第十四章 整式的乘法与因式分解（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（安徽专用,人教版）

第14章 整式的乘法与因式分解 （单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．计算的结果为（      ） A．0 B． C． D． 2．若，则a等于（      ） A．7 B．4 C．3 D．2 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 6．如果，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 7．现规定一种新的运算，，其中x、y为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 8．某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 9．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．观察下列等式： ； ； ；… 根据以上规律，则的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知，则 ． 12．若，则的值是 ． 13．在 的运算结果中，项的系数是，那么a的值是 ． 14．如果多项式，则p的最小值是 ． 15．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 16．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 17．根据如图所示的运算程序，若输入x，y的值分别为，，则输出的值为 ． 18．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）因式分解： (1)； (2) 20．（5分）已知，，则 (1)_____； (2)______． 21．（6分）已知，，．求： (1) (2) 22．（6分）规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 23．（6分）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 24．（6分）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 25．（7分）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 26．（7分）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． (2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张； (3)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要1号卡片 张． 27．（8分）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 28．（10分）阅读理解：下面是小明同学分解因式的方法，首先他将该多项式分为两组得到．然后对各组进行因式分解，得到，结果发现有公因式，提出后得到． (1)小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是______． (2)请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解． (3)请同学们将多项式进行因式分解，你一定能成功！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解 （单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．计算的结果为（      ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 2．若，则a等于（      ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，原式计算正确，符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． ，符合因式分解的形式，符合题意；     B． ，不符合因式分解的定义，不符合题意； C． ，右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；     D． ，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意 故选：A． 5．如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：， ， 故选：A． 6．如果，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，，， 故选：C． 7．现规定一种新的运算，，其中x、y为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 8．某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 9．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 10．观察下列等式： ； ； ；… 根据以上规律，则的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由原题中的等式可得：， 当时，． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知，则 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：6． 12．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．在 的运算结果中，项的系数是，那么a的值是 ． 【答案】10 【详解】解： ； ∵运算结果中的系数是 解得：； 故答案为：10 14．如果多项式，则p的最小值是 ． 【答案】2022 【详解】解： ， 故答案为：2022． 15．已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵长方形面积长宽， ∴长， 故答案为：． 16．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 17．根据如图所示的运算程序，若输入x，y的值分别为，，则输出的值为 ． 【答案】 【详解】解：当、时， ， 所以，输出的值是． 故答案为：． 18．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）． 20．（5分）已知，，则 (1)_____； (2)______． 【答案】(1)37 (2)49 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 21．（6分）已知，，．求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（6分）规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）由题意得： （2）由题意得： ∴，解得： 23．（6分）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 24．（6分）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 25．（7分）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 26．（7分）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． (2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张； (3)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要1号卡片 张． 【答案】(1)长方形见解析， (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知拼成的长方形的长为，宽为 ∴大长方形的面积 ∵拼成的大长方形面积为 ∴大长方形的代数意义为 （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为. 故根据（1）中的结论可知，需要2号卡片3张，3号卡片7张. 故答案为： （3）解：∵， ∴需要1号卡片张． 故答案为： 27．（8分）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 28．（10分）阅读理解：下面是小明同学分解因式的方法，首先他将该多项式分为两组得到．然后对各组进行因式分解，得到，结果发现有公因式，提出后得到． (1)小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是______． (2)请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解． (3)请同学们将多项式进行因式分解，你一定能成功！ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：． （2）解：； ； ； （3）解： ． 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