精品解析：湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

湖南省长沙市青竹湖湘一外国语2024-2025八上第一次月考 一．选择题（共10小题） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 3，9，5 C. 8，6，1 D. 5，7，9 【答案】D 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边进行逐一判断即可 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、4＋6＝10，不能组成三角形，故A错误； B、3＋5＜9，不能组成三角形；故B错误； C、1＋6＜8，不能组成三角形；故C错误； D、5＋7＞9，能够组成三角形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知构成三角形的条件是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，根据幂的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 4. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此， 由 得n=5． 故选B． 5. 如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ） A. a-3＞b-3 B. C. -2a＜-2b D. -2+a＜-2+b 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质分析判断． 【详解】解：A、a-3＞b-3，正确； B、，正确； C、-2a＜-2b，正确； D、根据不等式的性质可得：-2+a＜-2+b不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．该选项错误． 故选D． 【点睛】主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故选：B． 7. 如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出和是解此题的关键． 8. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　） A. 112° B. 110° C. 108° D. 106° 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 【详解】解：∵∠AGE=32°， ∴∠DGE=148°， 由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°． ∵AD∥BC， ∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 9. 下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确； ②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确 ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义,掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图： 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 12. 若、满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整体带入的数学思想，还考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．已知，因为，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：9． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键．根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为和， ∴等腰三角形的三边长为3，3，6或6，6，3， 当三边为3，3，6时，，三角形不存在； 当三边为6，6，3时，，三角形存在， 故周长为：； 故答案为：15． 14. 如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 【答案】4 【解析】 【详解】解：是中线， 同理可得： ， 由中线性质，可得AG=2GD，则 ， ∴阴影部分的面积为4； 故答案为：4. 16. 如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，则△BCD面积＝_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据和得到，再根据，得到，结合已知条件AC＝CD，可证明，从而得到，最终计算出△BCD面积． 【详解】如下图所示，过点D做DE垂直于BC于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的相关知识． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的计算．熟练掌握零指数幂性质，求算术平方根，求立方根，化简绝对值，加减法则，是解题关键． 分别利用零指数幂性质，算术平方根，立方根，绝对值化简，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式乘法法则是关键；先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，整体代入求解也比较关键．此题考查了多项式乘多项式． （1）根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算． （2）根据题意列出乘式，去括号合并后，根据结果中不含项和项，求出与的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意得： ， 由多项式与的积不含项和项， 得到， 解得， 所以． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上． （1）在图中作出关于轴对称图形； （2）写出点的坐标； （3）在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求 （2），， （3） 点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称求最短距离，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键 （1）根据题意找到关于轴对称的对应点，顺次连接，则即为所求； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （3）作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 即如图点即为所求． 21. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 22. 某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． （1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ （2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 【答案】（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； （2）共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用， （1）设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案； （2）设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台，根据“用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元， 根据题意得， 解得：， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； 【小问2详解】 解：设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴共有四种方案， 方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台； 方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台； 方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台； 方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 23. 在中，，点D在内，且． （1）如图1，连接，直接写出的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，，判断的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接，若，求α的值． 【答案】（1） （2） 等边三角形， 证明：如图2，连接，， ，， ， 又， ， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据，即可得出答案； （2）连接，，先证出，得出，再根据，求出，得出，再证出，在和中，根据得出，从而得出，即可证出是等边三角形； （3）根据已知条件先求出，再根据，得出为等腰直角三角形，再根据，，从而求出的值． 【小问1详解】 解：如图1， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，连接， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的综合应用，解决问题的关键是找出全等三角形． 24. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 【答案】（1）二； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，新定义问题，给赋予特殊值是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义即可解答； （2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； （3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案； 【小问1详解】 解：关于的一次多项式的特征系数对为，在第二象限， 关于的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：二；； 【小问2详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，； 【小问3详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程的解，且a为不等式的最大整数解． （1）证明：； （2）如图1，连接，过点A作交y轴于点D，在射线上截取，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接．当点A在第一象限内运动（不经过点C）时，证明：的大小不变； （3）如图2，连接，点A为边的中点，点M是上一点，连接，过点A作交于点N，连接，若，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分） 【答案】（1） 证明：由， 解得：， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2） 证明：如图1中，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不变． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据a为不等式的最大整数解，求出，再代入求出，得出，，即可得出答案； （2）连接，证明，得出，，证明，得出，，求出，得出答案即可； （3）连接，，在的延长线上截取，使得，过点B作于H．证明，得出，，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2中，连接，，在的延长线上截取，使得，过点B作于H． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，解不等式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市青竹湖湘一外国语2024-2025八上第一次月考 一．选择题（共10小题） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 3，9，5 C. 8，6，1 D. 5，7，9 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ） A. a-3＞b-3 B. C. -2a＜-2b D. -2+a＜-2+b 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 7. 如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　） A. 112° B. 110° C. 108° D. 106° 9. 下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 16的平方根是______． 12. 若、满足，则______． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为___________． 14. 如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 16. 如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，则△BCD面积＝_____________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上． （1）在图中作出关于轴对称图形； （2）写出点的坐标； （3）在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可） 21. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 22. 某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． （1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ （2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 23. 在中，，点D在内，且． （1）如图1，连接，直接写出的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，，判断的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接，若，求α的值． 24. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程的解，且a为不等式的最大整数解． （1）证明：； （2）如图1，连接，过点A作交y轴于点D，在射线上截取，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接．当点A在第一象限内运动（不经过点C）时，证明：的大小不变； （3）如图2，连接，点A为边的中点，点M是上一点，连接，过点A作交于点N，连接，若，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $