精品解析：安徽省宿州市第二中学2024-2025学年高一上学期10月学业质量检测数学试卷

宿州二中2024—2025学年度第一学期高一年级学业质量检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：单亮 审题人：周双喜 一、单项选择题（每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.） 1. 给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 下列命题中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 0或1或3 B. 3 C. 1或3 D. 0或3 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非空集合满足：①；②若，则.符合上述条件集合的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 7 D. 以上都不对 8. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列对应关系是集合A到集合的函数的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 若，使为假命题，则的取值范围为 11. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 最大值为5 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 若，为真命题，则实数的取值范围为________. 13. 已知，，，则最小值为______． 14. 若，不等式都成立，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集，集合，. （1）若集合A中恰有一个元素，求实数的值； （2）若，求. 16. 设集合，集合. （1）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数顶点坐标为，且. （1）求的解析式； （2）解不等式：. 18. （1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 19. 某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有代数式表示下图中的，并写出的取值范围： （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宿州二中2024—2025学年度第一学期高一年级学业质量检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：单亮 审题人：周双喜 一、单项选择题（每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.） 1. 给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的性质进行判断即可. 【详解】因为是实数，所以①正确； 因为所以的整数都是有理数，所以，因此②不正确； 因为空集中没有元素，所以③不正确； 因为空集是任何集合的子集，所以④正确， 因此正确的个数为， 故选：B 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，从而利用公式可求出其真子集的个数. 【详解】解：由题意得， 其真子集有个. 故选：D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；举反例判断BCD. 【详解】对于选项A：若，由不等式的性质可得，故A正确； 对于选项BD：例如，可得，，故BD错误； 对于选项C：利用，可得，即，故C错误； 故选：A. 4. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. 且 C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式和根式的意义列式求解，再结合定义域的概念写出即可. 【详解】因为，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 5. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 0或1或3 B. 3 C. 1或3 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】由集合与集合的包含关系，求解即可. 【详解】根据题意，因为， 所以或，解得，或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 当时，，不满足集合的性质，不符合题意. 故选：D 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式，代入运算求解即可. 【详解】因为， 可得，所以. 故选：C. 7. 已知非空集合满足：①；②若，则.符合上述条件的集合的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 7 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，同时选，，同时选，，同时选，可单独选，即可一一列出符合题意的集合，从而得解. 【详解】由，，且， 可知，中元素在取值方面应满足的条件是： ，同时选，，同时选，，同时选，可单独选， 可一一列出满足条件的全部集合为，，，，，， ，，，，，，， ，共有个． 故选：A 8. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项． 【详解】因为不等式的解集为， 故，故，故， 令，解得或， 故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为， 故选：C． 二、多项选择题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列对应关系是集合A到集合的函数的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数定义逐项分析判断即可． 【详解】根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于选项A：符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于选项B：A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于选项C：A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故C正确； 对于选项D：符合函数的定义，是从A到B的函数，故D正确； 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 若，使为假命题，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】A由特称命题的否定规则可判断选项正误； B由与间关系可判断选项正误； C由充要条件定义可判断选项正误； D由题，其命题的否定为真命题，据此可判断选项正误； 【详解】A，命题“，”的否定是“，”，故A错误； B，注意到由得不到，由可以得到， 则是的必要不充分条件，故B正确； C，若，则，又注意到， 则，即； 若，则， 又， 则，即.则是的充要条件，故C正确； D，由题，，使的否定： ，使为真命题. 则，或. ，（当且仅当取等号）； ，. 则若，使为假命题，则的取值范围为. 故D错误 故选：BC 11. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 最大值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的加法性质，可判断A、B；由，可判断C，对已知平方，再结合不等式的性质判断D. 详解】根据题意，①，②， 两式相加得，A正确； 由②得，与①相加得，故B正确； 设，即， 得，则， 所以，故C错误； 由①可得，即， 由②可得，即，则， 所以，故D错误 故选：AB 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 若，为真命题，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】将题意转换为，为真命题，再求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意，，故，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知，，，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把转化为，展开后利用基本不等式求得最值 【详解】已知，，且， 则==， 当且仅当，即，时，取得最小值． 故答案为： 14. 若，不等式都成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】因，不等式都成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设全集，集合，. （1）若集合A中恰有一个元素，求实数的值； （2）若，求. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【小问1详解】 由题意，即只有一个实数解， 【小问2详解】 由题意知， 得 的根为或， 又 得 16. 设集合，集合. （1）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得是的非空真子集，再利用集合的包含关系列式求解作答； （2）求出，再由已知列出不等式即可求解作答. 【小问1详解】 由得，， 又“”是“”的必要不充分条件，且， 只需，， 综上有的取值范围为； 【小问2详解】 由题意得或， 显然，， 要使中只有一个整数，只需， ，的取值范围为. 17. 已知二次函数的顶点坐标为，且. （1）求的解析式； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设二次函数的顶点式，再根据求解即可； （2）化简可得，再讨论与4的大小关系分别求解即可. 【小问1详解】 由题意设， 【小问2详解】 由题意得 得 即 当时，不等式得解集为； 当时，不等式得解集为； 当时，不等式得解集为 18. （1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合不等式的性质分析证明； （2）根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，可得， 又，所以； （2）因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 19. 某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： （2）当值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）的值为20，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围； （2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值. 【小问1详解】 设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为， ，即， ，，即， 又，， ； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$