一点，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点． （1）画出关于轴的对称图形，则点的坐标为________； （2）点为轴上一点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）画图见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据三角形面积求点的坐标； （1）分别作出关于轴对称点，顺次连接即可求解； （2）设，根据三角形的面积公式即可列出方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， 的面积为5， ， 解得：或， 点的坐标为或． 21. 如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分． （1）五边形ABCDE的内角和为　 　度； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）540；（2）65° 【解析】 【分析】（1）根据多边形内角和公式计算即可； （2）用内角和减去，，得到，的和，再根据角平分线的性质、三角形的内角和即可计算． 【详解】解：（1）五边形ABCDE的内角和为， （2）∵在五边形ABCDE中，， ，， ∴， ∵AP平分，BP平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多边形的内角和计算，根据角平分线性质和三角形内角和定理计算角的度数；掌握相关的基础知识是本题的关键． 22. 如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数． 【答案】∠E的度数是25° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，根据角平分线的定义求出∠ECD的度数，根据三角形外角的性质计算得到答案． 【详解】解：∵∠ACD是ABC的外角， ∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+80°=110°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ECD=∠ACD=×110°=55°， ∵∠ECD是EBC的外角， ∴∠ECD=∠B+∠E， ∴∠E=∠ECD∠B=55°-30°=25°． 答：∠E的度数是25°． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 23. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三条边都对应相等的两个三角形是等边三角形即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定——边边边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知，如图，的平分线与的垂直平分线交于点，过点的直线于点，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据“角平分线上点到角的两边的距离相等”可知，再利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知，再利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）由（1）（2）可知，，进而可得，解得，然后根据求解即可． 小问1详解】 证明：∵点在的平分线上，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如下图，连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，即有， ∴， ∴． 25. (1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 【解析】 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键． 26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江中学2024-2025学年度第一学期 八年级数学错题再练（一） （时间：120分钟 总分：150分 ） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分．） 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，线段不是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 4. 从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A. 21：05 B. 21：15 C. 20：15 D. 20：12 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 已知点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围（　　） A. B. C. D. 8. 如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠BAC＝90°正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共8小题，11-12题每题3分，13-18题每题4分，共30分．） 11. 点与点关于y轴对称，则_______． 12. 如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么________． 13. 在中，若，，则中线的最小整数值是___________． 14. 如图，点F坐标为，点在y轴负半轴上，点在x轴正半轴上，且，则____． 15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P．则的面积为_________ 16. 如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是____________________． 17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD＝50°，则∠DCB=_______°． 18. 在中，垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则_____ 三．解答题（共8小题，共90分．） 19. 如图，已知点是线段上一点，，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点． （1）画出关于轴的对称图形，则点的坐标为________； （2）点为轴上一点，当时，求点的坐标． 21. 如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分． （1）五边形ABCDE的内角和为　 　度； （2）若，，，求的度数． 22. 如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数． 23. 如图，，，求证：． 24. 已知，如图，的平分线与的垂直平分线交于点，过点的直线于点，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. (1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $