3.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（第2课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第三章 二次函数 第二课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、握y=a(x-h)2的图象和性质,会利用图象研究和理解二次函数y=a(x-h)2的性质,能解决简单的实际问题. 2、通过动手画图自主探究,认识二次函数y=a(x-h)2的图象与性质，经过合作交流,能比较y=a(x-h)2与y=ax2的联系,提高学生的观察分析能力 3、通过二次函数y=a(x-h)2的探究活动,培养学生的团队合作精神,勇于探索的学习习惯,提高学生的学习兴趣. y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 x y O y x O 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴 y轴 当x<0时， y随着x的增大而减小; 当x<0时, y随着x的增大而增大; x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 当x>0时， y随着x的增大而增大. 当x>0时， y随着x的增大而减小. 问题1、二次函数y=ax2的性质是什么？ 知识回顾 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (0 ,k) (0 ,k) y轴 y轴 当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。 当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=k x=0时,y最大=k 抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到. 问题1、二次函数y=ax2+k的性质是什么？ 知识回顾 顶点 顶点 口决：上加下减 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ k > 0时，向上平移 k 个单位长度 k < 0时，向下平移 个单位长度 复习回顾 5 知识回顾 练一练 下 2 4、抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。 下 y轴 (0,5) 减小 增大 0 大 5 2、把抛物线y=ax2+1向上平移3个单位后经过点A（-2，0，），则a= 。 -1 x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … x … -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y=2（x-1）² … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 列 表 新知讲解 在同一个坐标系里画出二次函数y=2x²和函数 y = 2（x - 1）2 的图象 做一做 观察表格，函数值相等时，对应的自变量x的值有什么关系？ 相差1 7 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 y = 2x2 y = 2（x - 1）2 描 点 连 线 独立完成教材p81画图 新知讲解 x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … x … -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y=2（x-1）² … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 新知讲解 1 2 3 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 -1 x y 5 y=2(x-1)2 y=2x2 根据图象填写下表: 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=2x2 y=2(x-1)2 向上 向上 （0,0） （1,0） y轴 X=1 当x＜1时，y随x的增大而减小 当x＞1时，y随x的增大而增大. y=2(x-1)2 增减性： 你能发现二次函数 y = 2（x + 1）2 的图象与二次函数 y = 2x2 的图象有什么关系吗? x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … x … -2.5 -2 -0.5 -1 -0.5 0 0.5 … y=2（x+1）² … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 y = 2x2 y = 2（x +1）2 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=2x2 y=2(x-1)2 向上 向上 （0,0） （1,0） y轴 直线x=-1 根据图象填写下表: 新知讲解 1 2 3 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 -1 x y 5 y=2(x-1)2 y=2x2 新知讲解 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ； 观察图象可以发现 右 y=2(x-1)2 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同。 对称轴不一样，顶点坐标发生了改变。 y=2(x+1)2 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ； y=2(x+1)2 左 画出二次函数函数 y = - （x + 1）2，y = - （x - 2）2 的图象 x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· y = - （x - 2）2 ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －4.5 0 x y 新知再探 试一试 y = - （x + 1）2 y = - （x - 2）2 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = - （x - 2）2 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 2, 0) 新知再探 （1）函数 y = - （x + 1）2，y = - （x - 2）2 的图象分别与 y = - x2 的图象有什么关系？它们是轴对称图形吗？对称轴和顶点坐标分别是什么？ 想一想 y = - （x + 1）2 y = - （x - 2）2 y = - （x + 1）2 y = - （x - 2）2 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 新知再探 想一想 （2）x 取哪些值时，函数 y = - （x + 1）2 的值随 x 值的增大而增大？ x 取哪些值时，函数 y = - （x + 1）2 的值随 x 值的增大而减小？函数 y = - （x - 2）2 当x＜-1时，y随x的增大而增大； x＞-1时，y随x的增大而减小. 当x＜2时，y随x的增大而增大； x＞2时，y随x的增大而减小. 当x=-1时，y最大值=0 当x=2时，y最大值=0 y = - （x + 1）2 y = - （x - 2）2 向右平移 2个单位 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 新知再探 想一想 y = - （x + 1）2 y = - （x - 2）2 新知总结 性质归纳 顶点坐标 对称轴 图象 开口方向 图象极点 函数极值 增减性 a>0 a<0 (h ,0) 直线x=h 向上 向下 当x=0时,y的最小值为0. 当x=0时,y的最大值为0. 当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时,y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时,y随着x的增大而减小. 顶点是最低点 顶点是最高点 x y O y x (h ,0) x=h (h ,0) x=h 函数y=a（x-h)2 （ a≠0 ） 开口方向和大小由a确定 对称轴由h确定 新知总结 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 互相平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减； 括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 x y O x y O y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 y=a(x+h)2 y=a(x+h)2 新知巩固 1. 图中有七条形状相同的抛物线，如果中间一条抛物对应的函数表达式是 y = 2x²，那么，从左到右其余六条抛物线对应的函数表达式是什么？ 练一练 x y O 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y=2(x+1)2 y=2(x+2)2 y=2(x+3)2 y=2(x-1)2 y=2(x-2)2 y=2(x-3)2 教材第83面随堂练习第1题 x y O 2 1 -1 -2 -3 -4 新知巩固 教材第83面随堂练习第2题 2. 对于二次函数 y = - 3（x + 2）²： （1）它的图象与二次函数 y = - 3 x² 的图象有什么关 系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 抛物线 开口方向 顶点 坐标 对称轴 y = - 3x ² y = - 3（x + 2）² （0,0） 直线x=0 （-2,0） 直线x=-2 直线x=0 直线x=-2 向下 向下 向左平移2个单位 y = - 3 x² y = - 3（x + 2）² （2）当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而增大？ 当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 当x<-2时,y随着x的增大而增大. 当x>-2时,y随着x的增大而减小. 19 对于二次函数 y = - 3（x - ）²，它的图象与二次函数 y = - 3x² 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 议一议 教材第84面习题3.7第2题 新知巩固 x y O 2 1 -1 -2 3 抛物线 开口方向 顶点 坐标 对称轴 y = - 3x ² y = - 3（x - ）² （0,0） 直线x=0 -,0） 直线x= 向下 向下 向右平移2个单位 y = - 3 x² y = - 3（x - ）² x ··· -4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· 新知巩固 在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象： y =x²，y = （x + 2）²，y =（x - 2） ² 教材第83面习题3.7第1题 解：先列表： x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出函数的图象 新知巩固 教材第83面习题3.7第1题 根据图象，填写下表： 新知巩固 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 x 取哪些值时，y 的值随 x值的增大而增大 y =x ² y = （x + 2） ² y = （x - 2） ² x y O 向上 向上 y轴 x=-2 (0,0) (-2,0) 向上 x=2 (-2,0) 当x＞-2时,y随着x的增大而增大 当x＞2时,y随着x的增大而增大 当x＞0时,y随着x的增大而增大 教材第83面习题3.7第1题 拓展提升 1. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=3 ( 3, 0 ) 直线x=2 直线x=1 向下 向上 (2, 0 ) ( 1, 0) 填一填 2.将二次函数的图象向右平移1个单位，可得二次函数y=2（x+1）2 则原二次函数的表达式为 。 y=2（x+2）2 2.关于二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2的图象,以下说法: ①它们的图象开口方向、大小相同; ②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0); ③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大; ④它们与坐标轴都有一个交点. 其中正确的是　 　.(填序号)  拓展提升 填一填 ① 3.已知抛物线y=a（x-2）2 经过点（1，3），则函数解析式为 。 y=3（x-2）2 1.把抛物线y=-3x2向右平移2个单位就是抛物线(　 　) A.y=-3x2+2 B.y=-3x2-2 C.y=-3(x+2)2 D.y=-3(x-2)2 拓展提升 2.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是(　 　) D D A B C D 选一选 3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)²的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 C 4.已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是(　 　) A.当x>0时,y随x的增大而减小 B.当x<0时,y随x的增大而增大 C.当x<1时,y随x的增大而减小 D.当x<-1时,y随x的增大而增大 5.已知抛物线y=(x-2)2上任意两点A(x1,y1)与B(x2,y2),若x2>x1>2,则y1和y2的大小关系是(　 　) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2 C B 拓展提升 选一选 拓展提升 做一做 1. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 2.抛物线y＝a(x - h)2的顶点为(－2，0)，它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反． (1)求抛物线解析式． (2)求抛物线与y轴交点坐标． 解： (1)由题意得： y＝－3(x＋2)2 (2)当x＝0时：y＝－12， ∴与y轴交点(0，－12) 拓展提升 做一做 拓展提升 做一做 3.二次函数y=a（x-h）2的图象如图，已知a= OA=OC，试求该抛物线的解析式 ∵OA=OC， ∴ h2=h， 即h(h-2)=0． 解得：h=0（不符合题意，舍去）或h=2， ∴抛物线解析式为：y= （x-2）2 解： 把a= 代入得： y= （x-h）2 课堂小结 复习y=ax2+k 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 课堂小结 如图，抛物线y=-（x-m)²的顶点为A，直线L：y=x-m与y轴的交点为B，其中m＞0。 （1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含m的式子表示）（2）若点A在直线L上，求∠ABO的大小。 （1）对称轴： x=m 顶点坐标：A（m，0） （2）当x=m， y=0，所以A必然在直线L上。 ∵直线L：y=x-m与y轴交点B， 把x=0代入得：y=-m。 ∴ B（0，-m） ∴ |AO|=|BO|=m ∴△ABO是直角等腰三角形 ∴ ∠ABO=45°  课后提升 解： $$